matan_bogdanskyj

Çìiñò

3

x11. Застосування векторного аналiзу до теорi¨ кратних iнтегралiв. 109

Роздiл 4. Формула Стокса в термiнах сучасно¨ диференцiаль-

x1. Диференцiйовнi многовиди. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 x2. Дотичний простiр. Векторнi поля. . . . . . . . . . . . . . . . . 113 x3. Зовнiшнi форми. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4

x4. Диференцiальнi форми. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 x5. Зовнiшн¹ диференцiювання диференцiальних форм. . . . . . 123 x6. Iнтегрування диференцiальних форм. . . . . . . . . . . . . . . 125 x7. Загальна формула Стокса та ¨¨ застосування. . . . . . . . . . 130 x8. Застосування диференцiальних форм. . . . . . . . . . . . . . 133

x1. Алгебри та -алгебри множин. Заряд. Мiра. . . . . . . . . . . 139 x2. Приклади мiр. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 x3. Продовження мiри. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 x4. Вимiрнi вiдображення та вимiрнi функцi¨. . . . . . . . . . . . 146 x5. Збiжнiсть послiдовностей вимiрних функцiй. . . . . . . . . . . 152 x6. Iнтегрування простих функцiй. . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 x7. Розширення класу iнтегровних функцiй. . . . . . . . . . . . . 157 x8. Повнота простору L1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 x9. Граничний перехiд пiд знаком iнтеграла. . . . . . . . . . . . . 164 x10. Простори Lp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 x11. Дослiдження зарядiв. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

5

Вступ

Теорiя iнтеграла вивча¹ться в курсах математичного аналiзу та дiйсного аналiзу (останнiй ¹ досить часто складовою частиною курсу функцiонального аналiзу). Традицiйно, побудова iнтеграла в курсi математичного аналiзу виклада¹ться за схемою Рiмана. Але ця схема ¹ непридатною для використання в теорi¨ ймовiрностей, теорi¨ випадкових процесiв, нескiнченновимiрному аналiзi. Iнший пiдхiд до теорi¨ iнтеграла конструкцiя iнтеграла Лебега виклада¹ться в курсi дiйсного аналiзу (або, при недостачi навчальних годин, в курсi функцiонального аналiзу).

В даному посiбнику схема побудови iнтеграла для фунцiй однi¹¨ та кiлькох змiнних сутт¹во вiдрiзня¹ться вiд традицiйно¨ схеми Рiмана.

Ця схема була запропонована видатним математиком та методистом, академiком НАН Укра¨ни Ю.Л. Далецьким. Iнтеграл буду¹ться на базi скiн- ченно адитивно¨ мiри, клас iнтегровних функцiй за цi¹ю схемою дещо бiднiший, анiж клас iнтегровних за Рiманом функцiй. Але цей клас включа¹ в себе неперервнi i кусково неперервнi функцi¨, яких цiлком достатньо для практичних застосувань теорi¨, а сама схема побудови iнтеграла аналогiчна конструкцi¨ лебегiвського iнтеграла, що спрощу¹ у подальшому сприйняття значно складнiшо¨ схеми iнтеграла Лебега.

Посiбник склада¹ться з таких роздiлiв:

iнтегрування функцiй однi¹¨ змiнно¨;

кратнi iнтеграли;

криволiнiйнi та поверхневi iнтеграли;

формула Стокса в термiнах сучасно¨ диференцiально¨ геометрi¨;

iнтеграл Лебега.

6

Посiбник слiд рекомендувати як студентам бакалаврату 6.040303 системного аналiзу, так i студентам бакалаврату 6.050101 комп'ютерних наук (але в цьому разi достатньо використовувати лише роздiли 1 3 посiбника).

Âпершому роздiлi розгляда¹ться теорiя визначеного iнтеграла для функцiй однi¹¨ змiнно¨. Спочатку визначений iнтеграл запроваджу¹ться на класi ступiнчастих функцiй, а потiм поширю¹ться на рiвномiрнi границi послiдовностей ступiнчастих функцiй. Ретельно дослiджено основнi властивостi iнтеграла, зроблено акцент на його застосування. Зокрема, у повному обсязi представлено геометричнi застосування визначеного iнтеграла. Викладення в цьому роздiлi i надалi iлюстровано великою кiлькiстю прикладiв та вправ.

Другий роздiл присвячено узагальненню конструкцi¨: iнтегрування функцiй скiнченно¨ кiлькостi змiнних. Викладення йде за тi¹ю ж самою схемою, але потребу¹ в окремих мiсцях бiльш складно¨ технiки доведення. Взагалi слiд сказати, що при доведеннi складних теорем досить часто результат доводиться у дещо спрощенному варiантi. Деякi теореми, що доведенi для функцiй двох змiнних, подаються без доведення в посiбнику у варiантi для функцiй трьох змiнних. Абстрактна схема iнтеграла, що наведена на поча- тку цього роздiлу, необхiдна також i для третього роздiлу.

Âтретьому роздiлi наведена традицiйна класична теорiя криволiнiйних та поверхневих iнтегралiв. Розвинута в попереднiх роздiлах технiка дозволя¹ дати дещо спрощене доведення класичних теорем векторного аналiзу.

Âчетвертому роздiлi представлено сучасний пiдхiд до теорi¨ криволiнiйних та поверхневих iнтегралiв. Цей пiдхiд грунту¹ться на базових поняттях диференцiально¨ геометрi¨, ма¹ численнi застосування в математичнiй фiзицi, аналiтичнiй механiцi, теоретичнiй фiзицi. При цьому акцент робиться не на доведення теорем (основна теорема взагалi не доводиться), а на представлення сучасного (вiдносно сучасного: йому вже не менше 100 рокiв) погляду на цей фрагмент математично¨ теорi¨. Розглянуто застосу-

7

вання диференцiальних форм до обчислення основних операцiй теорi¨ поля в криволiнiйних координатах.

П'ятий роздiл це вступ до сучасно¨ теорi¨ мiри та iнтеграла. В ньому викладено начальнi поняття теорi¨ iнтеграла Лебега, що необхiднi для застосування в теорi¨ ймовiрностей та теорi¨ випадкових процесiв. Iсну¹ досить багато рiзних пiдходiв до побудови iнтеграла. Схема, що надана у посiбнику вiдповiда¹ конструкцi¨ iнтеграла, що викладена в [2].

Означення, теореми, тверждення, леми, вправи, зауваження пронумерованi в межах кожного роздiлу. При посиланнi на теорему (лему, ...) iншого роздiлу нумерацiя подвiйна (вказано також номер роздiлу). Вектори арифметичного простору Rn та векторнi поля позначаються досить вiльно:

iнколи зi стрiлочкою, iнколи стрiлка вiдсутня це не повинно зашкоджати засво¹нню теорi¨.

Основний теоретичний матерiал посiбника супроводжу¹ться численними прикладами та вправами.

Вважаю сво¨м при¹мним обов'язком висловити щиру подяку сво¹му аспiранту, Яну Юрiйовичу Санжаревському, який узiв на себе клопiт комп'ю- терного набору посiбника.

8

Ðîçäië 1. Iнтегрування функцiй однi¹¨ змiнно¨ .1. Алгебра множин. Заряд. Мiра .

Нехай X довiльна множина; A сiм'я пiдмножин множини X(A

2X) .

Означення 1. Система A пiдмножин в X назива¹ться алгеброю (множин), якщо вона непорожня i виконуються умови:

зива¹ться вимiрним простором , а елементи алгебри A вимiрними множи-

k=1 k=1

2)Нехай A = f?; Xg. Доведiть: (X; A) вимiрний простiр.

3)Нехай A = 2X. Доведiть: (X; A) вимiрний простiр.

4)X = [a; b]; A склада¹ться зi скiнченних об'¹днань числових промiжкiв

m

S

â X : A 2 A , A = hak; bki (òóò äëÿ k = 1; : : : ; m : a 6 ak 6 bk 6 b; ïiä

k=1

ïðîìiæêîì h ; i розумi¹мо одну з чотирьох множин: ( ; ); ( ; ]; [ ; ); [ ;

]). Доведiть: (X; A) вимiрний простiр(A домовимось називати "алгеброю

числових промiжкiв").

m

S

5) X = [a; b); A 2 A , A = [ak; bk)(a 6 ak < bk 6 b). Перевiрте:

k=1

(X; A) вимiрний простiр.

9

6) X = [a; b]; A склада¹ться з усiх скiнченних пiдмножин вiдрiзка X та усiх пiдмножин A X, доповнення яких Ac скiнченне. Перевiрте: (X; A) вимiрний простiр.

Означення 3. Домовимось казати, що сiм'я пiдмножин

алгебру A, якщо кожна множина A 2 A може бути одержана з множин сiм'¨

N в результатi скiнченно¨ кiлькостi операцiй об'¹днання та доповнення. Приклади. Для вимiрного простору з n 4 вправи 1 N = fh ; i j a 6

6 6 6 bg породжу¹ A; для вимiрного простору з n 5 вправи 1, N =

= f[ ; ) j a 6 < 6 bg породжу¹ A.

Для будь-яко¨ непорожньо¨ сiм'¨ N пiдмножин в X можна розглядати

алгебру A, що породжена сiм'¹ю N(будемо позначати ¨¨: A(N)).

Вправа 2. 1) Перевiрте, що сiм'я пiдмножин A â X, кожна з яких одер-

жана за допомогою скiнченно¨ кiлькостi операцiй об'¹днання та доповнення множин з N, утворю¹ алгебру в X.

2) Нехай N сiм'я пiдмножин в X; fA g сiм'я усiх алгебр множин в X,

тивна числова функцiя ! на A, тобто така функцiя ! : A ! R, для яко¨ викону¹ться умова:

\ [

(A; B 2 A; A B = ?) ) (!(A B) = !(A) + !(B))(адитивнiсть):

Якщо ж, додатково, для кожного A 2 A викону¹ться нерiвнiсть !(A) > 0,

то заряд ! назива¹ться мiрою.

Зауваження 1. У подальшому будемо використовувати запис: äèç'þí -

10