Предел интерполяционного многочлена Ньютона при слиянии узлов

Для каждого зададим набор попарно различных узлов интерполяциитаких, что

для всех ,

для всех , (4.3.6)

……………………………………..

для всех .

В наборе содержится узел и в пределе приотдельные группы узлов(с одинаковыми первыми индексами)сливаются с соответствующими узлами многочлена Эрмита. Построим для каждого такого набора узлов интерполяционный многочлен Ньютона

. (4.3.7)

Будем искать предел построенного интерполяционного многочлена Ньютона при (при слиянии узлов). Покажем, что если функция имеет непрерывные производные до-го порядка, то искомый предел интерполяционного многочлена Ньютона при слиянии узлов существует. Для того чтобы в этом убедиться достаточно доказать, что существуют пределы разделенных разностей, содержащихся в представлении многочлена Ньютона и содержащих узлы с одинаковыми первыми индексами (сливающиеся при).

Вначале рассмотрим пределы разделенных разностей вида

.

Согласно доказанному в параграфе 4.2 равенства (4.2.10), для любого найдетсятакое, что будет справедливо равенство

. (4.3.8)

Здесь  любой отрезок, содержащий все узлы интерполяции, на котором существует .

Применим формулу (4.3.8) для представления исследуемой разделенной разности . Для этого установим соответствие между аргументами разделенной разности из равенства (4.3.8) и. Выберем в формуле (4.3.8), заменимна, положим,. Тогда,если существует на отрезке, то найдетсятакое, что

. (4.3.9)

Перейдем в этом равенстве к пределу при . Очевидно, чтоипри, посколькупри. Отсюда следует, чтопри. Поэтомуесли непрерывна в точке , то будет существовать предел исследуемой разделенной разности и

. (4.3.10)

Пределы остальных разделенных разностей, содержащих сливающиеся узлы, также существуют и сводятся к пределам разностей вида (4.3.10). Покажем это на следующем примере.

Пример 1

Требуется найти предел интерполяционного многочлена Ньютона при .

Составим для этого многочлена таблицу разделенных разностей (табл. 4.3).

Таблица 4.3

Запишем интерполяционный многочлен Ньютона

+++

+. (4.3.11)

Найдем пределы табличных разделенных разностей при . Разности можно разделить на три группы. К первой группе относятся разности вида (4.3.10), содержащие только сливающиеся узлы. Их пределы находятся по формуле (4.3.10). В нашем случае это разности

, .

К второй группе относятся разделенные разности, не содержащие сливающиеся узлы. Пределы таких разностей вычисляются элементарно и представляют собой также разделенные разности. В нашем случае это разность

.

К третьей группе относятся разделенные разности, содержащие совпадающие и не совпадающие узлы. Вычисление пределов таких разностей сводится к уже рассмотренным. В нашем случае это разности

,

,

.

Таким образом находятся пределы всех разделенных разностей. Следовательно, существует и предел интерполяционного многочлена

+++

+.

Найденный предел интерполяционного многочлена может быть записан в виде обычного интерполяционного многочлена Ньютона, если ввести обозначения разделенных разностей с кратными (повторяющимися) узлами

, ,

,

,

.

После введенных обозначений предел интерполяционного многочлена может быть записан в виде обычного интерполяционного многочлена Ньютона только с кратными узлами

+++.

Более того, все разделенные разности с кратными узлами, кроме разностей вида , вычисляются по обычным формулам (по определению). А разности, в которых все узлы сливаются, вычисляются по формуле, непосредственно следующей из формулы (4.3.10):

. (4.3.12)

Рассмотренный пример показывает, что пределы всех разделенных разностей при , содержащих и не содержащих сливающиеся узлы, существуют. Следовательно, существует и предел многочлена Ньютона.

Введем понятия разделенных разностей с кратными узлами в общем случае. Если в разделенной разности все узлы совпадающие, то ее следует вычислять по формуле (4.3.12). А если в разности есть различные узлы, то она вычисляется так же как разность с некратными узлами, только если в процессе вычисления встретится разность с совпадающими узлами, то она вычисляется по формуле (4.3.12).

Введенное понятие позволяет записывать предел интерполяционного многочлена при слиянии узлов в виде обычного интерполяционного многочлена Ньютона, только с кратными узлами:

. (4.3.13)