matan_bogdanskyj

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теорема 3.

Нехай (X; A) вимiрний простiр; f : X ! R. Наступнi 5

умов еквiвалентнi: 1) f вимiрна функцiя;

x f(x) > c 2 A; 3) 8c 2 R:

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

860.79 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1815 16 17 18 > Следующая >>>

n	n	A
P	P	A
	!(Ak). Òîìó !(A) = nlim	!(Ak).
k=1	!1 k=1

Зворотне твердження. Нехай ! -адитивна функцiя на алгебрi . Тодi !(?) = 0 (âiçüìiòü A1 = A2 = : : : = ? i застосуйте умову -адитивностi), а якщо покласти: Am = ? äëÿ m > n, то матимемо рiвнiсть:

n	1	1	n	!(Ak);
! k=1 Ak	= ! k=1 Ak	= k=1	!(Ak) = k=1	!(Ak);
_	_	X	X

тобто умова адитивностi ¹ наслiдком -адитивностi. Тепер перевiримо умо-

(Ak n Ak+1). Äiéñíî, âêëà-

ву неперервностi. Нехай An & ?. Òîäi A1 =

дення

(Ak n Ak+1) A1 очевидне. З iншого боку, для кожного x 2 A1

k=1

iñíó¹

найменший номер

m, для якого x = Am

(обмiркуйте!). Тому x

Am 1 n Am (Ak n Ak+1). Òîæ

!(Ak n Ak+1) = nlim

!(A1) =

!(Ak) !(Ak+1) =

k=1

lim

!(A

)

!(A

)

= n!1

n+1

Òîìó lim !(An) = 0.

n!1

З твердження 1 виходить, що мiра : A ! R це в точностi -адитивна невiд'¹мна функцiя на алгебрi A. Пару (X; A), де A -алгебра (або алгебра) пiдмножин в X, назива¹мо вимiрним простором (а множини A 2 Aвимiрними ); трiйку (X; A; ), де мiра, простором з мiрою.

Вправа 3. Нехай A1; A2; : : :; A належать алгебрi A; ! заряд. Довести:

An & A ) !(An) ! !(A) ; An % A ) !(An) ! !(A) :

Якщо, на додачу, ! ìiðà, òî

1 1

!An 6 !(An):

n=1 n=1

141

2. Приклади мiр.

Твердження 2. Нехай X = [a; b] R; A алгебра числових промiжкiв

;

â X, тобто

A 2

A ,

A = k=1hak; bki

довжина , тобто A =

A.kW

(äèâ.

(bk ak)

x1:1). Тодi мiра на алгебрi

hak; bki

)

(A) =

k=1

Доведення. Треба лише перевiрити властивiсть неперервностi для мiри

. Нехай An 2 A; An & ?. Кожна з множин An це скiнченне диз'юнктне

m(n)

об'¹днання числових промiжкiв. Тож An = W ha(kn); b(kn)i. Нехай Y = fa(kn) j

k=1

1 6 k 6 m(n); n 2 Ng Sfb(kn) j 1 6 k 6 m(n); n 2 Ng множина кiнцiв промiжкiв, з яких складено всi An. Y скiнченна або злiченна множина.

Y = fc1; c2; c3; : : :g:

Ôiêñó¹ìî " > 0 i нехай Un окiл точки cn, довжини 2n . Для кожно¨

точки x 2 X n Y iсну¹ найменший номер n(x), для якого x 2= An(x) (íàãà-

äà¹ìî: T An = ?). Òîìó iñíó¹ îêië Vx точки x, для якого Vx TAn(x) = ?

n=1

(îñêiëüêè x 2= Y ). Ñiì'ÿ fUng òà fVxg разом утворюють вiдкрите покриття вiдрiзка X. За лемою Гейне-Бореля ця сiм'я допуска¹ скiнченне пiдпо-

криття. Тож X Un1

Un2

:,:

òî: Unp

Vx1

Vx2

: : :

Vxq . ßêùî N =

= max n(x1); n(x2); : :S: ; n(xqS)

SAN

S(Vx1

SVx2 S: : :

SVxq ) = ? (íàãà-

äà¹ìî: A

: : :). Òîæ A

: : :

N ) 6

n1 ) +

T n1

S Snp;

(

n) !

np) < "

(див. вправу 3). Тож

+ ( n2 ) + : : : + (

S S(

Вправа 4.

Нехай X = [a; b] [c; d] прямокутник в R2; A алгебра

пiдмножин в X, кожна з яких ¹ скiнченним об'¹днанням прямокутникiв виду h ; i h ; i X (див. x1:6).

1) Доведiть, що функцiя s: A ! R, де s площа (див. x1:6) ¹ мiрою на алгебрi A.

2) Результат узагальнiть на n-вимiрний випадок: X = [a1; b1] : : :[an; bn] Rn ( n-âèìiðíèé îá'¹ì).

142

3. Продовження мiри.

Нехай N довiльна сiм'я пiдмножин множини X. Будемо розглядати

довiльнi -алгебри A пiдмножин в X, що розширюють N (N A ). Ñiì'ÿ цих -алгебр непорожня, бо серед них ¹ принаймi одна (A = 2X), à ïå-

ретин ¨х усiх: (N) = A ¹ також -алгеброю (перевiрте!), яка ма¹ такi

властивостi: N (N) i якщо якась -алгебра A ¹ розширенням N, òî(N) A . Кажуть, що (N) ¹ мiнiмальна -алгебра, що розширю¹ N , або -алгебра, що породжена сiм'¹ю множин N.

Нехай A алгебра пiдмножин в X; : A ! R мiра на алгебрi A i (A) -алгебра, що породжена алгеброю A. Виника¹ природне питання: чи можна мiру продовжити з A на -алгебру (A) (зi збереженням

властивостей мiри). Наступне дослiдження да¹ позитивну вiдповiдь на це
питання.		1
		1
	Для довiльно¨ пiдмножини A X покладемо (A) = infnn=1 (An) j
			P
	1	o
An	2 A; A n=1 An	(перевiрте iснування inf). Функцiя визначена на
2X,	S
	назива¹ться зовнiшньою мiрою (але мiрою вона не ¹: наведiть контр-
приклад).
приклад).
	Означення 4. Множина A X назива¹ться -вимiрною (або вимiрною

за Лебегом вiдносно ), якщо для кожного " > 0 iсну¹ така множина A" 2 2 A, äëÿ ÿêî¨ (A 4 A") < ".

Сiм'ю -вимiрних множин позначимо через A .

Теорема 1 (Лебег). 1) Сiм'я множин A ¹ -алгеброю; обмеження íà

A ¹ ìiðîþ.

2)A A i обмеження íà A спiвпада¹ з вихiдною мiрою .

3)¹дина мiра, що ¹ продовженням мiри íà -алгебру (A), à

також ¹дине продовження до мiри на A .

Доведення. Êðîê 1. Перевiримо наступнi властивостi зовнiшньо¨ мiри:

143

(A) > 0;

(A [ B) 6 (A) + (B);

(1)

[

An 6

(узагальнення 2)

(An);

(2)

n=1

A B ) (A) 6 (B) ;

)

(A) = (A);

;

(3)

6) (2A)

(B) 6 (A

B):2

Властивостi 1, 2, 4, 6 доводяться точнiсiнько так, як i вiдповiднi властивостi для випадку скiнченноадитивно¨ мiри (див. твердження 12, роздiл 1). Доведемо властивiсть 3).

	Ôiêñó¹ìî " > 0 i для кожного n беремо такий набiр fBn;kgk1=1 A,
ùî An		1		Bn;k	i 1	(Bn;k) 6 (An) +	"	. Òîäi	1 An	Bn;k òà
		S					2n
	1			1	P	1			S	S
		k=1			k=1				n=1	n;k
	n=1 An		6 n;k=1		(Bn;k) 6 n=1 (An) + ". Залишилось звернути увагу на
	S			P		P

äîâiëüíiñòü " > 0.

Тепер для доведення властивостi 5) зауважимо, що для A 2 A належнiсть A 2 A та нерiвнiсть (A) 6 (A) очевиднi. А оскiльки для

1		1
S	(A) 6 (P)
A; B1; B2; : : : 2 A з включення A n=1 Bn виходить: (A)		6 n=1 (Bn) (äèâ.
вправу 3), то ма¹ мiсце й протилежна нерiвнiсть:		A (îáìiðêóé-

òå!).

Крок 2. Перевiримо, що A ¹ алгеброю. Використову¹мо властивостi

(A [ B) 4 (A" [ B") (A 4 A") [ (B 4 B")	(4)
(A \ B) 4 (A" \ B") (A 4 A") [ (B 4 B")	(5)
òà (A n B) 4 (A" n B") (A 4 A") [ (B 4 B")	(перевiрте!):

ßêùî A; B 2 A ; A"; B" 2 A òà (A4A") < "; (B4B"), то приходимо до нерiвностей: (A SB)4(A" SB") < 2" òà (AnB)4(A" nB") < 2"

144

k=1

An. Посилаючись на адитивнiсть

(див. (1)), звiдки в силу довiльностi

" > 0: A SB 2 A ; A n B

2 A . Цього

достатньо.

Крок 3. Доведемо адитивнiсть íà A . Нехай A; B 2 A ; A

B = ?;

доведеннi

" > 0; A"; B" 2 A i (A 4 A") < "; (B 4 B") < ". ßê i ïðè T

теореми 15 роздiлу 1, з використанням (3-5) одержимо:

(A)

(B)

< 6" i враху¹мо довiльнiсть " > 0.

Êðîê

4. Перевiримо, що A ¹ -алгеброю. Нехай A1; A2; : : :

A . Ñëiä

довести, що An 2 A . З урахуванням кроку 2 цей факт достатньо пе-

n=1

ðåâiðèòè â		припущеннi, що множини		Aj попарно не перетинаються (обмiр-
ðåâiðèòè â		S		Aj попарно не перетинаються (обмiр-
куйте!). Тодi, з урахуваням кроку 3, для кожного n 2 N ìà¹ìî:
		n	n	1	6 (X):
		k=1 (Ak) = k=1 Ak		6 k=1 Ak	6 (X):
		X	_	_
			1
Звiдси виходить збiжнiсть ряду			(Ak). Ôiêñó¹ìî " > 0 i нехай n 2 N òà-
	1		=1
	1		kP				n
êå, ùî		(Ak) < ", а множина B 2 A задовольня¹ умову:					=1 Ak 4
	k=n+1						kn
4 B	P			1		4 B	S
4 B	< " (посила¹мось на крок 2). Оскiльки k=1 Ak					4 B	k=1 Ak	4
				S		S

Sk=S
4 B	Ak (перевiрте!), то з (1) та (2) виходить:
n+1		4 B 6 n		4 B + 1	Ak < 2":
1	Ak	4 B 6 n	Ak	4 B + 1	Ak < 2":
[		[		[

k=1 k=1

Посила¹мось на довiльнiсть " > 0. Ak 2 A .

k=1

Крок 5. Перевiримо -адитивнiсть íà A . Нехай

та попарно не перетинаються; A =

n=1

k=n+1

An 2 A (n = 1; 2; : : :)

íà A та нерiвнiсть (2), одержимо:

n	n	6 (A) 6	1	(Ak) 6 1:
k=1	(Ak) = k=1 Ak	6 (A) 6	1	(Ak) 6 1:
X	_		X

145

P (Ak).

k=1

(A) =

Звiдси виходить збiжнiсть ряду

P (Ak) (чому?) та (граничним перехо-

k=1

äîì) ðiâíiñòü:

Крок 6. Оскiльки -алгебра, що породжена алгеброю A, вкладена в A :(A) A , то обмеження íà (A) да¹ шукане продовження мiри з A íà (A). Доведемо тепер ¹динiсть такого продовження.

Нехай # iíøà ìiðà íà (A), що спiвпада¹ з на A. Беремо A 2 (A);

" > 0 òà B	2	A, для якого (A	4	B) < ". За означенням робимо
	2		4		1
1					nS
висновок про iснування злiченно¨ сiм'¨ Cn 2 A, äëÿ ÿêî¨ A 4 B					Cn òà
					=1

(Cn) < ".

n=1

1 1

Òîäi

#(A) #(B)

6 #(A4B) 6 n=1 #(Cn) = n=1

(Cn) < ". Àëå #(B) =

= (B) = (B)

, à òîìó

#(A)

(AP) = #(A)

# B

(

)

P( ) +

( )

#(B)

)

(A) <

6 #(A)

2". З довiльностi " > 0 виходить

шукана

ðiâíiñòü

#(A) = (A).

íà

Наведенi мiркування доводять також ¹динiсть продовження мiри

A .

В подальшому мiру A

познача¹мо також через . Простiр з мiрою

(X; A ; ) називають лебегiвським поповненням простору (X; A; ), а мiруíà A лебегiвським продовженням мiри .

Вправа 5. Довести, що кожна множина A, для яко¨: A B 2 A ;(B) = 0, також належить до A (цю властивiсть мiри на A прийнято називати ¨¨ повнотою).

4. Вимiрнi вiдображення та вимiрнi функцi¨ .

Нехай (X; AX) òà (Y; AY ) два вимiрних простори. В подальшому завжди будемо вважати, що AX òà AY ¹ -алгебрами.

Означення 5. Вiдображення f : X ! Y (в подальшому його будемо

146

позначати i так: f : (X; AX) ! (Y; AY ), щоб пiдкреслити, про якi -алгебри

йде мова) назива¹ться вимiрним , якщо				для кожно¨ множини				A	2 AY ¨¨
йде мова) назива¹ться вимiрним , якщо								A

повний прообраз f 1(A) =			f(x) 2 A		належить
повний прообраз f 1(A) =	x		f(x) 2 A			AX.
Означення 6. Нехай X		метричний простiр i				N	ñiì'ÿ âñiõ âiäêðè-
Означення 6. Нехай X						N

тих пiдмножин в X. -алгебра (N), що породжена сiм'¹ю N, назива¹ться борелiвською -алгеброю в X (а множини A 2 (N) борелiвськими).

Теорема 2. Нехай X òà Y метричнi простори; BX; BY борелiвськi-алгебри в X òà Y âiäïîâiäíî; f : X ! Y неперервне вiдображення. Тодi f : (X; BX) ! (Y; BY ) ¹ вимiрним вiдображенням.

Доведення. Неперервнiсть вiдображення f поляга¹ в тому, що для кожно¨ вiдкрито¨ множини A Y ¨¨ повний прообраз ¹ вiдкритою множиною в X. Тому твердження теореми ¹ безпосереднiм наслiдком наступно¨ леми.

Ëåìà 1. Нехай -алгебра AY â Y породжена сiм'¹ю множин N: AY =

=(N); AX -алгебра в X. Тодi наступнi двi умови еквiвалентнi:

1)f : (X; AX) ! (Y; AY ) ¹ вимiрним вiдображенням;

2)A 2 N ) f 1(A) 2 AX .

Доведення леми. Слiд довести лише iмплiкацiю 2) ) 1). Нехай вико-

ну¹ться умова 2) i позначимо через ~

A ñiì'þ âñiõ множин в Y , повний про-

образ яких належить AX. Рiвностi: f 1

f 1(An); f 1(Ac) =

n=1

= f 1(A)

висновку, що

(перевiрте ¨х) приводять до S

SA~ ¹ -алгеброю в Y .

Але за умовою 2),

~. Òîæ

(нагада¹мо:

¹ мiнiмальною

N A

AY A

алгеброю, що мiстить N), а тому для кожного A 2 AY ìà¹ìî: f 1(A) 2 AX. Це доводить лему, а також теорему 2 (обмiркуйте!).

Означення 7. Вимiрне вiдображення f : (X; A) ! (R; BR) (òóò BR борелiвська -алгебра в R) назива¹ться вимiрною функцi¹ю на вимiрному просторi (X; A).

147

R ¹ злiченне об'¹днання числових

перевiряються

( )

. òàê ñàìî

4) 8c 2 R: x

f(x) < c

2 A;

5) 8c 2 R: x

f(x) 6 c 2 A;

)

f x

> c

летнiсть умов 2) i 5) виходить з рiвностi:

Доведення. Iмплiкацiя 1)

2) очевидна, оскiльки

= f 1

)

(c; +

)

3); 1)

4); 1)

5). Åêâiâà-

x f(x) 6 c

= X n x

f(x) >

та властивостей повного прообразу. Так само перевiря¹ться еквiвален-

тнiсть умов 3) та 4). Еквiвалентнiсть умов 2) та 3) ¹ наслiдком рiвностей:

x f(x) > c =

x f(x) > c + n1

òà

x f(x) > c =

x f(x) >

> c

òà âiäïîâiäíèõ

властивостей повного

прообразу (перевiрте!)

. Çà-

n=1

2) ) 1)

лишилось довести iмплiкацiю

Передусiм з леми 1 робимо висновок: для перевiрки вимiрностi функцi¨ f достатньо перевiрити, що для кожно¨ вiдкрито¨ множини U R ¨¨ повний прообраз f 1(U) належить A.

Ëåìà 2. Кожна вiдкрита множина в iнтервалiв.

Доведення леми. Нехай U вiдкрита множина в R. Для кожно¨ точки x 2 U iсну¹ iнтервал ( x; x), що мiстить x i при тому ( x; x) U. Ïðè öüî-

	сiм'я попарно	S
му можна вибрати x; x 2 Q. Òîäi U =		( x; x), але серед цих iнтервалiв
		x2U
¹ не бiльш нiж злiченна		рiзних, що i доводить твердження

ëåìè.

Посилаючись на лему 2, робимо висновок, що для перевiрки вимiрностi функцi¨ f достатньо, щоб для кожного iнтервала (a; b) його повний прообраз

f 1

(a; b)

належав

(a; b) = (a; +1)n[b; +1) = (a; +1)n (b n; +1)

та умови 2) одержимо:

I, нарештi, з рiвностi

2 A:

(a; b) = x f(x) > a n n=1nx

f(x) > b no

Теорему доведено.

Далi розглянемо низку властивостей вимiрних функцiй та вiдображень.

148

(an; bn)

Твердження 3.

Нехай f : (X; AX) ! (Y; AY ); g : (Y; AY ) ! (Z; AZ)

вимiрнi вiдображення. Тодi вiдображення g f : (X; AX) ! (Z; AZ) також

âèìiðíå.

Доведення. Нехай A

AZ. Òîäi g 1(A)

AY ; (g

f) 1(A) = f 1

g 1

(A)

останню2ðiâíiñòü).

2 AX (перевiрте

Нехай A -алгебра пiдмножин в X; Y 2 A. Òîäi AY

= fA Y j A 2

2 Ag = fA

Y j A 2 Ag -алгебра пiдмножин в Y (перевiрте).

Твердження 4.

Нехай

;

. Òîäi

f вимiрна функцiя на (X; A)

f Y

(обмеження функцi¨ f íà Y ) ¹ вимiрною функцi¹ю на (Y; AY )2.

Доведення.

Äëÿ A 2 BR :

f Y

1(A) = f 1(A) Y (перевiрте).

Твердження 5.

Нехай f : X

R вимiрна функцiя на (X; A). Òîäi

2 R, p > 0.

вимiрними ¹ також функцi¨ jfj, f òà jfj , äå

Доведення. Функцi¨ g(t) = jtj

òà h(t) = t, r(t) = jtjp

неперервнi на

R i за теоремою 2, вони ¹ вимiрними вiдображеннями з

(R; BR) â ñåáå.

Залишилось скористатись твердженням 3, оскiльки jfj = g f; f = h f,

jfjp = r f.

Твердження 6. Нехай f; g : X ! R вимiрнi функцi¨ на вимiрному про-

ñòîði (X; A); h: R2 ! R неперервна. Тодi функцiя '(x) = h f(x); g(x)

¹ âèìiðíîþ íà (X; A).

f(x)

2. Якщо доведемо, що

7! g(x)!

2 R

Доведення. Нехай !

A) ! (R

;

2 ¹ âèìiðíèì, òî âèìiðíiñòü

BR )

вiдображення !: (

¹ наслiдком теореми 2 та твердження 3.

За лемою 1 для вимiрностi вiдображення

достатньо перевiрити, що

для будь-яко¨ вiдкрито¨ множини

. З iншого бо-

( )

ку, ма¹ мiсце аналог леми 2, у вiдповiдностi до якого, кожна вiдкрита

множина U â R2 ¹ злiченне об'¹днання прямокутникiв: U = S

n=1

(cn; dn) (доведення аналогiчне, проведiть самостiйно). Тепер за мiркуваннями, що були проведенi при доведеннi теореми 3, достатньо перевiрити

149

вимiрнiсть множин !

( n; n)

(

f 1 (a; b)

g 1 (c; d)

. Але цi множини спiвпадають з

вимiрнiсть яких обумовлена вимiрнiстю функцiй

.òî

f +g

f g

Твердження 7. Нехай f; g вимiрнi функцi¨ на (X; A),

) 6= 0

Òîäi

функцiя

íà (Y; AY ).

(

f=g âèìiðíà

f g вимiрнi функцi¨ на

. ßêùî Y

Доведення. Вимiрнiсть функцiй f +g, f g, f g безпосереднiй наслiдок

твердження 6 (вiдповiднi функцi¨ h(t; s) = t + s; t s; t s). Вимiрнiсть на (Y; AY ) фукнцi¨ f=g доводиться аналогiчно, але замiсть R2 слiд розглядати

(t; s) s 6= 0 R2 (обмiркуйте!).

Твердження 8. Нехай функцi¨ f; g âèìiðíi íà (X; A). Тодi вимiрними

¹ також функцi¨ max(f; g) òà min(f; g).


Доведення. Результат ¹ наслiдком формул max(f; g) =		f + g + jf gj	;
	2
	2

min(f; g) =	f + g jf gj	та тверджень 5 та 7.
2
Íàñëiäîê. Для скiнченного набору ff1; : : : ; fmg вимiрних функцiй на

(X; A), функцi¨ max(f1; f2; : : : ; fm) òà min(f1; f2; : : : ; fm) вимiрнi. Доведення. Результат виходить з iндуктивних мiркувань: max(f1; f2; : : : ;

. Аналогiчно для

fm) = max max(f1; : : : ; fm 1); fm

min.

Твердження 9.

Нехай f1; f2; : : :

послiдовнiсть вимiрних функцiй на

(X; A). Òîäi Y =

supff1(x); f2(x); : : :g <

2 A i функцiя f

= sup f1(x); f2(x); : : :

âèìiðíà íà (Y; AY ).

Аналогiчне твердження для

g = infff1(x); f2(x); : : :g (сформулюйте!).

2 A;

x 2 Y f(x) > c

Доведення. Y

x fm(x) 6 n

n=1 m=1

T S

= Y

fm(x) > c 2 A.

n=1

Зауваження 2.

В iншому варiантi побудови теорi¨ функцi¨ дозволя¹-

ться приймати значення +1 та 1. Природним чином запроваджу¹ться борелiвська -алгебра на [ 1; +1] i поняття вимiрно¨ функцi¨ f : X !

! [ 1; +1]. Îñêiëüêè áóäü-ÿêà ïîñëiäîâíiñòü an 2 [ 1; +1] ìà¹ óçà-

150

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1815 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.20164.05 Mб7Manual_DIR-300_A1_rev_1_0_RUS.pdf
#
17.03.2016522.24 Кб93manuel.doc
#
07.09.2019411.65 Кб1marketing_1-65.doc
#
17.03.20161.5 Mб28MASTER DIPLOMA_Kireeva Anastasia (1) (1).docx
#
17.03.20161.57 Mб17MASTER DIPLOMA_Kireeva Anastasia.docx
#
12.05.2015860.79 Кб23matan_bogdanskyj.pdf
#
12.05.20151.15 Mб13Matematyka_vidpovidi_.pdf
#
12.05.2015999.23 Кб12Matemat_vidpovidi_ds.pdf
#
03.08.2019364.7 Кб1materialka.docx
#
01.05.2019169.47 Кб7Materialoznavstvo-ukr.doc
#
12.05.2015597.61 Кб9materialoznavstvofinal.pdf