Интерполяционная формула Эрмита

Докажем, что полученный в предыдущем пункте предел интерполяционного многочлена при слиянии узлов, и есть искомый интерполяционный многочлен Эрмита

. (4.3.14)

Доказательство. Требуется доказать, что для полученного предела интерполяционного многочлена выполняются условия интерполяции (4.3.3). Для этого мы зафиксируем произвольный номер и докажем, что

_{. (4.3.15)}

Интерполяционный многочлен не зависит от нумерации узлов. Поэтому и его предел также не будет зависеть от нумерации узлов и

…

+

…

+

. (4.3.16)

Здесь использовано стандартное представление многочлена Ньютона и представление разделенных разностей с кратными узлами. Но разложение записано не до конца. Сумма всех остальных членов записана в виде . Функцияпредставляет собой алгебраический многочлен степени, не обращающийся в 0 в точке. Произведениеи все его производные до-го порядка включительно, очевидно, обращаются в 0 в точке. Поэтому из равенства (4.3.16) следуют доказываемые равенства (4.3.15). Что и требовалось доказать.

Итак, интерполяционный многочлен Эрмита построен. Алгоритм его построения аналогичен алгоритму построения многочлена Ньютона. Единственное отличие заключается в том, что у многочлена Эрмита имеются табличные разности с кратными узлами.

Пример 2

Для функции построить многочлен Эрмита с узлами,и значениями

, ,

, .

Запишем многочлен Эрмита в общем виде

.

Вычислим табличные разности и запишем их в табл. 4.4

, ,

, ,

_,

_,

,

,

.

Таблица 4.4

Осталось составить интерполяционный многочлен

.

Построенный интерполяционный многочлен в рассмотренном примере совпал с исходной функцией . Это не случайно и непосредственно следует из единственности интерполяционного многочлена Эрмита.

Пример 3

Даны значения функции и ее производных в узле : . Требуется построить по этим данным интерполяционный многочлен Эрмита .

Запишем его в виде интерполяционного многочлена Ньютона с кратными узлами и, учитывая выражение (4.3.12), получим

.

Построенный многочлен Эрмита совпал с многочленом Тейлора. Таким образом, многочлен Эрмита является обобщением и объединяет в себе многочлен Тейлора и интерполяционный многочлен.

Оценка погрешности интерполяционного многочлена Эрмита

Пусть функция определена на заданном отрезкеи известны табличные значения функциии ее производных в заданных узлах, содержащихся на отрезке, причем известными считаются значения функции и ее производных

…….;

Здесь ,.. По этим данным строится интерполяционный многочлен Эрмита, который вместе со своими производными имеет те же табличные значения в узлах. Используем его в качестве приближения для функциина отрезке. Тогда точное значение функцииy в точке x будет равно , а в качестве приближенного значения функцииy в точке x получим . Абсолютная погрешность этого приближенного значения функции равна. Ее называют такжеабсолютной погрешностью интерполяции с кратными узлами. Будем искать оценку абсолютной погрешности интерполяции. Она основывается на теореме, которую мы приведем без доказательства.