Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

matan_bogdanskyj

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

860.79 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1811 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

x = x u(t); v(t) =

кришки S1 = (x; y; z) x2 + y2 6 1; z = 1 . Оскiльки за теоремою 3

ZZ		ZZZ
xdydz + ydxdz	+ zdxdy = 3	dx dy dz = 3v(V ) = ;
@V		V

то шуканий iнтеграл дорiвню¹:

I = xdydz + ydxdz + zdxdy:

@S1

~	~
Îñêiëüêè äëÿ S1 нормаль ~n k, (X; ~n) = R = 1 i
I = 2 ZZ2	1 dx dy = 0:

x +y 61

Зауваження 5. Формула Гаусса-Остроградського допуска¹ сутт¹вi узагальнення.

8. Формула Стокса.

Нехай поверхня в R3, що допуска¹ параметризацiю ~x = ~r(~u) класа C1; D область в R2, що разом з гладкою межею @D належить (вiдкритiй)

множинi визначення параметра	~u = (u; v)	i нехай	~	~	~	~
	~u = (u; v)		X = P i + Q j + R k
неперервно диференцiйовне векторне поле, що визначено на поверхнi							.

Позначим: S = ~r(D); @S = ~r(@D).

Будемо вважати, що на межi @D областi D фiксована додатня орi¹нтацiя: напрямок руху по @D, що вiдповiда¹ зростанню вiдповiдного параметра t, ¹ таким, що область D залиша¹ться злiва. Формально це означа¹, що

найкоротший поворот вiд вектора h1 зовнiшньо¨ нормалi межi @D äî âiä-

повiдного дотичного вектора h2 криво¨ @D проти годинниково¨ стрiлки.

Öÿ îði¹íòàöiÿ @D iндуку¹ вiдповiдну орi¹нтацiю криво¨ @S: параметризацiя u = u(t); v = v(t) криво¨ @D iндуку¹ параметризацiю

x(t); y = y u(t); v(t) = y(t); z = z u(t); v(t) = z(t) íà @S.

101

Поверхня ¹ двобiчною поверхнею (див. x6). Фiксу¹мо на поле нормалi

~n ~r(~u)

!u0

!v0

(тим самим фiксу¹мо бiк поверхнi). Для

!u0

!v0

0 2

вектори

!u0

òà

!v0

належать

кожно¨

дотичному

r (u ; v )

точки x =

r (u ; v )

простору

â òî÷öi

(тобто

Tx0

!u0 ;

!v0

Упорядкова трiйка векторiв

!v0 ; !u0

¹ правою трiйкою в

¹нтована з системою векторiв

, побудованiй в!äîâiëüíié òî÷öi

3. В площинi параметра система базисних

!1;

векторiв

однаково орi-

e1 ; !2

(найкоротний поворот вiд

першого вектора системи до другого проти

годинниково¨ стрiлки або, формально, в будь-якому базисi

матрицi ко-

ординат мають однаковий знак визначника).

Якобi¹ва матриця

)

переводить вектор h

в дотичний вектор кри-

âî¨

, узгоджений з ¨¨ орi¹нтацi¹ю, а вектор

у вектор дотичного про-

стору Tx0 , який напрямлено ззовнi областi S поверхнi .

A =

!0(!0)

Лiнiйне вiдображення

iндуку¹ iзоморфiзм

íà

= Tx!0 , але при iзоморфiзмi однаково зорi¹нтованi упорядкованi систе-

ми векторiв переходять в однаково зорi¹нтованi (обмiркуйте цей тезис!).

Тому пара векторiв

!1;

зорi¹нтована в

однаково з парою

!u0

= !1 ; !v0

;

!2;

. А звiдси робимо висновок про те, що вектори

! !u0 !v0 ).

3 праву трiйку (нагада¹мо:

Означення

утворюють в

Орi¹нтацiя поверхнi i розташованого на

замкнено-

го контура @S (межi S ) назива¹мо узгодженими, якщо дотичний вектор ~ до @S (що визнача¹ орi¹нтацiю @S), нормаль ~n до поверхнi (що

								~
визнача¹ орi¹нтацiю ) та нормальний вектор до @S, що ¹ дотичним
							S	!0	2	@S утворю-
äî		i зовнiшнiм по вiдношенню до						â êîæíié òî÷öi x		@S утворю-
ють праву трiйку в R			3			~
ють праву трiйку в R				(в порядку f ; ~; ~ng для визначеностi). Або iнакше:
~ ~n напрямлено ззовнi S.									òà @S óçãî-

	В нашому прикладi параметризовано¨ поверхнi орi¹нтацi¨
					!1					!2
дженi. При цьому вектор Ah						взагалi кажучи не перпендикулярний до Ah ,

але його замiна на вектор ~

не змiню¹ орi¹нтацi¨ трiйки (обмiркуйте). 102

! !

Y = rot X .

Приклад. Нехай поверхня графiка гладко¨ функцi¨ z = z(x; y). Â

якостi параметрiв беремо:

;

. Òîäi

!x0

;

!y0

+ @x k

!x0 !y0

¹ правою, а тому саме верхнiй бiк поверхнi

узгоджено з

. Òîæ òðiêà

; r

; !

îði¹íòàöi¹þ ìåæi

, що вiдповiда¹ позитивнiй орi¹нтацi¨

сво¹¨ проекцi¨ на площину xOy (перевiрте!).

Нехай ! =

векторне поле, що визначено в околi

P i

Q j

R k

поверхнi S; функцi¨ P , Q, R припуска¹мо неперервно диференцiйовними в

Означення 5.

X назива¹ться ве-

Вихором (ротором) векторного поля !

кторне поле

@Q ~

@R ~

@P ~

+ @z

+ @x

! =

Позначення:

Правило для запам'ятовування: напишiть формальний визначник:

~ ~ ~

i j k

@ @ @

@x @y @z

P Q R

i розкрийте його за класичним правилом трикутникiв . Одержите формулу

äëÿ rot X .

Теорема 4 (формула Стокса). Нехай поверхня параметризована гладким (класу C1) вiдображенням параметризацi¨ ~r; @S гладкий контур в , що обмежу¹ поверхню S i орi¹нтацiя @S узгоджена з орi¹нтацi¹ю по-

верхнi (або

це не принципово). Нехай

векторне

поле класу C1, визначене в околi поверхнi S. Òîäi ìà¹ ìiñöå ðiâíiñòü:

= ZZ

rot ! !

(16)

P dx Q dy R dz

X ; n d :

103

Доведення. Доведемо теорему в припущеннi: параметризацiя ~r íàëå-

жить класу C2. Спочатку доведемо формулу (16) для векторного поля

! =	~	. Випадки	! =	~;	! =	~	перевiряються аналогiчно i зали-
X R k			X P i		X Q j

ша¹ться лише ¨х скласти.

Нехай ~r: D ! S; ~r: @D ! @S.

ßêùî u = u(t); v = v(t); t çìiíþ¹òüñÿ âiä t1 äî t2 > t1 ¹ параметризацiя @D, така, що область D залиша¹ться злiва при обходi контура @D, òî

x = x(t) = x u(t); v(t) ; y = y(t) = y u(t); v(t) ; z = z(t) = z u(t); v(t) :

¹ вiдповiдна параметризацiя контура @S. Òîäi

R dz = R x(t); y(t); z(t) z0(t) dt =

@S t1 t2

=R x(t);

y(t); z(t)

	u(t); v(t) u0(t) + @v		: : : v0	(t) dt =
		@z

=R x(u;

v); y(u; v); z(u; v) @udu + R x(u; v); y(u; v); z(u; v)				@vdv :
	@z			@z

(обмiркуйте останню рiвнiсть!).

Тепер застосування формули Грiна (див. (7)) дозволя¹ звести останнiй iнтеграл до подвiйного:

I R dz = ZZ

@u R x(u; v); y(u; v); z(u; v) @v

@u +

@v R : : :

du dv = ZZ

@u +

@u du dv =

+ @y

@v +

104

= ZZ

@u @v @v @u +

@u @v

@v @u du dv:

@x @z

@y @z

З iншого боку,

@R~

@R ~;

rot ! = rot (R k) = @y i @x j

rot !

!u0

!v0

rot !

r ;

X ; n

X ;

à òîìó

!u0

!v0

@y @z

@x @z

@u @v

@v @u

rot !

= I

X ; n d

R dz:

Аналогiчно перевiря¹ться формула для векторних полiв ! =

P i

= Q j

Теорема 4 узагальню¹ться на випадок поверхонь, якi гладкими кривими можна розрiзати на скiнченну кiлькiсть поверхонь, кожна з яких допуска¹ гладку параметризацiю.

Вправа 5. Сформулюйте та доведiть формулу Стокса для поверхонь, що можуть бути розрiзанi на параметризованi частини.

9. Незалежнiсть криволiнiйного iнтеграла в R3 вiд шляху iнтегрування.

Означення 6. Замкнену криву в R3 назива¹мо контуром, якщо ця крива

¹ межею деяко¨ зв'язно¨ поверхнi в R3. Область V â R3 назива¹мо однозв'яз-

íîþ, якщо кожний контур, що розташований в V , ¹ межею деяко¨ поверхнi,

що цiлком лежить в V .

(

0 )

(

Приклади. Проколена куля

0 < x2 + y2 + z2

¹ однозв'я-

(x; y; z)

< 1

зною областю, а тор поверхня обертання кола

x; ; z

x 2)2 +z2 = 1

навколо осi Oz неоднозв'язна область (обмiркуйте!).

105

Теорема 5. Нехай V однозв'язна область в R3; функцi¨ P , Q, R âè-

значенi i неперервнi в областi V разом зi сво¨ми похiдними: @P@y , @P@z ; @Q@x , @Q@z ; @R@x , @R@y . Тодi наступнi 4 умови еквiвалентнi:

1) Для будь-якого замкненого контура , що цiлком належить V , iíòå-

ãðàë

P dx + Q dy + R dz = 0:

2) Для будь-яких кривих 1, 2 â V , що мають спiльний початок та спiльний кiнець, викону¹ться рiвнiсть:

I	P dx + Q dy + R dz = I	P dx + Q dy + R dz:
1	2

3) Вираз P dx + Q dy + R dz ¹ повним диференцiалом деяко¨ функцi¨ u

в областi V .

4) Ñêðiçü â V виконуються рiвностi: @P@y = @Q@x ; @P@z = @R@x ; @Q@z = @R@y . Доведення. цi¹¨ теореми повнiстю аналогiчне доведенню теореми 2 iз ви-

користанням формули Стокса замiсть формули Грiна. Доведiть самостiйно!

10. Термiнологiя теорi¨ поля .

Числову функцiю, визначену в областi V R3 називають також "скаляр-

ним полем".

Дивергенцiя òà ротор (вихор) векторного поля були запровадженi вище. Оператор Лапласа ставить у вiдповiдь скалярному полю u нове скаляр-

не поле, що визначене за правилом: 4u = div (grad u).

Потiк вектора (векторного поля) X через (орi¹нтовану) поверхню S це поверхневий iнтеграл другого роду RR ! !

X ; n d .

106

Криволiнiйний iнтеграл 2ãî роду уздовж (орi¹нтовано¨) криво¨

íàçè-

вають роботою вектора !

X (векторного поля X ) уздовж криво¨ , а в разi

замкнено¨ криво¨

, також циркуляцi¹ю вектора X уздовж криво¨ .

Векторне поле

X називають потенцiальним, якщо iсну¹ скалярне поле

! =

u, для якого X

grad u.

За теоремою 5, в однозв'язнiй областi

3 векторне поле

X ¹ ïî-

0 (безвихрове

тенцiальним в тому й тiльки в тому разi, якщо

rot !

= !

ïîëå).

Вправа 6. Якщо V неоднозв'язна область в R3, то умова безвихровостi

векторного поля ¹ необхiдною, але, взагалi кажучи, недостатньою умовою

його потенцiальностi. Доведiть.

)

+ x

j + 2xz k

Приклади.

1) Векторне поле ! = (2

3. Дослiдити його на потенцiальнiсть та знайти потенцiал поля

X .

Розв'язання

= 2x =

;

= 2z =

;

= 0 =

; R3

однозв'язна область. За теоремою 5 векторне поле

X потенцiальне.

Знайдемо його потенцiал.

З доведення теореми 5 виходить алгоритм пошуку потенцiала:

(x;y;z)

u(x; y; z) = (2xy + z2) dx + x2 dy + 2xz dz =

(0;0;0)
x	y	z
= Z0	0 dx + Z0	x2 dy + Z0	2xz dz = x2y + xz2:

При розв'язаннi задачi за криву, що з'¹дну¹ точки							(0; 0; 0) òà (x; y; z)
була взята ламана (0; 0; 0) ! (x; 0; 0) ! (x; y; 0) ! (x; y; z).
X		~		~		~	уздовж криво¨ :
	=	z i	+	x j	+	y k
2) Знайти циркуляцiю вектора !

x = cos t, y = sin t, z = 1. t çìiíþ¹òüñÿ âiä 0 äî 2 .

Розв'язання Спосiб 1 Циркуляцiю шука¹мо безпосередньо за означен-

107

íÿì:	2
I =	2	1 ( sin t) + cos t cos t dt = :
I =	Z	1 ( sin t) + cos t cos t dt = :

Спосiб 2 Застосу¹мо формулу Стокса:

~ ~ ~

i j k

rot

;

крива

для поверхнi S

= (x; y; 1)

+ y

¹ межею. При цьому

6 1

îði¹íòàöiÿ

;

~. Òîæ

узгоджена саме з верхньою стороною круга

= ZZ

rot !

= ZZ

(

)

площа круга :

X ;

В термiнах символiчного диференцiального оператора набла (операто-

ра Гамiльтона)

! :=

~i +

~j +

~k операцi¨ векторного аналiза запи-

сують так: !

div

! !

= !

! =

! !

Використання вiдомих

;

grad u

; X

rot X =

X ;

;

тверджень векторно¨ алгебри дозволя¹ одержати

(але не завжди правильнi) формули векторного аналiза:

rot

(

)

div

rot !

! !

! = 0

grad u

r r

u = 0

;

мiшаний добуток :

Вправа 7.

ßê âiäîìî, ~a (b ~c) = (~a; ~c)b

(~a; b)~c. А чи викону¹ться

ðiâíiñòü:

(! !) = (! !)!

(! !)!

; Y

; X Y

108

11. Застосування векторного аналiзу до теорi¨ кратних iнтегралiв .

Нехай U вiдкрита множина в R2; G квадровна область, така, що G

U i ìåæà @G склада¹ться зi скiнченно¨ кiлькостi кусково гладких конту-

рiв. Вiдповiдно до зауваженя 3, для G викону¹ться формула Грiна.

Нехай F C2-дифеоморфiзм U íà F(U) R2. Òîäi @ F(G)									= F(@G),
межа множини F(G) також склада¹ться зi скiченно¨				кiлькостi кусково глад-

ких контурiв i для областi F(G) викону¹ться формула Грiна.
Ðîçiá'¹ìî @G на окремi дiлянки: @G = 1			: : :		m, кожна з яких до-
пуска¹ гладку параметризацiю: x = x(t), y = y(t), t						k =		ak; bk		. Òîäi
		параметризацiю:					h		i
дiлянки F( k) ìåæi @ F(G)	одержують		W W		2 4						,
						u = u x(t); y(t)

v = v x(t); y(t) t 2 4k (òóò u = u(x; y); v = v(x; y) покоординатне

завдання F).

Для пошуку площi F(G) застосу¹мо формулу Грiна:

s F(G) =

@ F(G)

m	Z u x(t); y(t)	@x x(t); y(t) x0	(t)+
u dv = k=1
X k		@v
	4

+ @y x(t); y(t) y0(t) dt =

I u @x dx + u

@y dy =

dx dy = ZZ

det F0(x; y) dx dy:

u@y

@y u

(îáõiä ìåæi F(G) був саме такий, що вiдповiда¹ додатному визначнику

0	!	!
F	(x; y): коротший поворот вiд grad u(	) äî grad v( ) â êîæíié òî÷öi U ïðî-
ти годинниково¨ стрiлки (як для векторiв ~ òà ~). При обходi область			F(G)
		i j	F(G)

залиша¹ться злiва).

Одержаний результат можна застосувати як другий спосiб доведення леми 2.8, або як незалежне доведення формули замiни змiнних в подвiйному iнтегралi для спецiального класу областей.

Аналогiчний метод можна використати i для потрiйного iнтеграла.

109

склада¹ться

W W

Нехай U R3; V кубовна область; V U; ìåæà @V

зi скiнченно¨ кiлькостi параметризованих поверхонь: @V = S1 : : : Sm. Параметризацi¨ цих поверхонь: x = x(t; s); y = y(t; s); z = z(t; s); (t; s) 2

Dk R2.

Äàëi: F C2-дифеоморфiзм U ! F(U) R3; ìåæà @ F(V ) = F(S1) W

:: : F(Sm) i дiлянки F(Sk) одержують параметризацiю: u = u x(t; s);

;

y(t; s); z(t; s) v = v(: : :); w = w(: : : ). Òóò u = u(x; y; z); v = v(x; y; z); w = w(x; y; z) покоординатне завдання F.

Надалi скориста¹мось тим, що для V i F(V ) викону¹ться формула ГауссаОстроградського (в такому варiантi цю формулу доводити не будемо). Об'- ¹м F(V ) за формулою Гаусса-Остроградського дорiвню¹:

v F(V )

u dv dw =

@v@t

@v@s

dt ds =

k=1 ZZ

@(F(V ))

X Dk

@t @s

u det "

@w !

1#dt ds =

k=1

X Dk

@s C

@v@

k=1

@w@y

@w@z

@w@x

@w@y

dx dy =

dy dz + u

dx dz + u

@v @w

= ZZZ @x

@y @z

@z @y

+ @z

u @x

dx dy dz = ZZZ det F0(x; y; z) dx dy dz:

(Обов'язково вiдслiдкуйте всi перетворення!).

Одержаний результат да¹ доведення аналога леми 2.8 для потрiйного iнтеграла. Його можна також використати як незалежне доведення формули замiни змiнних в потрiйному iнтегралi для спецiального класу областей в R3 (але при цьому слiд обгрунтувати кубовнiсть F(V )).

110

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1811 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.20164.05 Mб7Manual_DIR-300_A1_rev_1_0_RUS.pdf
#
17.03.2016522.24 Кб93manuel.doc
#
07.09.2019411.65 Кб1marketing_1-65.doc
#
17.03.20161.5 Mб28MASTER DIPLOMA_Kireeva Anastasia (1) (1).docx
#
17.03.20161.57 Mб17MASTER DIPLOMA_Kireeva Anastasia.docx
#
12.05.2015860.79 Кб23matan_bogdanskyj.pdf
#
12.05.20151.15 Mб13Matematyka_vidpovidi_.pdf
#
12.05.2015999.23 Кб12Matemat_vidpovidi_ds.pdf
#
03.08.2019364.7 Кб1materialka.docx
#
01.05.2019169.47 Кб7Materialoznavstvo-ukr.doc
#
12.05.2015597.61 Кб9materialoznavstvofinal.pdf