matan_bogdanskyj

малюнок!). Скориста¹мось шкiльною формулою i обчислимо площу цi¹¨ по-

верхнi:

m

k=1

òóò lk довжина ланки ламано¨ K íàä âiäðiçêîì [ak 1; ak].

Позначимо через 4 розбиття a = a0 < a1 < : : : < am = b; d(4) = = max fak ak 1 j 1 6 k 6 mg показник дрiбностi розбиття.

Означення 21. Домовимось називати поверхню обертання S квадровною,

якщо для кожно¨ послiдовностi розбиттiв 4p âiäðiçêà [a; b], äëÿ ÿêî¨ d(4p) !

поверхонь обертання вiдповiдних

!0, p ! 1, ïîñëiäîâíiñòü ïëîù p

ламаних ма¹ границю, що не залежить вiд послiдовностi . Значення

4p

цi¹¨ границi будемо називати площею поверхнi S i позначати (S).

Теорема 21. Нехай f 2 C1 [a; b]; f > 0. Тодi поверхня обертання S

графiка функцi¨ f ¹ квадровною i ¨¨ площа обчислю¹ться за формулою:

Доведення. Нехай 'k кут, що утворю¹ з вiссю Ox ланка ламано¨ K,

Якщо в цiй рiвностi замiнити f(ak 1) + f(ak) íà 2f(xk) (iäåÿ ëîãi÷íà, áî f(ak 1) f(xk) f(ak)), то права частина (20) набува¹ виду:

e( ) = 2 Xf(xk) 1 + f0(xk) 2(ak ak 1):

k=1

41

За твердженням 11, в разi, якщо

q

1 + f0(xk) 2(ak ak 1):

9. Iнтеграл Стiльть¹са.

Конструкцiя iнтеграла, що розвинута в xx2-4 певною мiрою може бути узагальнена. Замiсть мiри при побудовi iнтеграла будемо використовувати заряд !, що може приймати на алгебрi множин A значення довiльного знаку.

Для просто¨ функцi¨ f iнтеграл визнача¹мо за формулою:

Zm

X

f d! = f(k)!(Ak);

Xk=1

äå f(k) значення f на вимiрнiй множинi Ak.

42

Але для розширення iнтеграла на клас функцiй D потрiбнi додатковi умови на заряд.

Означення 22. Заряд ! : A ! R назива¹ться зарядом обмежено¨ варiацi¨ ,

якщо iсну¹ таке число C, що для довiльного диз'юнктного розбиття мно-

2)Нехай !1; !2 : A ! R два заряди на (X; A); ; 2 R. Тодi !1 + !2 знову заряд.

3)ßêùî !1; !2 заряди обмежено¨ варiацi¨, то заряд ! = !1 + !2 ìà¹

обмежену варiацiю i при цьому Var ! 6 j j Var !1 + j j Var !2.

X X X

Ëåìà 4. Нехай ! : A ! R заряд обмежено¨ варiацi¨. Тодi для просто¨ функцi¨ f : X ! R викону¹ться нерiвнiсть:

Z

X

X

Доведення.

6 kfk Var !:

X

Твердження 14. Нехай f 2 D; ffng послiдовнiсть простих функцiй, що рiвномiрно збiга¹ться до функцi¨ f. Нехай ! заряд обмежено¨ варiа-

R

öi¨. Òîäi iñíó¹ lim fn d! i значення цi¹¨ границi не залежить вiд вибору

n!1X

послiдовностi fn, äëÿ ÿêî¨ fn f.

X

43

iнтеграла по мiрi (див. x допускають узагальнення на випадок iнтеграла по заряду.

Означення 23. Функцiя : [a; b] ! R назива¹ться функцi¹ю обмежено¨

варiацi¨, якщо iсну¹ таке число C, що для будь-якого розбиття вiдрiзка

m

P

[a; b] : a = a0 < a1 < : : : < am = b ì๠ìiñöå íåðiâíiñòü:

k=1

(ak 1) 6 C. Точну верхню межу сум по всiм скiнченним розбиттям вiдрiзка [a; b] назива¹мо варiацi¹ю функцi¨ . Позначення:

Для подальшого нагада¹мо, що функцiя f : [a; b] ! R назива¹ться íåïå- рервною справа, якщо в кожнiй точцi t 2 [a; b] викону¹ться умова: f(t) =

називати однобiчно неперервною, якщо в кожнiй точцi t 2 [a; b] викону¹ться принаймi одна з двох умов: f(t) = f(t + 0) або f(t) = f(t 0).

Нескладно перевiрити, що функцi¨, неперервнi справа на [a; b] утворю-

ють лiнiйний простiр (так само, як i функцi¨, неперервнi злiва), а функцi¨ однобiчно неперервнi лiнiйного простору не утворюють (перевiрте!).

Вправа 19. 1) Доведiть, що якщо функцiя ма¹ на X = [a; b] обмежену

âàðiàöiþ, òî 2 D(X).

2)Приведiть приклад функцi¨ з D(X), що ¹ однобiчно неперервна i не ма¹ обмежено¨ варiацi¨.

3)Знайти Var(sin).

[0; ]

4) Нехай функцiя Хевiсайда на X = [ 1; 1] ( (t) = 1, ÿêùî t > 0;

(t) = 0, ÿêùî t < 0). Знайдiть Var .

X

44

Нехай знову X = [a; b] i 2 D(X). Побуду¹мо заряд ! за одним з

! fbg = 0.

повiдних алгебрах, заряд ! ма¹ обмежену варiацiю i при цьому Var ! =

X

= Var .

X

2) Доведiть, що заряд ! , що буду¹ться за функцi¹ю вiдповiдно пер-

шому варiанту, ма¹ обмежену варiацiю i Var ! 6 Var . При цьому для

X X

однобiчно неперервно¨ функцi¨ остання нерiвнiсть перетворю¹ться в рiвнiсть.

3) Нехай ! заряд обмежено¨ варiацi¨ на алгебрi числових промiжкiв

. вiдрiзка [a; b]. Нехай функцiя визначена за формулою: (x) = ! [a; x]

Доведiть, що функцiя ма¹ обмежену варiацiю. Чи обов'язково ¹ одно-

бiчно неперервною?

Для подальшого слiд звернути увагу на те, що для побудови iнтеграла i дослiдження його властивостей замiсть алгебри числових промiжкiв можна з таким же успiхом взяти алгебру множин A2 àáî A3 ç âàðiàíòiâ 2 òà 3.

45

Означення 24. Нехай функцiя обмежено¨ варiацi¨ на вiдрiзку X =

= [a; b]; f 2 D(X); заряд ! побудовано за одним з трьох варiантiв. Iнтеграл

[Досить часто iнтегралом Стiльть¹са називають iнтеграл R

f d!, äå !

X

заряд обмежено¨ варiацi¨. й iншi версi¨].

Продуктивне використання iнтеграла Стiльть¹са в аналiзi та теорi¨ ймовiрностей стосу¹ться саме ситуацi¨, коли функцiя неперервна справа або

неперервна злiва.

Наступна теорема в деякiй мiрi поясню¹ позначення iнтеграла Стiльть¹-

ñà.

Теорема 22. Нехай неперервно диференцiйовна функцiя на X = [a; b].

Тодi ма¹ обмежену варiацiю i для будь-яко¨ функцi¨ f 2 D викону¹ться

X X

(bk) (ak) 6 M (bk ak) = M(b a):

k=1 k=1

46

X

Остання рiвнiсть ¹ наслiдком властивостi iнтеграла Стiльть¹са, що ¹ аналогом теореми 9 (доведiть самостiйно!).

Вправа 21. Довести в умовах теореми 22 рiвнiсть:

ZZ

10. Невласнi iнтеграли.

Розглянемо способи розширення поняття iнтеграла на випадок функцiй, що визначенi на необмежених промiжках або для фукнцiй, що мають розриви другого роду.

Означення 25 (невласний iнтеграл першого роду). Нехай функцiя f :

[a; +1) ! R iнтегровна на кожному вiдрiзку [a; b] [a; +1) (f íå ìà¹

47

a1

Означення 26 (невласний iнтеграл другого роду). Нехай функцiя f :

(a; b] ! R iнтегровна на кожному вiдрiзку [c; b] (a; b] i iсну¹ границя

b

R

K = lim f(x) dx. Òîäi f назива¹ться iнтегровною на (a; b], число K ïî-

c!a+0 c

48

Вправа 23. 1) Сформулюйте означення наведених вище варiантiв не-

3) Сформулюйте та доведiть аналог вправи 22 ( no2;3).

Надалi зосередимо увагу на дослiдженнi невласних iнтегралiв 1го роду. Вiдповiднi результати мають мiсце i для невласних iнтегралiв 2го роду.

Вправа 24. Сформулюйте та доведiть аналоги наступних результатiв

49

для випадку невласних iнтегралiв 2ãî роду, а також для iнших версiй невласного iнтеграла 1ãî ðîäó.

Означення 27. Нехай f : [a; +1) ! R, f iнтегровна на кожному вiдрiз-

+1

R

=f(x) dx збiга¹ться в тому й тiльки тому разi, якщо викону¹ться умова:

a

Твердження 16 (перша теорема порiвняння). Нехай 0 6 f(x) 6 g(x) функцi¨ на [a; +1), iнтегровнi на кожному вiдрiзку [a; b] [a; +1). Тодi

50