11. Дослiдження зарядiв.
Означення заряда на вимiрному просторi (X; A) було сформульовано в
x1 (означення 2). За iншою термiнологi¹ю заряди називають мiрами, а мiриневiд'¹мними мiрами.
Тож нехай A -алгебра множин в X; ! : A ! R заряд.
Теорема 19 (розклад Хана). Нехай ! заряд на вимiрному просторi
äëÿ âñiõ A 2 A мають мiсце нерiвностi: !(A |
WX ) 6 0; !(A |
2 |
X+) > 0. |
(X; A). Òîäi X допуска¹ розбиття: X = X |
X+ (X ; X+ |
T |
A) òàêå, ùî |
|
Доведення. Множину C 2 A |
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
домовимось називати вiд'¹мною , якщо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для кожно¨ ¨¨ вимiрно¨ пiдмножини A C викону¹ться нерiвнiсть !(A) 6 0. Аналогiчним чином запроваджу¹мо поняття додатно¨ множини. Позначимо
i Cn послiдовнiсть множин з A , äëÿ ÿêèõ !(Cn) |
|
. Позначимо: |
через A сiм'ю усiх вiд'¹мних пiдмножин в X. Нехай = inf |
!(C) |
C 2 A |
äëÿ |
1 |
n 2 N |
|
|
! |
|
|
S |
|
|
|
|
|
X |
= n=1 Cn. Òîäi X 2 A i !(X ) = , òîìó ùî 6 |
!(X ) 6 !(Cn) |
|
кожного |
|
. |
|
|
|
|
Доведемо, що X+ = X n X ¹ множиною додатною. Цього достатньо. Допуска¹мо супротивне. Тодi iсну¹ A0 X+, A0 2 A, !(A0) < 0. Ìíî-
< |
|
|
A1 A0 |
|
A1 |
2 A |
S |
Sn |
æèíà A0 |
не може бути вiд'¹мною (iнакше X A0 2 A i !(X |
A0) < |
|
). Òîìó iñíó¹ |
|
( |
|
|
, це ж стосу¹ться надалi усiх |
A ), äëÿ |
ÿêî¨ !(A1) > 0. A1 виберемо таким чином, щоб A1 A0; !(A1) > k11 , äå k1 найменше з можливих натуральних чисел (обгрунтуйте iснування тако¨ множини).
При цьому !(A0 n A1) < 0 i з тих же причин: A0 n A1 2= A . Òîæ iñíó¹ A2 A0nA1, äÿ ÿêî¨ !(A2) > 0 i при цьому виберемо A2 òàê, ùîá !(A2) > k12 з найменшим можливим натуральним k2. Далi процес продовжимо. На n-
|
|
n 1 |
1 |
|
|
натуральне число серед |
|
W |
|
|
|
|
|
|
|
му кроцi: пiдмножина An A0 |
n |
Ak ; !(An) > kn , äå kn найменше |
|
можливих.k=1 |
1 |
|
|
|
|
> |
Множини An (n = 1; 2; : : :) попарно не перетинаються; ! n=1 An |
|
|
|
|
|
W |
|
> |
1 |
|
1 |
, à òîìó kn ! +1, n ! 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
kn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nP |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для множини B = A0 n |
An ìà¹ìî: !(B) < 0 i B 2= A . Òîìó iñíó¹ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
2 N |
i C |
|
B, для якого !(CW) > 1 |
|
n, для якого kn > k. А це означа¹, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k . Iñíó¹ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
було вибрано не з |
ùî íà n-му кроцi вiдповiдну множину A |
|
|
! |
A |
|
)1 |
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
найменшим можливим |
|
|
, áî |
|
|
|
n 1 |
( |
|
n |
|
i |
|
|
kn |
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C A0 n j=1 Aj. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kn |
|
|
!(An |
C) > k |
> kn |
|
An |
Суперечнiсть. Тож множина X+ ¹ |
додатною. |
|
|
|
|
|
|
|
W |
|
|
W |
|
W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Розклад Хана не ¹диний. Якщо множина C така, що для кожно¨ пiд- |
множини A C ì๠ìiñöå ðiâíiñòü: !(A) = 0, то множина X = X |
C |
¹ âiä'¹ìíîþ, |
X+ = X+ |
|
C |
додатною i |
X = X |
|
|
|
|
X+ iíøèé |
âàðiàíò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
розкладу X на вiд'¹мну та додатну пiдмножини. |
|
W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
2 |
Нехай X = X+ |
X розклад Хана заряда !. Для кожного A 2 |
A |
покладемо: |
|
A |
|
|
|
! |
A |
X |
; ! |
|
A |
) = |
! A |
X |
) |
. Òîäi ! , ! |
|
|
|
|
|
|
!+(W ) = |
( |
|
|
+) |
( |
|
( |
|
|
|
|
|
+ |
|
(íåâiä'¹ìíi) ìiðè íà (X; A). |
При цьому |
! = !+ |
|
|
! T(розклад Жордана |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
заряда !).
Означення 16. Ìiðè !+ i ! називаються додатною òà âiä'¹ìíîþ части- нами заряда !. Ìiðà j!j = !+ + ! назива¹ться повною варiацi¹ю заряда !, а величина k!k = j!j(X) варiацi¹ю заряда !.
Вправа 16. 1) Довести, що !(X+) ¹ найбiльшим, а !(X ) найменшим значенням, що прийма¹ заряд ! на -алгебрi A. Зробiть висновок про те,
що множина значень заряда ¹ обмеженою.
2) Доведiть, що розклад Жордана заряда ¹ мiнiмальним в наступному сенсi: якщо ! = #, äå òà # (невiд'¹мнi) мiри, то для кожно¨ множини
A 2 A виконуються нерiвностi: !+(A) 6 (A); ! (A) 6 #(A). Зробiть звiдси висновок про однозначнiсть розкладу Жордана заряда !.
Означення 17. Нехай та # мiри на вимiрному просторi (X; A). Ìiðà
# назива¹ться абсолютно неперервною вiдносно мiри , якщо для кожного
(позначення
" > 0 iñíó¹ > 0 òàêå, ùî (A) < ) #(A) < " # ).
(X; A; ) простiр з мiрою i заряд f 2 L1(X; ) така, що для кожно¨
Заряд !1 абсолютно неперервний вiдносно заряда !2, ÿêùî ìiðà j!1j àáñî-
лютно неперервна вiдносно мiри j!2j (!1 !2).
Вправа 17. Нехай !1; !2; !3 заряди на (X; A); ; 2 R. Доведiть:
1)!1 + !2 ¹ також зарядом на (X; A);
2)ÿêùî !1 !3; !2 !3, òî !1 + !2 !3.
Теорема 20. Нехай та # мiри на вимiрному просторi (X; A). Òîäi
умова абсолютно¨ неперервностi # еквiвалентна наступнiй:
(A) = 0 ) #(A) = 0 : |
(15) |
Доведення. Умова (15) ¹ очевидним наслiдком абсолютно¨ неперервностi мiр (обмiркуйте!). Потребу¹ доведення лише зворотний факт.
Тож нехай викону¹ться умова (15), але iсну¹ " > 0, що ма¹ наступну
властивiсть: для кожного натурального n iсну¹ множина An 2 A, для яко¨ одночасно мають мiсце двi нерiвностi: (An) < 21n òà #(An) > ".
S
Тодi множини Bn = Ak утворюють монотонно спадну послiдовнiсть,
|
1 (Ak) < |
k>n |
|
(Bn) 6 |
1 |
! 0, n ! 1, à #(Bn) > #(An) > ". Òîìó çà |
2n 1 |
|
kP |
|
|
1 |
|
=n |
|
|
|
÷àñ, ÿê #(B) = lim #(Bn) > ". Суперечнiсть.nT |
властивостями мiр та # для множини B = |
Bn ìà¹ìî: (B) = 0, â òîé |
|
|
|
|
=1 |
n!1
З теореми 10 виходить, що на просторi з мiрою (X; A; ) кожнiй функцi¨
R
f 2 L1(X; ) вiдповiда¹ заряд !(A) = f d , який ¹ абсолютно неперерв-
A
ним вiдносно мiри (те, що ! ¹ зарядом ¹ наслiдком наступних iмплiкацiй:
).
An & ? ) (An) & 0 ) !(An) ! 0
Наступний результат доводить зворотне твердження i да¹ повний опис зарядiв ! на вимiрному просторi (X; A) абсолютно неперерних по вiдношенню до фiксовано¨ мiри.
Теорема 21 (Радон, Нiкодим). Нехай ! на (X; A); ! . Тодi iсну¹ функцiя
R
вимiрно¨ множини A 2 A: !(A) = f d .
A
Доведення. Посилаючись на розклад Жордана, достатньо доводити теорему для того випадку, коли ! ¹ ìiðîþ.
Êðîê 1. Покладемо
F := |
f 2 L1 |
|
f > 0; |
Z |
f d 6 !(A) äëÿ 8 A 2 A |
n |
|
|
A |
o |
|
|
|
|
|
|
|
n |
R f d |
|
|
o |
|
|
i нехай M = sup |
|
f 2 F . Перевiримо, що iсну¹ функцiя f 2 F, äëÿ |
|
|
|
|
|
|
X
R
ÿêî¨ M = f d (sup досяга¹ться).
X
R
Нехай fn 2 F i fn d ! M; gn = maxff1; : : : ; fng. Òîäi gn 2 F. Äiéñíî,
X
n
W
кожну множину A 2 A можна розбити в диз'юнктне об'¹днання A = Ak
k=1
множин з A, що вибранi за принципом: gn(x) = fk(x) äëÿ x 2 Ak. Ïðè
цьому: |
Z |
n |
Z |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
gn d = |
gn d 6 !(Ak) = !(A): |
|
|
|
A |
k=1 Ak |
|
k=1 |
|
|
|
|
Послiдовнiсть функцiй gn монотонно неспадна i gn d 6 !(X). Çà òå- |
|
|
|
|
|
f = lim gn |
|
L1. |
|
X |
оремою Беппо Левi функцiя |
|
Граничним переходом одер- |
|
|
|
|
|
2 |
|
R |
жимо нерiвностi: |
|
n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
f d 6 !(A) äëÿ âñiõ A 2 A. Òîæ f 2 F i, за вибором |
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
fn, f d = M. |
R |
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
f, що одержана на кроцi 1 i ¹ шуканою. З |
|
Крок 2. Доводимо, що функцiя |
|
R |
|
|
|
|
цi¹ю метою розглянемо на A заряд (A) = !(A) |
f d . Îñêiëüêè (A) > 0 |
для кожного A |
|
|
|
|
|
|
A |
|
. Наша мета довести, |
2 |
A, то ¹ мiрою; за теоремою 10: R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
що мiра нульова (для цього достатньо довести, що (X) = 0). |
Припуска¹мо супротивне i для заряда #n = n1 (òóò n 2 N) беремо
1
розклад Хана: X = X+(n) WX(n). Позначимо: X = T X(n). Îñêiëüêè äëÿ
n=1
кожного n 2 N: X X(n), òî #n(X ) 6 0. Òîæ (X ) 6 n1 (X ) äëÿ âñiõ n, à òîìó (X ) = 0.
Далi стверджу¹мо iснування такого n, ùî (X+(n)) > 0. Iнакше для кожного n ìàëè á ðiâíiñòü (X) = (X(n)), а це неможливо, бо тодi
1 |
1 |
(X+(n)) = 0; |
(X n X ) = n=1(X n X(n)) |
6 n=1 |
[ |
X |
çâiäêè: (X) = (X ) = 0, à íåðiâíiñòü (X) > 0 була покладена у вихiдну
суперечнiсть.
Оскiльки , то за теоремою 20, з нерiвностi (X+(n)) > 0 виходить:(X+(n)) > 0. Для кожно¨ вимiрно¨ множини A X+(n) викону¹ться нерiв-
íiñòü (A) > n1 (A). Покладемо: h(x) = f(x) + n1 jX |
(n) (x). Тодi для кожно¨ |
|
|
|
|
|
|
+ |
вимiрно¨ множини A одержимо нерiвностi: |
|
Z h d = Z |
1 |
|
(A \ X+(n)) 6 Z f d + (A \ X+(n)) = |
f d + |
|
|
n |
A |
A |
Z |
A |
|
|
|
|
|
=f d + !(A \ X+(n)) 6 !(A n X+(n)) + !(A \ X+(n)) = !(A);
AnX+(n) |
|
|
R |
1 |
(n) |
2 F, що неможливо, оскiльки |
звiдки одержимо включення h |
h d = |
X
R
= f d + n (X+ ) > M. Одержана суперечнiсть доводить теорему.
X
Вправа 18. Доведiть, що функцiя f, iснування яко¨ доведено в теоремi 21, ¹дина з точнiстю до еквiвалентностi.
Означення 18. Функцiя f, iснування яко¨ доведено в теоремi 21, по-
знача¹ться: d! ! вiдносно d i назива¹ться похiдною Радона-Нiкодима заряда
мiри або щiльнiстю заряда ! вiдносно мiри .
Список використано¨ та рекомендовано¨ лiтератури
1.Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1989. 472с.
2.Богачев В.И. Основы теории меры. М. Ижевск.: РХД, 2006. 584с.
3.Зорич В.А. Математический анализ. т.1 М.: Наука, 1981. 544с. ; т.2
М.: Наука, 1984. 640с.
4.Спивак М. Математический анализ на многообразиях. М.: Мир, 1968.
164ñ.
однобiчно неперервна 44
проста 11, 56, 155
Хаусдорфовiсть топологiчного простору 112
Öèëiíäðî¨ä 72
Циркуляцiя вектора 107
Частина заряда вiд'¹мна 172додатна 172
Øëÿõ 34
Щiльнiсть заряда вiдносно мiри 22, 57, 175
ßêîáiàí 64
