matan_bogdanskyj

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

= x arcsin x + p1 x + C. Проте

спрацьову¹ на ( 1; 1), àëå íå íà [ 1; 1]:

arcsin x dx = x arcsin x p1 x2 =

знайдена функцiя насправдi ¹ первiсною

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

860.79 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 183 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

sup f

d = sup f

(A). Друга нерiвнiсть

A 6 A

Доведення.

Îñêiëüêè f

sup f

(перевiрте!), то

f d =

Вправа 10.

R1) Сформулювати i довести аналоги теорем 5-9 для iнтегра-

аналогiчно.

ла по пiдмножинi A 2 A.

RD .

3) ßêùî

(див. вправу 3), то

2) Нехай f; g 2

D i fx j f(x) 6= g(x)g = 0. Довести:

f d = g d .

Для визначеного iнтеграла (мiра R довжина , див.

2) прийнятi такi

= c

f d = f(c) (f 2

)

позначення:

f(x) dx =

f(x) dx, ÿêùî a 6 6 6 b òà

f(x) dx =

h R; i

= f(x) dx, ÿêùî < .

Вправа 11. Довести, що для визначеного iнтеграла властивiсть адитивностi (теорема 10) приводить до рiвностi:


Z	f(x) dx + Z		f(x) dx = Z	f(x) dx для будь-яких вза¹мних розташувань

; ; 2 X:
	Ëåìà 2.	Нехай ffng послiдовнiсть простих функцiй, що рiвномiрно

збiга¹ться до функцi¨ f. Тодi для будь-якого A 2 A викону¹ться рiвнiсть:

Z	Z
f d = lim	fn d :
n!1
A	A

Доведення. виходить з нерiвностi:

A f d A fn d

6 kf fnk (A).

Теорема 11. Нехай

;

заряд та мiра на вимiрному

просторi

;

(X; A)

f 2 D i для кожного числового промiжка h ; i X виконуються нерiвностi:

inf f

;

i) 6

;

i) 6 sup

;

(6)

;

h ; i

Тодi для будь-яко¨ множини A 2 A викону¹ться рiвнiсть:

!(A) = Z	f d :
A

Доведення. Фiксу¹мо натуральне число n. Нехай fn така проста фун-

êöiÿ, ùî kf fnk 6 n. ßêùî íà h ; i функцiя fn прийма¹ стале значення

(k)

, òî inf f

(k)

; sup f

(k)

+ n, а тому з (6) виходить:

h ; i

fn(k) n

(h ; i) 6

!(h ; i) 6

fn(k) + n (h ; i):

(7)

Îñêiëüêè

h R; i fn d = fn(k) (h ; i), то (7) перепису¹ться у виглядi:

fn d n

(h ; i) 6

!(h ; i) 6

fn d + n (h ; i):

(8)

h ; i

З урахуванням адитивностi мiри , заряду ! i iнтеграла як функцi¨ множини, з нерiвностi (8) для будь-яко¨ вимiрно¨ множини A одержимо нерiвностi:

Z fn d n (A) 6 !(A) 6 Z fn d + n (A);
1			1
A	A	6 n (X):
якi рiвносильнi нерiвностi: !(A) A fn d		6 n (X):
Звiдси, з посиланням на	ëåìó 2, Rодержимо:		1

!(A) = lim fn d = f d :

n!1

Означення 14. Функцiя f 2 D, що задовольня¹ для кожно¨ вимiр-

но¨ множини A ðiâíiñòü !(A) = f d , назива¹ться щiльнiстю заряда !

вiдносно мiри i познача¹ться: f = d!d . З теореми 11 i твердження 7 ви- ходить, що функцiя f 2 D ¹ ùiëüíiñòþ çiðÿäà ! вiдносно мiри в тому

й тiльки в тому разi, якщо для кожного числового промiжка h ; i X виконуються нерiвностi (6).

5. Iнтеграл та первiсна.

		В цьому параграфi розгляда¹ться виключно визначений iнтеграл. Для
		Твердження 8.		Нехай f					x
		Твердження 8.		Нехай f		D. Тодi функцiя F ¹Raнеперервною на X.
функцi¨ f 2 D			визначимо F за формулою: F (x) = f(t) dt.
					2		+h	f(t) dt
					2		+h
		Доведення. F (x+h) F (x)					= xx		6 kfk jhj. Òîìó F (x+h) !
	F (x) ïðè f		0.				R

!			!

Твердження 9. Нехай f 2 D i f неперервна в точцi x0 2 X. Тодi функцiя

F диференцiйовна в точцi x0 i F 0(x0) = f(x0).

Доведення. Для кожного " > 0 iñíó¹ > 0 òàêå, ùî

(x0

; x0 +

jf(x) f(x0)j < " . Òîìó äëÿ x 2 (x0 x ; x0 + 2) x

X викону-

+ )

)

íåðiâíiñòü: F (x)

F (x

)

(x x

)f(x

)

f(t) dt

f(x

) dt

¹òüñÿT

f(t)

, звiдки виходить

ðiâíiñòü:

F (x)

F (x0)

f(x0) dt

F (x)

F (x0)

x0)f(x0) = o(x

0) ïðè x

x0, тобто iсну¹

lim

= f(x0).

x!x0

Íàñëiäîê. ßêùî f неперервна на числовому промiжку h ; i, то вона ма¹ на ньому первiсну.

Доведення. Фiксу¹мо p 2 h ; i i розглянемо на h ; i функцiю: H(x) =

=f(t) dt. Доведемо, що H первiсна функцi¨ f íà h ; i. Ôiêñó¹ìî x0 i

p	x	[c; d] h ; i		p òà x0. Çà äîâå-
беремо довiльний
	âiäðiçîê		, що мiстить точки
деним функцiя F (x) = Rc		f(t) dt диференцiйовна на [c; d] i F 0(x0) = f(x0).

Àëå

H òà F

[c; d]

H(x)

функцi¨

вiдрiзняються на

лише на константу

F (x) = p

f(t) dt .

f неперервна

Теорема 12 (Формула Ньютона-Лейбнiця). Нехай функцiя

íà [a; b] i äîâiëüíà ïåðâiñíà f íà [a; b]. Òîäi

f(x) dx = (b) (a):

(9)

Доведення. Оскiльки будь-якi двi первiснi функцi¨ f на [a; b] вiдрiзняються на константу то рiвнiсть (9) достатньо перевiрити для первiсно¨ = F

(перевiрте!).

Теорема 13 (iнтегрування частинами). Нехай функцi¨ u та v неперервно диференцiйовнi на вiдрiзку [a; b]. Тодi ма¹ мiсце формула:

u v0 dx = (u v)(x) ab

v u0 dx;

(

)0( ) =

òóò f(x) ab = f(b) f(a) .

v ¹ первiсною неперервно¨ функцi¨ uv

Доведення. Функцiя u

= u0(x)v(x) + u(x)v0(x), а тому за формулою (9):

Z (u0v + uv0) dx = (uv)(x) ab :

Теорема 14 (теорема про замiну змiнно¨).

Нехай функцiя ' визначена

[ ; ]; f неперервна на областi

та неперервно диференцiйовна на вiдрiзку

значень '([ ; ]) функцi¨ '. Тодi функцiя f('(t)) '0(t) iнтегровна на [ ; ]

i ìà¹ ìiñöå ðiâíiñòü:

		'( )
Z	f('(t))'0(t) dt =	Z	f(x) dx:
		'( )

Доведення. Функцiя g(t) = f('(t))'0(t) неперервна на [ ; ] i òîìó

iнтегровна. Нехай первiсна f íà '([ ; ]). Òîäi dtd ('(t)) = f('(t))'0(t) i ('(t)) ¹ ïåðâiñíîþ íà [ ; ] для функцi¨ g. Двiчi застосову¹мо формулу

Ньютона-Лейбнiця:

		'( )
Z	f('(t))'0(t) dt = ('( )) ('( )) =	Z	f(x) dx:
		'( )

Зауваження 3. Iнодi пошук первiсно¨ функцi¨ на вiдрiзку може бути технiчно обтяжливим перевiркою в кiнцевих точках цього вiдрiзка. Так, наприклад, для функцi¨ f(x) = arcsin x класична технiка пошуку первiсно¨

i на всьому вiдрiзку [ 1; 1]. Перевiрка рiвностей 0(1 0) = f(1); 0( 1 +

+ 0) = f( 1) нетривiальна, але необхiдна для застосування формули (9) у

Íà

âàðiàíòi:

f(x) dx = (1) ( 1).

допомогу приходить наступне твердження.

Твердження 10. Нехай функцiя f 2 C[a; b] i ïåðâiñíà f на iнтервалi

(

;

x!a+0

(

) := ( )

(

0) = x!b 0

(

) :=

b). Тодi iснують (a + 0) = lim

;

lim

:= (b) i довизначена функцiя ¹ первiсною f íà âiäðiçêó [a; b].

Доведення. Фiксу¹мо p 2 (a; b). Тодi, за доведеним вище, iсну¹ таке

число C, ùî äëÿ âñiõ ax 2 (a; b) викону¹ться b

f(t) dt + C.

(x) = Rp

ðiâíiñòü:

Покладемо: (a) := Rp

f(t) dt + C; (b) := Rp

f(t) dt + C. За твердженням

9, довизначена функцiя неперервна на [a; b], çâiäêè (a + 0) = (a),

(b 0) = (b) i при цьому 0(a) = f(a); 0(b) = f(b).

Вправа 12. 1) Нехай функцiя f неперервна на [ a; a]. ßêùî f ¹ парною

	a	a	a
функцi¹ю, то	Ra	f(x) dx = 2 f(x) dx, à ÿêùî f непарна, то	f(x) dx =
0. Довести.	Ra	R0	Ra

2) Нехай функцiя f неперервна на ( 1; +1) i перiодична з перiодом T .

a+T	f(x) dx не залежить вiд вибору a 2 R. Довести.
Тодi значення iнтеграла R

У подальшому нам буде корисне наступне твердження.

Ðîçiá'¹ìî âiäðiçîê [a; b] на маленькi вiдрiзки точками x1; x2; : : : ; xn 1, à точнiше покладемо: a = x0 6 x1 6 : : : 6 xn 1 6 xn = b i на кожному

ç	âiäðiçêiâ	[xi 1; xi](1 6 i 6 n) ôiêñó¹ìî ïî îäíié òî÷öi: x~k 2 [xi 1; xi].
	n

Ñóìó P f(~xk) (xk xk 1) будемо називати iнтегральною сумою . Для

k=1

кожного розбиття (позначимо його символом 4) запровадимо число, що ¹ кiлькiсною характеристикою його дрiбностi:

d(4) = max (xk xk 1):

16k6n

Твердження 11. Нехай f 2 C[a; b] i 41; 42; : : : послiдовнiсть розбит-

òiâ, äëÿ ÿêèõ d(4m)

! 0; m ! 1. Нехай Sm(f) вiдповiнi iнтегральнi

суми для функцiй f. Òîäi iñíó¹ lim Sm(f) i âií äîðiâíþ¹

f(x) dx.

m!1

íà âiäðiç-

Доведення. Беремо " > 0. Рiвномiрна нерерервнiсть

функцi¨

jx yj < )

êó [a; b] дозволя¹

стверджувати iснування

> 0

, для якого:

. Нехай

f(x)

f(y) . < "

M натуральне число, для

якого

m > M

) dj (

)

m) <

)

Äëÿ

розбиття

вiдповiдна iнтегральна сума Sm(f) ìîæå áóòè iíòåð-

претована як iнтеграл

fm dx для функцi¨ fm, що визначена за формулою:

fm(x) = f(~xk), ÿêùî x Ra

[xk

1; xk), k = 1; 2; : : : ; m; fm(b) = f(b). При цьому

для кожно¨ точки x 2 [a; b] викону¹ться нерiвнiсть: jf(x) fm(x)j 6 " (m >

Цим твердження доведене.

6 a

M) (обмiркуйте!), а тому

Sm(f)

f(x) dx

"(b

a).

n!1 n + 1

Вправа 13. 1) Застосуйте твердження 11 до пошуку границi

lim

+n + 2 + : : : + n + n .

2)Доведiть аналог твердження 11 для ступiнчастих (простих) фукнцiй.

3)Доведiть узагальнення твердження 11 для довiльно¨ функцi¨ f 2 D.

6. Застосування визначеного iнтеграла для обчислення площi множин на площинi .

В середнiй школi запроваджу¹ться поняття площi многокутника. При цьому пiд базовими маються на увазi такi властивостi площi (цi властивостi можуть бути покладенi в аксiоматику):

1) Адитивнiсть площi: якщо многокутник C склада¹ться з двох менших

A i B (що не перетинаються), то s(C) = s(A) + s(B). Òóò s(F ) площа

многокутника F .

2)Íåâiä'¹ìíiñòü ïëîùi: s(F ) > 0 для кожного многокутника F .

3)Iíâàðiàíòíiñòü площi вiдносно метричних перетворень площини: якщо

g паралельне перенесення, поворот чи симетрiя, то s g(F ) = s(F ) äëÿ

кожного многокутника F .

4) Нормування площi. Якщо F квадрат, сторона якого ма¹ одиничну

довжину, то s(F ) = 1.

Але цей пiдхiд потребу¹ неабияких зусиль при визначеннi площi бiльш складних множин, таких, як, скажiмо, круг.

Наступний пiдхiд дозволя¹ нам поширити поняття площi на значно бiльший запас множин.

Нехай X квадрат в R2, сторони якого паралельнi осям координат. Розглянемо всiляки прямокутники в X (¨х сторони також паралельнi осям координат). Цi прямокутники утворюють сiм'ю пiдмножин N â X i можна розглянути алгебру A0 пiдмножин в X, що породжена сiм'¹ю множин N.

одне покриття iсну¹ (A X) i всi числа ( k) невiд'¹мнi, то визначена

k=1

точна нижня межа всiх таких чисел (по всiляким покриттям). Формально:

Нескладно перевiрити, що множина A належить A0 â òîìó é òiëüêè òîìó разi, якщо вона ¹ об'¹днанням скiнченно¨ кiлькостi прямокутникiв зi сторонами, паралельними осям координат. При цьому, коли ми кажемо про прямокутник зi сторонами [a; b] òà [c; d], òî ìà¹ìî íà óâàçi äîâiëüíó ìíî-

жину, що задовольня¹ вкладення: (a; b) (c; d) [a; b] [c; d], тобто

нам байдуже, якi точки межi прямокутникiв до них залученi.

Вправа 14. Перевiрте останн¹ твердження та переконайтесь, що функцiя : A0 ! R, яка ставить у вiдповiдь кожнiй множинi з A0 ¨¨ площу, ¹ ìiðîþ íà A0.

Нехай A довiльна пiдмножина в X. ¨ можна покрити (i не ¹диним чи- ном) скiнченною кiлькiстю прямокутникiв в X. Кожному такому покриттю

m	m
A k поставимо у вiдповiднiсть число	( k). Оскiльки принаймi
=1	k=1
kS	P
m

	m			m
(A) = inf	X	( k)		[	:
(A) = inf	k=1	( k)	A k=1 k		:

Означення 15. Число (A) назива¹ться				зовнiшньою мiрою множини

Твердження 12. Зовнiшня мiра ма¹ наступнi властивостi:

1)(A) > 0;

2)A B ) (A) 6 (B) ;

3)(A SB) 6 (A) + (B);

4)	j (A)	(B)j 6 (A 4 B);	(10)
5) äëÿ A 2 A0		ìà¹ ìiñöå ðiâíiñòü: (A) = (A).

Доведення. Властивiсть 1) очевидна; властивiсть 2) ¹ наслiдком тi¹¨ обставини, що кожне покриття B ¹ також покриттям для A. Доведемо

властивiсть 3). Для кожного " > 0 iснують такi покриття								A k=1 k;
		n			m	n
B			k, ùî		( k) < (A) + ";	( k) < (B) + ". Îñêiëü-
		m+1			=1	k=m+1
êè		k=Sn			kP	P	n
		k	k=1 ¹ покриттям для A B, òî (A				B) 6 ( k) < (A) +
	B		". I посилання на довiльнiсть " > 0.				k=1
+							P
		( ) + 2			S	S
		Властивiсть 4) ¹ наслiдком властивостi 3) та вкладень: A B (A4B);
B A			(A 4 B) (обмiркуйте!). Для доведення 5) насамперед					зауважимо,
								S
ùî		A		A	, тому що множина A	2 A0	розклада¹ться в скiнченне
		(S) 6		( )

об'¹днання прямокутникiв, що попарно не перетинаються i цi прямокутники утворюють одне з можливих покриттiв множини A. А з iншого боку,

m	m	k) 6	m
для будь-якого покриття A	k ìà¹ìî: (A) 6 (	k) 6	( k)
k=1	k=1		k=1
(перевiрте!), звiдки й приходимоSдо зворотно¨ нерiвностi.S			P

Означення 16. Множину A â X назвемо квадровною (або жордановою),

якщо для кожного " > 0 iсну¹ множина A" 2 A0, äëÿ ÿêî¨ (A 4 A") < ". Сiм'ю всiх квадровних множин (в X) позначимо через A. Як виходить з твердження 12, A0 A. Доведемо, що A ¹ алгеброю множин, а обмеження

äëÿ

(A)

çîâíiøíüî¨ ìiðè íà

задовольня¹ всi аксiоми мiри

A 2 A

i ¹

площа множини AA; познача¹мо ¨¨ також: s(A)

jA ¹

Теорема 15.

Квадровнi пiдмножини в X

утворюють алгебру i

ìiðîþ.

Нехай A; B 2 A; " > 0. Беремо A"; B" 2 A0, äëÿ ÿêèõ

Доведення.

(A 4 A") < "; (B 4 B") < ". Мають мiсце такi вкладення:

(A B)

(A"

B")

(A A") (B B");

(A SB)

(A"

SB")

4 A") S(B 4 B");

(A TB)

4(A"

TB")

4A")

S(B

4B"),

звiдки з твердження 12 виходить:

(A SB) 4 (A" SB") < 2";

(11)

Можна було б довести лише належнiсть

(A	B)	(A"	B")		< 2";	(12)
(A TB)		4(A"	TB")	< 2".
	n	4	n

З довiльностi " > 0 виходить: A B 2 A; A B 2 A; A n B 2 A.

A B äî A i скористатись тим,

ùî (X n A) 4 (X n A") = A 4 A".

Таким чином, A ¹ алгеброю. Залишилось перевiрити лише адитивнiсть

íà A.

Нехай A; B 2 A; A B = ?. Беремо A"; B" 2 A0 за тим же сценарi¹м. Òîäi ç (10)-(12) одержимо:

(A _B) (A) (B)		6 (A _B) (A" [B") +
+ (A)	(A") + (B)	(B") + (A"	B") < 6":

При цьому

була використана

тотожнiсть:

(A") + (B") = (A"

B") +

(

) = (?)

тельно

= 0. Ðå-

+ (A

B ) (див. твердження 2) та рiвнiсть

A B

перевiрте останню нерiвнiсть!

Посилання на довiльнiсть " > 0 завершу¹ доведення теореми.

Вправа 15.

1) Нехай A

A; (A) = 0; B

A. Довести:

(B) = 0.

2)Нехай A X i для кожного " > 0 iñíó¹ B 2 A, для якого (A4B) <

<". Доведiть: A 2 A (Висновок: подальше розширення алгебри A вказаною

процедурою неможливе).

Зауваження 4. Аналогiчнi мiркування приводять до поняття жорданових множин в Rn при будь-якому натуральному n. Далi нас буде цiкавити

також випадок n = 3 ( кубовнi множини ).

Зауваження 5. Природне питання про iнварiантнiсть алгебри жорданових множин i площi вiдносно паралельних перенесень, поворотiв та симетрiй площини залишаються повз уваги. Перевiрку цього факту нескладно зробити, якщо скористатись вказаною вище iнварiантнiстю площi для ме-

<<< < Предыдущая 1 23 / 183 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.20164.05 Mб7Manual_DIR-300_A1_rev_1_0_RUS.pdf
#
17.03.2016522.24 Кб93manuel.doc
#
07.09.2019411.65 Кб1marketing_1-65.doc
#
17.03.20161.5 Mб28MASTER DIPLOMA_Kireeva Anastasia (1) (1).docx
#
17.03.20161.57 Mб17MASTER DIPLOMA_Kireeva Anastasia.docx
#
12.05.2015860.79 Кб23matan_bogdanskyj.pdf
#
12.05.20151.15 Mб13Matematyka_vidpovidi_.pdf
#
12.05.2015999.23 Кб12Matemat_vidpovidi_ds.pdf
#
03.08.2019364.7 Кб1materialka.docx
#
01.05.2019169.47 Кб7Materialoznavstvo-ukr.doc
#
12.05.2015597.61 Кб9materialoznavstvofinal.pdf