Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа

Рассмотренный способ получения интерполяционного многочлена требует слишком много вычислительных операций и достаточно неудобен. Для построения интерполяционного многочлена существуют две более удобные формулы: Лагранжа и Ньютона. Получим формулу Лагранжа для интерполяционного многочлена.

Будем искать интерполяционный многочлен в виде

, (4.1.6)

где – некоторые многочленыn-й степени. Подставим формулу (4.1.6) в условие итерации (4.1.2):

(4.1.7)

Для выполнения условий интерполяции (4.1.7) достаточно выполнения условий:

(4.1.8)

.

Зафиксируем номер i и подберем многочлен так, чтобы выполнялись условия (4.1.8) при. Из условия (4.1.8) следует, что корнями этого многочлена являются все узлы интерполяции, кроме одного узла –. Следовательно, многочленможно представить в виде

.

Здесь – произвольная постоянная. Произведение, стоящее в правой части, можно записать более компактно с использованием символа произведения. Тогда последняя формула примет вид

.

Для определения неизвестной постоянной воспользуемся последним оставшимся условием (4.1.8) при:

.

Отсюда

,

Подставим полученное представление для в формулу (4.1.6) и получим представление для интерполяционного многочлена

(4.1.9)

Интерполяционный многочлен, записанный в виде (4.1.9) называют интерполяционным многочленом Лагранжа, а формулу (4.1.9) – интерполяционной формулой Лагранжа.

Следует подчеркнуть, что по формулам (4.1.5) и (4.1.9) мы получаем один и тот же интерполяционный многочлен, но разными способами и в разных формах. В большинстве случаев пользоваться формулой Лагранжа гораздо удобнее, нежели решать линейную систему (4.1.4).

Оценка погрешности интерполяции

Пусть функция определена на заданном отрезке. Известны значения функциив отдельных точках() этого отрезка. По известной таблице функции построен интерполяционный многочлен. Используем его в качестве приближения для функциина отрезке. Тогда точное значение функцииf в точке x будет равно , а в качестве приближенного значения функцииf в точке x мы получим . Абсолютная погрешность этого приближенного значения функции равна. Ее называют такжеабсолютной погрешностью интерполяции. Будем искать оценку абсолютной погрешности интерполяции.

Теорема 1. Пусть функция имеет на отрезкепроизводные до-го порядка включительно. Тогда для любогох из отрезка найдется точкатакая, что

(4.1.10)

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

, (4.1.11)

где k – некоторая, пока не определенная константа.

Функция обращается в нуль в точках, так как(условие интерполяции). Выберем на отрезкеточкуне равную. Подберем коэффициентk так, чтобы функция обращалась в нуль в точке, то есть, чтобы выполнялось равенство

.

Поскольку , последнее уравнение можно решить относительноk:

. (4.1.12)

Подставим это значение постояннойk в формулу (4.1.11) и получим функцию

,

которая будет обращаться в 0 в разных точках из отрезка(узел интерполяции и точка). Эти точки разбивают отрезокне менее чем намаленький отрезок. На каждом из этих отрезков для функциивыполняются условия теоремы Ролля. В самом деле, функцияна каждом из отрезков непрерывна и дифференцируема, а на концах отрезков обращается в ноль. Тогда, согласно теореме Ролля, на каждом из отрезков существует хотя бы одна точка, где производнаяравна нулю. Этих точек не менее.

Рассмотрим теперь первую производную . Точки, в которых производнаяравна нулю, разбивают отрезокне менее чем наn отрезков. На каждом из этих отрезков для функции выполняются условия теоремы Ролля. В самом деле, функцияна каждом из отрезков непрерывна и дифференцируема, а на концах отрезков обращается в ноль. Тогда, согластно теореме Ролля, на каждом из отрезков существует хотя бы одна точка, гдеравна нулю. Этих точек не менееn.

Далее, аналогично, будем рассматривать производные ,,…,. Каждый раз количество точек, в которых очередная производная должна обратиться в 0, будет на единицу уменьшаться. Так,обращается в 0 не менее, чем вточке,обращается в 0 не менее чем вточках, …обращается в 0 не менее чем в одной точке.

Найдем .

!.

При вычислении производной учитывалось, что – многочленn-й степени и . Кроме того,– многочлен-й степени и его можно представить в виде

.

Поэтому

.

Обозначим точку, в которой обращается в 0, как. Очевидно, что. Тогда

.

Отсюда

. (4.1.13)

Приравняем правые части уравнений (4.1.12) и (4.1.13) и после преобразования получим

(4.1.14)

Итак, для произвольной точки , принадлежащей отрезкуи отличной от узлов интерполяции найдена точка такая, что выполняется доказываемое равенство (4.1.10). Для завершения доказательства осталось убедиться, что равенство (4.1.10) будет справедливо и в тех случаях, когда точкаx совпадет с одним из узлов интерполяции . В самом деле, левая часть равенства (4.1.10) в рассматриваемом случае обратится в 0. Это следует из условий интерполяции. Правая часть также будет равна 0, поскольку в 0 обращается произведение. Теорема полностью доказана.

Из доказанной теоремы легко получить оценку абсолютной погрешности интерполяции. Пусть производная является ограниченной функцией на отрезкеи существует постояннаятакая, чтона. Тогда

. (4.1.15)

4.2. Разделенные разности. Интерполяционный многочлен Ньютона

Разделенные разности и их свойства

Определение разделенных разностей. В предыдущем параграфе получена интерполяционная формула Лагранжа. В этом параграфе мы получим другую интерполяционную формулу, представляющую собой интерполяционный многочлен,  интерполяционную формулу Ньютона. Пусть функция определена на заданном отрезке. Известны значения функциивразличных отдельных точках () этого отрезка.

Разделенными разностями табулированной функции первого порядка называют отношения вида

, .

Разделенными разностями табулированной функции второго порядка называют отношения вида

, .

Разделенными разностями табулированной функции третьего порядка называют отношения вида

, .

Продолжая эти определения можно определить разделенные разности любого порядка, не превышающего n. Будем считать, что разделенные разности порядка уже определены.Разделенными разностями табулированной функции k-го порядка называют отношения вида

,

причем все узлы таблицы , входящие в разность должны быть попарно различны.

Иногда называютразделенными разностями нулевого порядка. Для заданного количества узлов п+1 максимальный порядок разделенных разностей равен n.