matan_bogdanskyj

вправи для вимiрного простору з n 4 вправи 1.

Твердження 2. Нехай ! : A ! R заряд на вимiрному просторi (X; A). Тодi виконуються властивостi:

1) !(?) = 0;

m

W W W P

2) ! (A1 A2 : : : Am) = !(Ak);

S

Звiдси виходить 4), а також i 3): !(A B) = !(A) + !(B n A) = !(A) +

T

+ !(B) !(A B).

Означення 5. Якщо мiра на (X; A), то трiйку (X; A; ) назива¹мо "простором з мiрою".

2. Iнтегрування простих функцiй.

Означення 6. Нехай (X; A; ) простiр з мiрою. Функцiю f : X ! R

назива¹мо простою(ступiнчастою), якщо f прийма¹ лише скiнченну кiль-

11

(обмiркуйте!).

Означення 7. Iнтеграл вiд просто¨ функцi¨ f (по мiрi ) визначено за формулою:

Вправа 4. Доведiть, що iнтеграл вiд просто¨ функцi¨ f формулою (2)

визначено коректно (представлення f у виглядi (1) не¹дине, але значення I (f) вiд представлення (1) не залежить).

Надалi за вимiрний простiр (X; A) беремо вiдрiзок X = [a; b] з алгеброю

пiдмножин A, що породжена числовими промiжками (вправа 1, n 4). Â разi, якщо мiра довжина ( (h ; i) = äëÿ âñiõ h ; i [a; b]),

12

Доведення. Нехай f прийма¹ значення f(1); : : : ; f(m) íà âèìiðíèõ ìíî-

жинах A1; : : : ; Am; g прийма¹ значення g(1); : : : ; g(n) на вимiрних множинах B1; : : : ; Bn. Тодi функцiя f + g прийма¹ значення f(k) + g(l) на множи-

k=1

RR

fd + gd .

XX

Твердження 4. Нехай f проста невiд'¹мна функцiя (f(x) > 0 äëÿ âñiõ

R

x 2 X). Òîäi fd > 0.

X

m

Доведення. R fd = P f(k) (Ak) > 0.

Xk=1

Наслiдок. Нехай f; g простi функцi¨; f > g (f(x) > g(x) äëÿ âñiõ

RR

x 2 X) òî fd > gd .

13

íåðiâíiñòü.

Наслiдок. Нехай f проста функцiя; jf(x)j 6 C ïðè âñiõ x 2 X. Òîäi

3. Розширення класу iнтегровних функцiй .

Означення 8. Нехай f функцiя, що визначена i обмежена на X.

Нормою функцi¨ f назвемо число kfk = kfkX = sup jfj = sup jf(x)j.

X x2X

Вправа 7. Нехай f; g обмеженi функцi¨ на X. Тодi виконуються вла-

kfk kgk 6 kf gk; kf gk 6 kfk kgk (òóò (f g)(x) = f(x) g(x) äëÿ âñiõ x 2 X).

Означення 9. Послiдовнiсть функцiй ffng, визначених на X рiвномiрно íà X çáiãà¹òüñÿ до функцi¨ f (що також визначена на X), якщо для кожного " > 0 iсну¹ натуральне число N = N(") таке, що при всiх n > N та

x 2 X викону¹ться нерiвнiсть: jf(x) fn(x)j 6 ". Позначення: fn f.

X

Зауваження 2. З означення виходить, що, починаючи з деякого N функцi¨ f fn ¹ обмеженими (а тому можна казати при kf fnk) i останн¹ означення може бути переписано iнакше: kf fnk ! 0; n ! 1.

Крiм того, в разi, якщо функцi¨ fn ¹ обмеженими, гранична функцiя f також обмежена.

Теорема 1. Нехай (X; A; ) простiр з мiрою i послiдовнiсть простих функцiй ffng рiвномiрно збiга¹ться до функцi¨ f. Тодi:

а) iсну¹ скiнченна границя lim I (fn);

n!1

á) ÿêùî fgng iнша послiдовнiсть простих функцiй, що рiвномiрно

çáiãà¹òüñÿ äî f, òî lim I (gn) = lim I (fn).

n!1 n!1

14

Доведення. Нехай fn f. Ôiêñó¹ìî " > 0. Нехай N = N(") òàêå, ùî

X

kf fnk 6 " äëÿ âñiõ n > N. Òîäi kfn fmk 6 kf fnk+ kf fmk 6 2" ïðè n; m > N. Òîæ jI fn I fmj = jI (fn fm)j 6 2" (X). Òîìó ïîñëiäîâíiñòü fI fng фундаментальна i, за критерi¹м Кошi, збiга¹ться.

Нехай gn g. Áóäó¹ìî íîâó ïîñëiäîâíiñòü: f1; g1; f2; g2; f3; : : : h2k 1 =

íèöi.

Означення 10. Домовимось називати функцiю на (X; A; ) iнтегровною, якщо iсну¹ послiдовнiсть простих функцiй fn, ùî ðiâíîìiðíî íà X збiга¹ться до функцi¨ f. Множину всiх iнтегровних функцiй на (X; A; ) позна- чимо через D = D(X; ).

Вправа 8. 1) Довести, що функцiя f 2 D може бути визначена властивiстю: f 2 D, якщо для кожного " > 0 iсну¹ проста функкцiя f" òàêà, ùî kf f"k 6 ".

2)Довести, що фукнцiя f 2 D не може мати розривiв другого роду.

3)Навести приклад функцi¨ f 2 D, що ма¹ нескiнченну кiлькiсть роз-

ривiв першого роду.

Доведена теорема дозволя¹ коректно запровадити значення iнтеграла для функцi¨ з класу D.

Означення 11. Нехай f 2 D; ffng послiдовнiсть простих функцiй, що рiвномiрно збiга¹ться до f. Покладемо:

Дослiдимо, наскiльки багатим ¹ клас функцiй D.

Ëåìà 1. Нехай f визначена i неперервна на X = [a; b]. Òîäi f 2 D. Доведення. За теоремою Кантора f ¹ рiвномiрно неперервною на [a; b].

Нехай " > 0. Беремо = (") > 0 òàêå, ùî ïðè jx1 x2j < викону¹ться

15

íåðiâíiñòü: jf(x1) f(x2)j < ". Розглянемо скiнченний набiр точок: a = x0 < < x1 < : : : < xp = b, для якого xk+1 xk < ïðè k = 0; 1; : : : ; p 1. Покладемо: f"(x) = f(xk), ÿêùî x 2 [xk; xk+1); k = 0; 1; : : : ; p 1; f"(b) = = f(b). Òîäi f" проста функцiя i kf f"k 6 ". Залишилось звернути увагу на довiльнiсть вибору " > 0.

Означення 12. Функцiя f : [a; b] ! R назива¹ться кусково неперервною , якщо iсну¹ таке розбиття вiдрiзку: a = a0 < a1 < : : : < am = b, ùî f неперервна на кожному iнтервалi (ak 1; ak), k = 1; 2; : : : ; m та iснують скiнченнi

вiда¹ функцi¨ f (див. означення 12). Нехай fk обмеження функцi¨ f на iнтервал (ak 1; ak), довизначене в кiнцях цього iнтервалу так: fk(ak 1) =

i для кожного " > 0 iсну¹ ступiнчаста функцiя gk íà [ak 1; ak], òàêà, ùî äëÿ âñiõ x 2 (ak 1; ak) ìà¹ìî: jf(x) gk(x)j = jfk(x) gk(x)j 6 ". Функцiя g : X ! R, äëÿ ÿêî¨ g(x) = gk(x), x 2 (ak 1; ak) i g(ak) = f(ak) äëÿ

äëÿ ÿêî¨ jf(x) g(x)j 6 " äëÿ âñiõ x 2 X. Iсну¹ правий проколений пiвокiл

x1; x2 2 (x0; x0 + ) викону¹ться нерiвнiсть: jf(x1) f(x2)j 6 2". Тим самим доведено, що викону¹ться критерiй Кошi iснування скiнченно¨ границi

16

то iсну¹ найменший номер k, при якому x 2 Uxk i покладемо g(x) = f(xk+0)

за умови x 2 (xk; xk + (xk)) i g(x) = f(xk 0) за умови x 2 (xk (xk); xk). Тодi g проста функцiя i kg fk 6 " (перевiрте!). Тож f 2 D. Теорему доведено.

Наступне твердження доводить, що функцi¨ класу D утворюють функцiональну алгебру.

Твердження 6. Нехай f; g 2 D; ; 2 R. Тодi f + g 2 D; f g 2 D. Доведення. Нехай ffng; fgng послiдовностi простих фукнцiй, такi,

ùî kfn fk ! 0; kgn gk ! 0, n ! 1. Îñêiëüêè k(fn + gn) (f + g)k 6 6 kfn fk + kgn gk, òî é k(fn + gn) (f + g)k ! 0, n ! 1. Аналогiчно

доводиться: fn f. Таким чином, f + g 2 D (обмiркуйте!).

X

Аналогiчно: kfn gn f gk = k(fn f) gn + f (gn g)k 6 kfnfk kgnk+ kfk kgn gk. Послiдовнiсть функцiй gn рiвномiрно обмежена: починаючи з деякого номера N викону¹ться нерiвнiсть kgn gk 6 1, à òîìó kgnk = kg +(gn g)k 6 kgk+kgn gk 6 kgk+1. Тож числова послiдовнiсть

4. Властивостi iнтеграла .

R

Теорема 4 (лiнiйнiсть iнтеграла). Нехай f; g 2 D; ; 2 R. Òîäi ( f +

X

RR

+ g) d = f d + g d .

XX

17

R

Доведення. За твердженням 6: f + g 2 D. Доведемо: (f + g) d =

X

RR

= f d + g d . Нехай ffng; fgng послiдовностi простих функцiй на

X

Доведення. Для будь-якого натурального числа n iсну¹ проста функцiя

1 1

fn, äëÿ ÿêî¨ kfn fk 6 n. Òîäi fn(x) = fn(x) f(x)+f(x) > n ïðè âñiõ x 2

R

Наслiдок (монотоннiсть iнтеграла). Нехай f; g 2 D; f > g. Òîäi f d >

X

R

>g d .

X

Доведення. Дослiвне повторення доведення твердження 5.

Наслiдок 1. Для будь-яко¨ функцi¨ f 2 D викону¹ться нерiвнiсть

Z

f d 6 kfk (X) (самостiйно!):

X

18

Наслiдок 2. Нехай f 2 C[a; b] (неперервна на X). Тодi iсну¹ точка x0 2

R

2 X f d = f(x0) (X).

X

Доведення. Неперервна функцiя прийма¹ на [a; b] всi значення мiж min f òà max f. Залишилось зауважити, що за теоремою 6, середн¹ фун-

XX

g2, f g 2 D i ма¹ виконуватись нерiвнiсть:

012

Доведення. На лiнiйному просторi D розглянемо функцiю двох змiнних:

R

'(f; g) = f g d . Перевiрте, що ' бiлiнiйний симетричний невiд'¹мний

X

функцiонал i застосуйте до нього класичну нерiвнiсть Кошi-Буняковського:

'(f; g)2 6 '(f; f) '(g; g).

Теорема 9 (про граничний перехiд пiд знаком iнтеграла ). Нехай послi-

Доведення. Нехай kfkn fk 6 n1 i gn такi простi функцi¨, що kgn

19

Означення 13. Нехай A вимiрна множина (A 2 A). Визначимо iнтеграл функцi¨ f 2 D по пiдмножинi A за формулою:

ZZ

f d = (f jA) d ;

AX

Для iнтеграла R

f d мають мiсце аналоги розглянутих вище властиво-

A

стей iнтеграла.

Твердження 7. Для будь-яких f 2 D; A 2 A виконуються нерiвностi:

Z

inf f (A) 6 f d 6 sup f (A):

A A A

20