Теорема 2. Пусть функция имеет на отрезкепроизводные до-го порядка включительно. Тогда для любогох из отрезка найдется точкатакая, что

. (4.3.17)

Эта теорема обобщает теорему 1 из параграфа 4.1. Интересно заметить, что если рассматривается многочлен Эрмита из примера 3, то формула (4.3.17) превращается в формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа

. (4.3.18)

Из теоремы 2 легко получить оценку абсолютной погрешности интерполяции с кратными узлами. Пусть производная является ограниченной функцией на отрезкеи существует постояннаятакая, чтона. Тогда

. (4.3.19)

4.4. Обратное интерполирование. Кусочно - многочленная интерполяция. Интерполирование сплайнами Обратное интерполирование

Вернемся к рассмотрению задачи интерполяции без кратных узлов. Пусть на отрезке определена и обратима функция и известны ее значенияв точкахТак как функцияобратима на отрезке, все ее значениядолжны быть попарно различны и должна существовать обратная функциятакая, что. Таким образом, обратная функцияимеет ту же самую таблицу значений, что и функция, только значения аргумента и значения функции меняются местами. Это и понятно, ведь графики уравненийисовпадают. В параграфах 4.1 и 4.2 по заданной таблице значений функциипостроен интерполяционный многочлен в форме Лагранжа и в форме Ньютона. Точно так же по известной таблице значений обратной функции построим интерполяционный многочлен (например, в форме Ньютона)

. (4.4.1)

Этот многочлен, очевидно, будет удовлетворять условиям интерполяции

(4.4.2)

Процесс построения этого многочлена получил название обратного интерполирования.

Если прямое интерполирование используется для построения приближения функции , то обратное интерполирование используется для приближения обратной функции. В качестве такого приближения при обратном интерполировании обычно выступает интерполяционный многочлен. Рассмотрим характерный пример использования таких приближений. С помощью обратной интерполяции можно получать итерационные методы решения уравнений с одним неизвестным. Рассмотрим уравнение

(4.4.3)

Пусть  искомый корень этого уравнения, локализованный (отделенный) на отрезке . Если функцияобратима на отрезке, то должна существовать обратная функциятакая, что

. (4.4.4)

Заменяя в формуле (4.4.4) точное значение обратной функции приближенным значением, получим приближенное значение корня уравнения

. (4.4.5)

Используем формулу (4.4.5) для получения итерационных формул. Будем считать, что известны два начальных приближения искомого корня ии известны значения функции в этих точкахи. Построим по этим значениям интерполяционный многочлен для обратной функции и запишем его в форме Лагранжа

.

В качестве следующего приближения выберем значение этого многочлена в нуле

.

Таким образом, мы получили итерационную формулу метода хорд. Аналогично можно получить множество разных других итерационных формул.

Кусочно-многочленная интерполяция

Интерполяционная функция обычно строится для приближения исходной функции . Использование в качестве интерполяционной функции алгебраического многочлена, построенного по таблице значений функциив узлахне всегда удобно. Полученная оценка погрешности приближения(4.1.15) содержит мажорантную оценку модуля производной функции-го порядка на отрезке постоянную :

.

Если число узлов интерполяции (и число n) достаточно велико, то для использования этой оценки приходится накладывать на приближаемую функцию жесткие требования наличие производных высоких порядков, которых у нее может и не существовать на отрезке . Но и в том случае, когда функцияимеет производные любого порядка, нельзя быть уверенным в том, что погрешность ее приближения интерполяционным многочленом стремится к нулю при, поскольку величинаможет стремиться к бесконечности быстрее, чем. Первый пример такой функции построил Рунге. Это функция. Поэтому для повышения точности приближения интерполяционными многочленами желательно увеличивать число узлов интерполяции, не увеличивая при этом степени интерполяционного многочленаn. Добиться этого можно, применяя кусочно-полиномиальную интерполяцию.

При кусочно-полиномиальной интерполяции отрезок разбивается на частичные отрезки, содержащие небольшое количество узлов интерполяции. На каждой из этих частичных отрезков по узлам интерполяции, содержащимся на нем, строится интерполяционный многочлен (невысокой степени). А общая интерполяционная функция составляется из этих многочленов.

Рассмотрим в качестве примера широко применяемую на практике кусочно-линейную интерполяцию. Пусть на отрезке задана сетка узлов интерполяции, которая делит отрезокнаn отрезков ,. Значения функциив этих узлах известны. На каждом из отрезковпостроим интерполяционный многочлен первого порядка (линейную функцию) с двумя узлами интерполяциии

, . (4.4.6)

Составим функцию из этих многочленов

, при ,. (4.4.7)

Э

Рис. 4.2

та функция, очевидно, будет интерполяционной (удовлетво-ряет условиям интерполяции,). График ее составлен из графиков линейных функций (отрезков прямых). Кроме того, из условий интерполяции следует, что эти отрезки будут непрерывно состыковываться друг с другом. Поэтому графиком интерполяционной функциипри кусочно-линейной интерполяции является ломаная линия (рис.4.2).

Заметим, что при кусочно-полиномиальной интерполяции интерполяционная функция не обязана быть даже непрерывной. Она может терпеть разрывы на границах частичных отрезков разбиения. Только если граничные точки этих отрезков являются узлами интерполяции, интерполяционная функция при кусочно-многочленной интерполяции будет непрерывна. Что же касается ее производных, то они в граничных точках отрезков разбиения будут терпеть разрывы (как и производная функции ). Поэтому в тех случаях, когда необходимо получить интерполяционную функцию заданной и не очень высокой степени гладкости, хорошо приближающую функцию, целесообразно искать ее в виде сплайнаk-го порядка.