Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

matan_bogdanskyj

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

860.79 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 188 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

тому застосову¹ться формула (6).

	2	2	d' = 2 :
I = ZZ 2 d d' = Z		3 d Z	d' = 2 :
				15
X	1	0

2.Обчислити площу областi Y , що обмежена наступними кривими: y =

=x2; y = 2x2; xy = 1; xy = 3.

Розв'язання. Покладемо: u = x2 ; v = xy. Тодi вiдображення (u; v) ! ! (x; y) вза¹мно однозначно переводить прямокутник X = [1; 2] [1; 3]

íà Y . ßêîáiàí J(u; v) =

D(x; y)

можна пiдрахувати двома способами: або

D(u; v)

; y = p3

, çâiäêè

J(u; v) =

виразити x òà y через u òà v: x =

uv2

(÷îìó?),j

(перевiрити!); або, скористатись тотожнiстю

jJ(u; v)j

= jJ(x; y)j

i знайти: jJ(x; y)j = 3

= 3u.

Тепер

s(Y ) = ZZ jJ(u; v)j du dv = 3

u =

3 ln 2:

4. Потрiйний iнтеграл.

Поняття кубовно¨ множини в R3 аналог квадровно¨ в R2; означення

тако¨ множини цiлком аналогiчне (обмiркуйте!).

Â ðàçi, ÿêùî X кубовна (обмежена) множина в R3; A = AX алгебра

кубовних пiдмножин в X; f 2 D(X), à ìiðà îá'¹ì ( = v), iнтеграл f dv

назива¹ться потрiйним iнтегралом i познача¹ться:

ZZZ

f(x; y; z) dx dy dz:

Аналогом криволiнiйно¨ трапецi¨ в тривимiрному просторi ¹ цилiндро¨д

множина, що визначена умовою:

	= (	x; y; z	)	(	2	2		(	) 6	z	6 (	x; y	)
Ö					x; y)		D; ' x; y						;
тут D квадровна множина					â R ; ' òà
								неперервнi функцi¨ на D, причому

'(x; y) 6 (x; y).

Точнiше: цилiндро¨д, бiчна поверхня якого паралельна осi Oz, визначе- ний спiввiдношенням:

	(x; y; z) (x; y) 2 Do; '(x; y) < z < (x; y) Ö (x; y; z) (x; y) 2						D	;
	(	) 6		6 (	)

' x; y			z	x; y		:

Аналогiчно визначенi цилiндро¨ди, бiчна поверхня яких паралельна iншим осям. Цилiндро¨ди ¹ множинами кубовними (доведiть самостiйно!).

Мають мiсце аналоги теорем 3 та 4.

Для множини G R3 позначимо через prxy G ¨¨ проекцiю на площину xOy, а для кожно¨ точки (x; y) 2 R2 через G(x;y) позначимо проекцiю на

вiсь Oz перерiзу множини G прямою, що проходить через точку (x; y; 0) i паралельна осi Oz:

G(x;y) = z (x; y; z) 2 G :

За аналогi¹ю з теоремою 5 доводиться наступний результат (доведення його аналогiчне доведенню теореми 5).

Теорема 7. Нехай G замкнена множина в R3, що ¹ об'¹днанням скiн-

ченно¨ кiлькостi цилiндро¨дiв з бiчними поверхнями, перелельними осi Oz.

Тодi для кожно¨ неперервно¨ функцi¨ на G множина prxy G ¹ квадровною,

			G(R	f(x; y; z) dz
функцiя аргументiв x; y, що визначена формулою: g(x; y) =				f(x; y; z) dz
			x;y)
iнтегровна на prxy G i ма¹ мiсце наступна формула:
ZZZ f(x; y; z) dx dy dz = ZZ dx dy		Z	f(x; y; z) dz:
G	prxy G	G(x;y)
Вправа 4.	Доведiть теорему 7.

Звичайно мають мiсце i аналогiчнi формули, що можуть бути одержанi при проектуваннi G на iншi координатнi площини.

Зауваження 1. 1. Замiсть проектування G на координатнi площини,

можна розглядати проекцi¨ G на координатнi осi. Так, наприклад, якщо позначити через przG проекцiю G íà âiñü Oz, а через Gz0 множину в R2,

xOy		G площиною z = z0,	òî çà				G i
що визначена умовою: Gz0 = (x; y)				(x; y; z0) 2 G		проекцiя на площину
	перерiза				вiдповiдних умов на область

функцiю f (цi умови при застосуваннях як правило виконуються), одержимо рiвнiсть:

ZZZ f(x; y; z) dx dy dz =

ZZ f(x; y; z) dx dy:

(11)

prz G

2. Теореми 5, 7 i формула (11) сутт¹во узагальнюються i вiдповiдний

результат вiдомий як теорема Фубiнi .

RRR

+ y2 6

Приклад. Обчислити I =

z dx dy dz, äå G =

(x; y; z)

6 z

6 1

Розв'язання.

Ñïîñiá 1

Застосу¹мо теорему 7.

I = 2 ZZ2

dx dy

z dz = 2

2 ZZ2

1 (x2 + y2) dx dy =

x +y 61

x2+y2

= Z

(1 2) d =

(1 2) d( 2) =

0 =

Ñïîñiá 2 I =

dzx2

+y2

6z2 z dx dy =

4 (ми скори-

z dz z2 = z4

стались формулою площi круга, що утворю¹ться в перерiзi).

Ма¹ мiсце також аналог теореми 6, який доводиться за тi¹ю ж схемою (див. також x3:11).

F 2 D(X)

Теорема 8. Нехай U вiдкрита множина в R3 i F: U ! F(U) R3дифеоморфiзм. X кубовна множина; X U; Y = F(X). Òîäi Y кубовна множина; для кожно¨ iнтегровно¨ функцi¨ f 2 D(Y ), функцiя f

i ìà¹ ìiñöå ðiâíiñòü (12):

Z	Z
f d# =	(f F) j det F0( )j d#:	(12)

Приклад. Обчислити об'¹м областi Y , що визначена системою нерiвно-

ñòåé: z2 > x2 + y2; x2 + y2 + z2 6 z (зробiть малюнок!).

	Спосiб 1 Застосу¹мо цилiндричнi координати :			8x = cos '	. Âiäïîâiä-
	Спосiб 1 Застосу¹мо цилiндричнi координати :			>y = sin '	. Âiäïîâiä-
				>
				>
				<
		D(x; y; z)		>z = z
íèé ÿêîáiàí J( ; '; z) =		=	(перевiрте!)>.
íèé ÿêîáiàí J( ; '; z) =		=		>
				:

D( ; '; z)

RRR

Шуканий об'¹м да¹ iнтеграл I = jJ( ; '; z)j d d' dz, де область X

визначена в R3 системою нерiвностей:

X ¹ цилiндром: X = D [0; 2 ], äå

X
8026		26 z
>	+ z	6 z .
>
>
<
>	R
>	R

0 6 ' 6 2
>
:	2 зада¹ться системою нерiвно-
D

0 6 6 z	. Òîìó I = 2 D	d dz (обмiркуйте! Це аналог вправи
ñòåé: < 2 + z2 6 z
:	RR

2). Зробiть малюнок областi D. Полярною замiною: = r sin ; z = r cos приходимо до рiвностi:

				cos
		4	d	cos						4	sin 3 cos3			d =
I = 2 Z0			d	Z0	r2 sin dr = 2 Z0						sin 3 cos3			d =
													1
=	1	2		cos4		4	=	1	1	1	=		:
=	3	2		4		0	=	6	1	4	=	8	:

Спосiб 2 Застосу¹мо сферичнi координати :

8x = r sin # cos '

r > 0;

>y = r sin # sin '

. Âiäïîâiäíèé ÿêîáiàí J

<z = r cos #

>'; # r2

# (перевiрте!).

[0; 2

];

I =

îá'¹ì

sin # dr d' d#, де область

[0;

]

RRR

(r;>

) = sin

Шуканий

да¹ iнтеграл

80 6 # 6

визначена в

3 системою нерiвностей:

. Òîìó

I = 2

>0 6 ' 6 2

# dr d#, äå D

çàäà¹òüñÿ

системою>

нерiвностей:

sin

;

0 6 r 6 cos #

cos #

0 6 r 6 cos #. Тепер I = 2 R0

sin # d#

r2 dr =

5. Геометричнi застосування кратних iнтегралiв .

Застосування подвiйних iнтегралiв до обчислення площi множин на площинi, а також подвiйних i потрiйних iнтегралiв до обчислення об'¹му просторових тiл були розглянутi вище. А зараз розглянемо застосування подвiйного iнтеграла до обчислення площi поверхнi в R3.

Нехай : D ! R3 вiдображення квадровно¨ множини D R2 â ïðî-

ñòið R3. Нехай вiдображення неперервно диференцiйовне i ранг r

0(u; v)

його якобi¹во¨ матрицi

0(u; v)

дорiвню¹ двом для всiх точок

u; v

) 2

~u = (

S = (D) назива¹мо (параметризованою або елементарною ) поверхнею в

R3, а само вiдображення параметризацi¹ю поверхнi S.

переводить до-

Вiдображення x = x(u; v); y = y(u; v); z = z(u; v)

вiльну криву

, що лежить в

D R2

i проходить че-

u = u(t); v = v(t)

точку

множини

рез внутрiшню

0 =

u t ); v

= v(t )

D в криву

x =

( 0

, що лежить в

= x(u(t); v(t)); y = y(u(t); v(t)); z = z(u(t); v(t))

S i прохо-

дить через точку

поверхнi

x0 = x(u0

; v0); y0 = y(u0; v0); z0 = z(u0

; v0)

x0. Оскiльки координати цих дотичних векторiв ¹

(x0; y0; z0)

S. Дотичнi вектори до кривих на S, що проходять через точку

утворюють, за означенням, дотичний вектор до S â òî÷öi (x0; y0; z0). Ìíî-

жина усiх дотичних векторiв в точцi !

x0 = (x0; y0; z0) утворю¹ "дотичний про-

ñòið"Tx!0 S äî S â òî÷öi

x0(t0); y0(t0); z0(t0) ;

x0(t0) = @x@u(u0; v0)u0(t0) + @x@v (u0; v0)v0(t0);

аналогiчно обчислюються y0(t0) òà z0(t0) i при цьому u0(t0); v0(t0) можуть

приймати довiльнi значення, то дотичний простiр Tx0 S äî S â òî÷öi (x0; y0; z0) =

спiвпада¹ з

Im 0

образом матрицi Якобi вiдображення

= (!0)

(!0)

òî÷öi

(u0; v0)

, тобто з лiнiйною оболонкою стовпцiв матрицi

0(!0)

Представимо D як диз'юнктне об'¹днання скiнченно¨ кiлькостi квадров-

них пiдмножин: D = D1

: : : Dm; в кожнiй з пiдмножин вiзьмемо

точку:

Dk (k = 1; : : : ; m) i через Ck позначимо пiдмножину простору

! 2

W W

= 0(uk)(Dk)

Tuk S, що ¹ образом Dk пiд дi¹ю вiдображення 0(uk)

(неодмiнно зробiть малюнок!). Множини fCkg

утворюють луску , що при-

ëÿãà¹ äî S.

На iнтуiтивному рiвнi сума площ множин Ck (k = 1; : : : ; m) ¹ наближенням до шукано¨ площi поверхнi S. Для точного означення поняття площi

покладемо: d(

) = max

diam D

k j

m , äå

формальне позна-

i (

6 g

= 0(uk)(Dk):

чення розбиття D =

) сума площ множин C

(4) = k=1 s(Ck).

Поверхня S

назива¹ться квадровною, якщо для кожно¨

Означення 1.

послiдовностi розбиттiв 4n множини параметрiв D, äëÿ ÿêî¨ d(4n) ! ! 0; n ! 1, послiдовнiсть площ луски (4n) ма¹ границю, що не залежить вiд вибору послiдовностi розбиттiв i при цьому площею S назива¹мо

границю послiдовностi (4n) : (S) = lim (4n).

n!1

Означення 2. Двi параметризацi¨ 1 : D1 ! S òà 2 : D2 ! S поверхнi

S назвемо еквiвалентними, якщо iсну¹ дифеоморфiзм F : D1 ! D2, äëÿ якого 1 = 2 F (à òîìó é 2 = 1 F 1).

Теорема 9. Нехай S = (D) параметризована поверхня в R3. U

вiдкрита множина в R2; D U; D квадровна множина в R2; : U ! R3

неперервно диференцiйовне вiдображення; r 0(u; v)

= 2 для всiх точок

(u; v) 2 U. Тодi поверхня S = (D)

площа може бути

квадровна та ¨¨

пiдрахована за формулою:

( ) = ZZ

(13)

du dv:

0yu0

òóò ~ru

= @ ; ~rv =

0yv0

= @ значення стовпцiв матрицi

xu0

xv0

Bzu0

Bzv0

@u .

0(~u)

@ A

~u = (u; v)

При цьому

òî÷öi

квадровнiсть поверхнi та ¨¨ площа iнварiантнi вiдносно замi-

ни параметризацi¨ на еквiвалентну.

! R2 з матрицею A = (aij) ïå-

Доведення.

Лiнiйне перетворення R2

в паралелограм зi сторонами

ретворю¹ прямокутник зi сторонами

f i; jg

!2 2 R

òà a , äå a , a стовпцi матрицi A. Îñêiëüêè a

òà a

3, ïëî-

щу цього паралелограма можна пiдрахувати за формулою:

, äå

Z A0, що ¹ скiнченним об'¹днанням прямокутникiв, пiд дi¹ю пе-

множина

ретворення A переходить в квадровну множину, площа яко¨ бiльше площi

Z â a

разiв. Стандартнi мiркування показують, що це ж стосу¹ться

2 (обов'язково обмiркуйте!).

взагалi кожно¨ квадровно¨ множини

тегральну суму

~ru(u; v)

~rv(u; v) du dv

. Îñêiëüêè

k=1

Òîìó (

) =

~ru(uk)

~rv(uk)

s(D

), тобто представля¹ собою iн-

подвiйного iнтеграла

функцiя ~ru ~rv ¹ рiвномiрно неперервною на D, то з теореми 3 робимо висновок, що значення цього iнтеграла ¹ границею послiдовностi iнтегральних

ñóì (4k) â ðàçi, ÿêùî d(4k) ! 0. Звiдси виходить квадровнiсть поверхнi S та формула (13).

Нехай F дифеоморфiзм U íà U1; òà 1 вiдповiднi параметризацi¨ поверхнi S; D1 = F (D). Позначимо через (p; q) координати точки D1, ùî вiдповiдають точцi ~u = (u; v) 2 D при дифеоморфiзмi F , тобто F (~u) =

= p~ = (p; q). Площа поверхнi S

при параметризацi¨ 1 за формулою (13)

(S) =

RR1

dp dq, а з посиланням на формулу (6'):

äîðiâíþ¹

p u; v ; q u; v

D(p; q)

du dv:

1( ) = ZZ

!p !q

( ) (

)

D(u; v)

Тепер для доведення теореми достатньо перевiрити тотожнiсть:

!p		!q	(	)	(	u;	v)
	r	r	p	u; v	; q	u;

	D(p; q)			r	r	:
D(u; v)		=		r	r	:	(14)
D(u; v)		=	!u		!v		(14)

Тотожнiсть (14) можна перевiрити безпосередньо, а можна ¨¨ одержати з таких мiркувань.

	Лiнiйне вiдображення ~u0 (~u) ¹ композицi¹ю двох: ~u0 (~u) = p~0								F~u0 =
= 0		F (~u)	F 0(~u). Тодi для кожного прямокутника Z в площинi ~u âèêî-

íó¹òüñÿ ðiâíiñòü:				F~u0 (Z) = M s(Z) = s ~u0 (Z) :
			s p~0	F~u0 (Z) = M s(Z) = s ~u0 (Z) :					(15)
	Лiва та права частина формули (14) представляють собою два вирази
äëÿ êîåôiöi¹íòà M з формули (15) (обмiркуйте!).
	Формулу (13) можна переписати iнакше.
Лема 9. Нехай ~ ~				2 R	3. Тодi викону¹ться рiвнiсть:
			a, b	2 R		= q
			~a ~b					:
			~a ~b				~a 2 ~b 2 ~a;~b 2	:

Доведення. Ñïîñiá 1 Геометричний змiст визначника Грама: (a~1; a~2; : : : ;

¹ квадрат об'¹му паралелепiпеда, побудованого на векто- a~n) = det (a~i; a~j)

ðàõ fa~1; : : : ; a~ng. Звiдки митт¹во одержимо результат.

Спосiб 2 Безпосереднiй пiдрахунок це так звана тотожнiсть Лагран-

æà: (a1b2 a2b1)2+(a1b3 a3b1)2+(a2b3 a3b2)2 = (a12+a22+a32)(b12+b22+

+ b32) (a1b1 + a2b2 + a3b3)2 (перевiрте!). Запровадимо позначення:

E = (x0u)2

F = x0ux0v

+ (

)

+ (zu0

)

= k!uk

;

= (

) + (

)

;

+ (zv0 )	2	= k!vk	;
		r

Тодi, використовуючи лему 9, з (13) отрима¹мо таку формулу:

(S) = ZZ
(S) = ZZ		EG F 2 du dv:	(16)
D	p

Твердження 2.

Нехай D квадровна множина в R2; поверхня S âè-

C (D) з рiвномiрно неперервною n

j (x; y) 2 D . ßêùî

значена як графiк функцi¨ f: S

= x; y; f(x; y)

ïîõiäíîþ, òî

квадровна поверхня

(S) = ZZ s1 +

dx dy:

(17)

Доведення.

Поверхня S параметризована вiдображенням : (x; y) 7!

7!(x; y; f(x; y))2. Посила¹мось на2

теорему 9 та формулу (16). При цьому

; G

; F

, à òîìó EG

F 2

= 1

= 1 + @y

= 1 +

Приклад. Обчислити площу поверхнi одинично¨ сфери в					3.
Приклад. Обчислити площу поверхнi одинично¨ сфери в

Розв'язання.	Ñïîñiá 1	Верхню пiвсферу зада¹мо формулою:
		Верхню пiвсферу зада¹мо формулою:
	z = p			; x2 + y2 6 1:
	z = p		1 x2 y2	; x2 + y2 6 1:
За формулою (17) ¨¨ площа дорiвню¹

2 ZZ2

1 + 1 x2

+ 1 x2

y2 dx dy = 2

x +y 61

= Z

d(1 )

= 2 1 2

0 = 2 :

1 2

Âiäïîâiäü: (s) = 4 .

1
Z				d =

	p	1	2
0	p

Ñïîñiá 2 Параметризу¹мо одиничну сферу: x = sin # cos '; y = sin # sin ';

z = cos #; 0 6		' 6 2 ; 0 6 # 6 . Òîäi EG F 2 = sin2 # (перевiрте!);
(s) = 2 R0	sin	# d# = 4 .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 188 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.20164.05 Mб7Manual_DIR-300_A1_rev_1_0_RUS.pdf
#
17.03.2016522.24 Кб93manuel.doc
#
07.09.2019411.65 Кб1marketing_1-65.doc
#
17.03.20161.5 Mб28MASTER DIPLOMA_Kireeva Anastasia (1) (1).docx
#
17.03.20161.57 Mб17MASTER DIPLOMA_Kireeva Anastasia.docx
#
12.05.2015860.79 Кб23matan_bogdanskyj.pdf
#
12.05.20151.15 Mб13Matematyka_vidpovidi_.pdf
#
12.05.2015999.23 Кб12Matemat_vidpovidi_ds.pdf
#
03.08.2019364.7 Кб1materialka.docx
#
01.05.2019169.47 Кб7Materialoznavstvo-ukr.doc
#
12.05.2015597.61 Кб9materialoznavstvofinal.pdf