matan_bogdanskyj

ною (такi множини назвемо простими ). Через BX позначимо сiм'ю пiдмно- æèí â X, кожна з яких ¹ об'¹днанням скiнченно¨ кiлькостi криволiнiйних трапецiй цього виду.

Твердження 1. BX

проекцiя A на вiсь Ox; Ax0 = fy j (x0; y) 2 Ag проекцiя на вiсь Oy перерiзу A прямою x = x0. Далi через A1 понача¹мо алгебру числових

для кожно¨ множини A 2 BX ма¹ мiсце i (коректно визначена) наступна

Доведення. Для кожного x множина Ax 2 A1; функцiя f(x; ) неперерв-

61

m

W

=(Tk)x.

k=1

R

функцi¹ю аргументу x, i це ж стосу¹ться функцi¨ f(x; y) dy, що доводить

Ax

¨¨ iнтегровнiсть i коректнiсть запису в формулi (5).

ìà¹ìî îöiíêó:

Аналогiчно:

!(T ) > inf f s(T ):

T

62

Тепер результат ¹ безпосереднiм наслiдком теореми 1.

Ðîçâ'ÿçîê Ñïîñiá 1 Проецiя D на вiсь Ox вiдрiзок [0; 2] (зробiть не- одмiнно малюнок!). Але множину Dx задати ¹диною формулою непросто. Тому використа¹мо адитивнiсть iнтеграла i розiб'¹мо D:

_

D = D1 D2; prx D1 = [0; 1]; prx D2 = [1; 2]:

Òîäi

63

3. Замiна змiнно¨ в подвiйному iнтегралi .

Нехай X квадровна вiдкрита множина в R2; F вза¹мно однозначне вiдображення X íà Y = F(X) R2. Нехай F òà F 1 неперервно диферен- цiйовнi вiдображення. Таке вiдображення F назива¹ться дифеоморфiзмом . Визначник якобi¹во¨ матрицi F0(~x) назива¹ться ÿêîáiàíîì F â òî÷öi ~x i ïî-

Нехай f iнтегровна функцiя на F(X). й вiдповiда¹ (складена) функцiя f F на X. В разi, якщо вда¹ться довести, що вiдображення F переводить квадровну пiдмножину A X в квадровну пiдмножину F(A) Y i, тим

самим реалiзу¹ вза¹мно однозначну вiдповiднiсть мiж алгебрами AX òà AY (òîìó ùî F 1 також ¹ дифеоморфiзмом), можна посилатись на теорему 2

(x1). За теоремою 2, функцiя f F ¹ iнтегровною на X, à â òîìó ðàçi, ÿêùî

визначена щiльнiсть dsdsF , ма¹ мiсце формула (3).

Основна теорема цього параграфу поляга¹ у наступному.

Теорема 6. Нехай U вiдкрита множина в R2; F дифеоморфiзм U

íà F(U) â R2. Нехай X квадровна множина в U; X U; Y = F(X)

(тут X замикання X). Тодi Y квадровна множина; для кожно¨ iнтегровно¨ функцi¨ f 2 D(Y ), функцiя f F 2 D(X) i при цьому викону¹ться

Доведенню теореми передумовимо ниçêó ëåì.

Нагада¹мо спочатку, що замиканням A множини A назива¹ться об'¹дна- A0 граничних точок A. Замикання A множини

64

¹ замкненою множиною, тому що граничнi точки A ¹ також граничними точками A: A0 = A0 (перевiрте!).

Межею @A множини A назива¹ться перетин A òà Ac (точки @A â êî-

жному сво¹му околi мiстять як точки A, так i точки, що не належать A). Вiдкритим ядром A назива¹ться множина Ao всiх внутрiшнiх точок A.

@A = A n Ao (перевiрте!).

Ëåìà 3. Для будь-яко¨ множини A ì๠ìiñöå ðiâíiñòü: (òóò зовнiшня мiра, див. означення 1.14).

Доведення. З одного боку,

m

S

жному покриттю A k вiдповiда¹ покриття A

k=1

Звiдси одержимо нерiвнiсть: (A) 6 (A).

Ëåìà 4. (A квадровна множина) ) (A квадровна множина).

Доведення. Для кожного " > 0 iсну¹ множина A" 2 A0, äëÿ ÿêî¨ âèêî-

íó¹òüñÿ íåðiâíiñòü (A 4 A"). Àëå A 4 A" A 4 A" (перевiрте!). Тому за лемою 3, (A 4 A") 6 (A 4 A") < " i при цьому A" також належить A0.

65

~ j j (перевiрте!). Наступне сторони якого: ~a òà b, а площа дорiвню¹ det C

паралельне перенесення на вектор ~

h площу не змiнить.

7! ~

Вправа 3. Доведiть, що афiнне перетворення H : ~x C~x+h переводить

будь-яку квадровну мноину A в квадровну i при цьому s H(A) = j det Cj

s(A).

Ëåìà 7. Нехай ~r: [a; b] ! R2 неперервно диференцiйовне вiдображення.

квадровна множина i

Тому квадратики з центрами в точках ~r(tk) зi сторонами C покривають

бути як завгодно малою при вiдповiдному виборi m.

Íàñëiäîê. Кусково гладка крива ма¹ нульову площу.

Ëåìà 8. Нехай F дифеоморфiзм вiдкрито¨ множини X R2 íà

66

F(X) R2; A 2 A0; A X. Тодi множина F(A) квадровна i

Доведення. проведемо у спрощеному варiантi: припустимо, що F ¹ âiä-

Ñïîñiá 1

Îñêiëüêè F дифеоморфiзм, то det F0(x; y) íå äîðiâíþ¹ íóëþ â æîäíié

! !

òî÷öi X. Звiдси виходить, що вектор-функцi¨ grad u òà grad v â êîæíié òî÷öi

прямокутникiв) пря- мокутники k можна вважати диз'юнктними (попарно не перетинаються),

Çадитивностi площi та iнтеграла приходимо до висновку, що формулу

(7)достатньо довести для достатньо малого прямокутника , для якого

67

Дифеоморфiзм F переводить вiдкритi множини у вiдкритi, а замкненi в

дорiвню¹ образу

замкненi. Тому межа образа @ F( ) F(@ ) межi прямо-

кутника (перевiрте!). Межа склада¹ться з чотирьох вiдрiзкiв. Вiдрiзок

@u

[0; h1]f0g можна параметризувати x. Îñêiëüêè @x 6= 0 íà , òî u = u(x; 0) ¹ строго монотонною функцi¹ю аргументу x. Нехай x = x(u) ¹ âiäïîâiäíà

обернена функцiя (також, до речi, класу C1). Тепер v = v(x; 0) = v x(u) i образ вiдрiзка [0; h1] f0g ïiä äi¹þ F ¹ графiком гладко¨ функцi¨ v = v1(u), äå u çìiíþ¹òüñÿ âiä u(0; 0) äî u(h1; 0). Те ж саме стосу¹ться кожно¨ з трьох iнших сторiн прямокутника. Звiдси передусiм одержимо квадровнiсть образа F( ) (ëåìè 5 òà 7).

Нехай образи сторiн fh1g [0; h2]; [0; h1] fh2g; f0g [0; h2] це вiдповiдно графiки функцiй (нумерацiя сторiн прямокутника

при обходi проти годинниково¨ стрiлки). Тому F( ) ¹ об'¹днанням декiлькох криволiнiйних трапецiй (в кiлькостi не бiльше 3) вiдносно осi Ou i площа

äîðiâíþ¹:

Обов'язково зробiть малюнок!! В разi, якщо det F0( ) > 0 â , â ïðàâié

частинi (9) слiд ставити знак , а якщо det F0( ) < 0 в , то знак + . Далi замiна змiнних у визначених iнтегралах право¨ частини (9):

68

R2. Це лiнiйне перетворення i поворот площини не змiню¹ площу множин:

(тут доречно посилання не лему 6 та вправу 3). Якщо

s F( ) = s G( )

Залишилось лише зауважити, що якобi¹ва матриця лiнiйного вiдображення A тотожньо дорiвню¹ A; det A = 1 для поворота i за правилом диференцiювання композицi¨:

det G0(x; y) = det A det F0(x; y) = det F0(x; y):

Другий спосiб доведення леми 8 пiзнiше в x3:11.

Доведення теореми 6. Достатньо довести для кожно¨ квадровно¨ множини A X квадровнiсть F(A) òà ðiâíiñòü:

а потiм скористатись теоремою 2.

Ôiêñó¹ìî " > 0. Нехай C = C" 2 A0; @A C; s(C) < " (iснування тако¨ множини C гаранту¹ лема 5). Прямокутники, що складають C можна брати

69

вiдкритими i такими, що вони мiстяться в U разом зi сво¨м замиканням

Зменшуючи " > 0 можна брати вiдповiднi множини C таким чином, щоб вони були вкладенi в C" (брати перетин ¨х з C"). Посилання на довiль-

Для доведення рiвностi (10) скориста¹мось лемами 1 та 8. Достатньо довести, що для кожного " > 0 iснують множини B; C 2 A0, äëÿ ÿêèõ B A C òà s(C n B) < ". Застосу¹мо технiку доведення леми 5. Одержимо покриття A прямокутниками 1; : : : ; n; n+1; : : : ; m, äëÿ ÿêèõ

S S

æèíè C = k i B = k задовольняють поставленi вимоги.

k=1 k=1

Приклади. 1. Досить часто при обчисленнi подвiйного iнтеграла доцiльно використовувати полярнi координати. Обчислити:

Розв'язання. В полярних координатах: x = cos '; y = sin '. Область

Y можна задати нерiвностями: 1 6 6 2; 0 6 ' < 2 . Цi нерiвностi визна-

чають в площинi ( ; ') прямокутник X. J( ; ') = D(x; y) = (перевiрте!).

D( ; ')

Ця функцiя рiвномiрно неперервна на X (неперервна на замиканнi X) i

70