Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

matan_bogdanskyj

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

860.79 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1814 15 16 17 18 > Следующая >>>

f! ! !g, складеним з e2 ; e3 ; : : : ; en

! det F '(x0) =

@y1

@x1

(!0)		2	2			2			(13)
(!0)	: : : : : : : : : : : : : : : :								(13)
		@y1		@y2	: : :		@yn
		n		n			n
		@x		@x		@x
x		@y1	@y2		: : : @yn			:



		@x		@x		@x

Функцiя y1(x1; x20; : : : ; xn0 ) ¹ монотонно зростаючою (обмiркуйте!). Тому

	@y1	x	>	0	(à ÷îìó		?) i другий множник право¨ частини рiвностi (13) ¹
		x	>		(à ÷îìó		?) i другий множник право¨ частини рiвностi (13) ¹
@x1		(!0)				= 0
@x1						6
додатним. Залишилось звернути увагу на те, що вiн ¹ визначником похiдно¨
			x	вiдповiдно¨ функцi¨ склеювання iндукованих карт '				K	òà
â òî÷öi !0									òà
атласа края K.									K

Îði¹íòàöiþ â Rn 1, що визначена базисом

векторiв канонiчного базиса Rn назива¹мо узгодженою з орi¹нтацi¹ю Rn,

що визначена його канонiчним базисом, а орi¹нтацiю края K, що iндукова-

на орi¹нтацi¹ю M запропонованим вище способом, узгодженою з вихiдною орi¹нтацi¹ю многовида M.

Теорема 1 (загальна формула Стокса). Нехай M орi¹нтований диференцiйовний многовид з кра¹м K = @M; орi¹нтацiя @M узгоджена з орi¹нтацi¹ю M. ! диференцiальна (n 1)-форма на M з обмеженим но-

сi¹м (ззовнi об'¹днання скiнченно¨ кiлькостi карт ! дорiвню¹ нулю) i ! @M¨¨ обмеження на @M. Тодi ма¹ мiсце формула:

d! =	! @M :	(14)
M
M	@M

Цю теорему доводити не будемо. Розглянемо ¨¨ застосування. Приклади. 1. (Формула Грiна) Нехай D обмежена область в R2 ç ãëàä-

	S	(D; id)					@D
да¹ться з тотожньо¨	S	(D; id)					@D
кою межею @D. D = D @D ¹ многовидом з кра¹м. Повний атлас скла-
!0 2	карти		та карт в точках края . Якби в око-
!0 2				T
карту ' в цiй точцi можна було б				T
ëi U точки x @D дiлянка края: @D				U була б прямою, то вiдповiдну
			одержати як композицiю паралельного
перенесення та поворота окола U. ßêùî				!(!0)	!	(!0)
перенесення та поворота окола U. ßêùî				n x	,	x	одиничнi вектори

131

! ! !

X = P i + Q j ìà¹ìî:

зовнiшньо¨ нормалi та дотичний вектор до криво¨ @D, то ¨х перехiд в па-

! !

ðó f i ; j g можливий саме тодi, коли край @D орi¹нтований так, щоб при

! !

обходi @D область D залишалась злiва (найкоротший поворот вiд n äî

проти годинниково¨ стрiлки). В разi непрямо¨ дiлянки @D U ïîòðiáíà ùå

нелiнiйна деформацiя, яка сутт¹во не вплива¹ на ситуацiю. Тому орi¹нтацiя @D, що узгоджена з орi¹нтацi¹ю R2 (òîæ i D) вiдповiда¹ класичному обходу

ìåæi @D.

Далi для векторного поля

!	!	@x	@y		^	Z	!	I
1	1	@Q	@P				1
!X = P dx + Qdy; d!X =				dx dy;			!X =	P dx + Qdy

i з (14) одержимо формулу Грiна:

D	@Q @P		P dx + Qdy:
		@D
		@D
Z	@x @y dxdy = I
2. (Формула Гаусса-Остроградського )
V обмежена область в R3, @V
V обмежена область в R3, @V		гладка поверхня. V = V			@V
многовид з кра¹м. Як i в прикладi 1, повний атлас склада¹ться з					T
				тотожньо¨

карти (V; id) та карт в точках края @V . Так само, як i ранiше, припусти-

площини. Далi для спрощення припустимо, що @V

U ¹

ìî, ùî â îêîëi U точки

дiлянка края S

U ¹ дiлянка

x = x(y; z) i òiëî V

знаходиться злiва вiд цi¹¨

графiком функцi¨

дiлянки. Карту

â òî÷öi

також можна одержати як композицiю паралельного перенесення та по-

вороту в просторi. При цьому @V

U перейде в площину yOz, à V

в пiвпростiр

x <

. Узгодженостi орi¹нтацiй @V

U òà

3 (àáî V )

вiдповiда¹ таке положення вектора нормалi ! =

(!0)T

n ; ! !

n x

до @V , при якому

òðiéêà

j ; k

¹ правою, а це саме вектор зовнiшньо¨ (по вiдношенню

äî V ) нормалi.

Тим самим, орi¹нтацiя @V , що узгоджена з орi¹нтацi¹ю

в точностi

вiдповiда¹ класичному вибору зовнiшнього боку межi @V òiëà V . Ç (12) äëÿ

132

X ìà¹ìî:		2					X ; n d . Аналогiчно ця формула
X ìà¹ìî:		!		X	=		X ; n d . Аналогiчно ця формула
векторного поля !				X	=		! !
	S			!		S
	S					S				розбива¹мо на дiлянки
доводиться для всi¹¨ поверхнi				@V		(наприклад,			@V	розбива¹мо на дiлянки
	R			@V		RR			@V
графiки гладких функцiй).
		2					X dx		dy dz. Тим самим з (14)
Ранiше було доведено: d!			X		= div		X dx		dy dz. Тим самим з (14)
			X		= div		!	^	^
			!					^	^

одержимо формулу Гаусса-Остроградського (вiдслiдкуйте!). 3. (Класична формула Стокса)

Нехай S поверхня в R3 з гладкою межею @S i для спрощення вважа-

¹ìî, ùî S графiк функцi¨ z = z(x; y). Тодi проекцiя ': S 3 (x; y; z) 7! 7!(x; y) 2 '(S) = D R2 ¹ картою на S. Îði¹íòàöiÿ S породжу¹ться

картою	'	та вiдповiда¹ базису	~ ~	â	R	2 (класичний еквiвалент: верхнiй
	'		fi; jg		R

бiк поверхнi S).

Êðàé @S повинен бути зорi¹нтовано так, щоб при проектуваннi @S ! ! @D îði¹íòàöiÿ @D була узгоджена з орi¹нтацi¹ю D (àáî R2) (âiäñëiä- куйте!!). А це власне й вiдповiда¹ класичному узгодженню орi¹нтацiй S òà

@S.

							1	2
Тепер для векторного поля X íà S за формулою (10): d!X = !rot X, à ç
(14) ìà¹ìî:		X = Z		rot X = ZZ	rot	!
Z	1	X = Z	2	rot X = ZZ	rot	!
@S	!	S	!	S
	!		!			X; n d :

8. Застосування диференцiальних форм .

Розглянемо в просторi R3 крiм декартових прямокутних координат, кри-

волiнiйнi координати fu1; u2; u3g. Функцi¨ u1(x; y; z); u2(x; y; z); u3(x; y; z) òà

оберненi: x(u1; u2; u3); : : : визначенi, неперервно диференцiйовнi. Припусти-
мо, що градi¹нти функцiй	! 1	! 2	! 3	(x; y; z) â
	grad u	(x; y; z), grad u	(x; y; z), grad u	(x; y; z) â

êîæíié òî÷öi (x; y; z) утворюють правий ортогональний базис простору R3.

Такi криволiнiйнi координати називаються триортогональними .

Основнi приклади - це цилiндрична та сферична системи координат в

133

R3.

Цилiндрична система координат: x = cos '; y = sin '; z = z. Äëÿ íå¨

u1 = , u2 = ', u3 = z.

Сферична система координат: x = r cos # cos '; y = r cos # sin '; z =

= r sin #; u1 = r, u2 = ', u3 = #.
Увага:		6 # 6		#	кут мiж вектором	~ ~	~	та площиною
	2	6 # 6	2 ;	#		x i + y j + z k

xOy (òî÷íiøå: tg # = p z

x2+y2 ).

Вправа 13. Перевiрте, шо цилiндричнi та сферичнi координати ¹ триортогональними.

Нехай

! !

e ( x ) =

grad u

( x )

(k = 1; 2; 3):

утворюють правий

Â êîæíié òî÷öi !

grad u

( x )

!1 (!) !2 (!)

(!)

òà

динат надалi цi базиси

x ; e

x вектори

ортонормований базис. У випадках цилiндрично¨ та сферично¨ систем коор-

! (!)

познача¹мо вiдповiдно:

! ! !

(!)

e ; e'; ez

er ; e'; e#

Нехай

вiдповiдний дуальний базис зовнiшнiх 1-

ôîðì (â

x ; !2

x ; !3

òî÷öi

x ). Òîæ !i(e ) = i.

! k

j =

grad u

! !

grad u

du (e ) =

grad u ; e

e ; e

Тому диференцiальнi 1-форми

колiнеарнi

диференцiальним

1-формам

утворюють

базис, за яким можна розкладати в цiй точцi

;

); â êîæíié òî÷öi

зовнiшнi форми

= 1 2 3

duk(!)

довiльну диференцiальну 1-

форму:

+ a3 du3:

! = a1 du1 + a2 du2

i, аналогiчно, 2-форму:

^ du2:

! = 1 du2 ^ du3 + 2 du3 ^ du1 + 3 du1

134

Задача 1.

Нехай !

3; â êîæíié òî÷öi

становлять

координати !(

X векторне поле в

)

(

)

(

)

= X1( )!1 ( ) +

( ) +

2( )!2

3( )!3 ( )

x , тобто X

базисi

. Обчислити координати 1-форми !

в базисi

du1; du2; du3

i координати 2-форми !

du2

du3

; du3

X в базисi

^ du1; du1 ^ du2g.

Розв'язання задачi

За означенням 1-форми

X :

(

k ) =

= a du

+ a du

(ek ) =

= Xk (k = 1; 2; 3). Якщо покласти: !

(

) =

= a

) = a

C , äå C

grad u

( x ) . Çâiäñè ìà¹ìî: a

(k = 1

; 2; 3)!.

) = (!

Аналогiчно:

; e

) =

; з iншого боку, якщо по-

X ; e

; e

класти:

X =

3 +

1 +

!X (!2

!3 ) =

, òî

e ; e

C C , à òîìó

. Òàê ñàìî:

;

C2C3

C1C3

1du2(!2 )

(!3 ) =

1 2 3

C1C2

Вправа 14. Доведiть, що для цилiндрично¨ системи координат функцi¨

Ck мають вид:

C1 = d (e ) = 1; C2 = d'(e') = 1; C3 = dz(ez ) = 1;

а для сферично¨ системи координат:

= d#(e#) = 1:

C1 = dr(er ) = 1; C2

= d'(e') =

; C

r cos #

Тому в цилiндричних координатах:

!!X = X d + X' d' + Xz dz;

!!X = X d' ^ dz + X' dz ^ d + Xz d ^ d';

а в сферичних координатах:

!!X

=Xr dr + r cos #X' d' + rX# d#;

=r2 cos #Xr d' ^ d# + rX' d# ^ dr + r cos #X# dr ^ d':

135

Задача 2. Знайти координати векторного поля grad f в цилiндричних

та сферичних координатах (тобто в базисах ! ! ! ! ! ! ). e ; e'; ez er ; e'; e#

Розв'язання задачi

= df =

du1

du2

du3; скориста¹-

grad f

!1 !2 !3

@uk Ck; k = 1; 2; 3

ìîñü òèì, ùî du = C !k. Тому координати grad f в базисi

e ; e ; e

öå

Òîæ

цилiндричних координатах:

1 @f

z ;

grad f

в сферичних:

' +

1 @f

grad f

r cos # @'

r @#

Задача 3. Обчислити дивергенцiю векторного поля в цилiндричних та сферичних координатах.

Розв'язання задачi В задачi 1 одержано формулу:

du2

du3 +

du3

du1 +

du1

du2:

C2C3

C1C3

C1C2

Àëå

!, äå ! форма об'¹му : ! e

; e

d!X

= div !

(!1

!3 ) = 1

Òîìó

2 ! ! ! ! d!!X (e1 ; e2 ; e3 ) = div X ;

2 ! ! 1

d!!X = div X !1 ^ !2 ^ !3 = div X C1C2C3 du1 ^ du2 ^ du3:

Çâiäñè:

div ! =

1 2 3

@u1

C2C3

@u2

C1C3

@u3

C1C2

C C C

(обмiркуйте!).

136

Тож в цилiндричних координатах:

div

' + @z

@ X

@'X'

+ @z Xz;

в сферичних:

div

= r2 cos #

cos

+ @'

' + @#

cos

(перевiрте!).

Задача 4. Знайти вираз для оператора Лапласа в цилiндричних та сфе-

ричних координатах.

Розв'язання задачi Оператор Лапласа 4 @2f @2f @2f !

f = @x2 +@y2 +@z2 = div(grad f).

Скориста¹мось результатами задач 2 та 3. В цилiндричних координатах:

4f =

1 @f

@2f

;

@z2

в сферичних:

4f = r2 cos #	@r r2 cos #		@r	+	@'	cos # @'		+	@# cos #		@#
1	@		@f		@		1 @f		@		@f

(обов'язково перевiрте!).		rot	!
		rot	!
	Задача 5. Знайти координати векторного поля		X в цилiндричних та

сферичних координатах.
	Розв'язання задачi

d!!X

X e

;

! =

1 !1 +

!2 +

3 !3 ;

@u2 C3

rot !

@u3

= ! X

; àëå d!X

du2

du3+

du1 ^ du2:

@u3 C1

@u1 C3 du3 ^ du1 +

@u1 C2

@u2

@ X1

@ X3

@ X2

@ X1

137

Звiдси ма¹мо для цилiндричних координат:

X e

rot !

+ @ X'

@'X !z ;

для сферичних координат:

! 1 rot X = r2 cos #

1 @

+ r @#Xr

cos

' !r +

r cos #

rX#

r cos

	@'			!
#X	@	X		e
'			r		#

(обов'язково перевiрте!).

138

Ðîçäië 5. Iнтеграл Лебега.

1. Алгебри та -алгебри множин. Заряд. Мiра.

Нехай X довiльна множина; A сiм'я пiдмножин в X. ßê i â x1:1

ñiì'þ A будемо називати алгеброю (пiдмножин), якщо вона непорожня та виконуються двi умови: а) (A 2 A) ) (Ac = X nA 2 A) òà á) (A; B 2 A) )

2	S	n 2	4 2					1 2	T m 2
(A	B 2 A). За твердженням 1.1: ?; X 2 A; (A; B 2							A) ) (A	B 2
	A; A	B	A; A	B		A). Êðiì òîãî, â ðàçi, ÿêùî		A ; A ; : : : ; A
2 A, ¨х об'¹днання A1				SA2	S: : : SAm та перетин A1		TA2	T: : : TAm також

належать A.

Означення 1. Алгебра пiдмножин A множини X назива¹ться -алгеброю

( сiгма алгебра ), якщо, додатково, викону¹ться умова:

A1; A2; A3; : : : 2

¨õ

, тобто для кожного злiченного набору множин з

2 A

) n=1 An 2 A

об'¹днання також належить .

Îñêiëüêè n=1 An =

n=1 Anc

, то перетин злiченно¨ кiлькостi множин з

A також

належить .

Означення 1´. Непорожня сiм'я пiдмножин

X назива¹ться

-алгеб-

ðîþ, ÿêùî: a)

2òà á)

A).

(A 2 A) ) (Ac 2

A1; A2; A3; : : : 2 A )

2 A

Вправа 1. Доведiть еквiвалентнiсть означень 1 та 1 ´.

Означення 2. Нехай A алгебра пiдмножин в X; ! : A ! R функцiя

íà A. ! назива¹ться зарядом, якщо виконуються наступнi умови:

1) A; B 2 A; A \ B = ?) ) !(A _ B) = !(A) + !(B) (адитивнiсть);

2) A1; A2; : : : 2 A; A1 A2

: : : ; n=1 An = ? ) !(An) ! 0

(неперервнiсть):

139

2 A ) !(A) > 0

(íåâiä'¹ìíiñòü).

Заряд ! назива¹ться мiрою, якщо додатково викону¹ться умова 3)

. Крiм того домовимось про такi позначення:

Зауваження 1.

Умову 2) означення 2 прийнято записувати коротше:

A , ùî

A2 : : : An = A

An A

) !(An) ! 0

означа¹:

;

, а також:

, ùî

означа¹: A1 A2

мiра на алгебрi A â X

: : :;

n=1 An = A.

Вправа 2.

Нехай

заряд, а

. Доведiть

наступнi властивостi.

( ) 6 ( )

A; BW

A;W W

A2 : : : Am) = !(A1)+: : :+;!(Am)

(òóò

A1; A2; : : : ; Am

);

2) !(A1

2 A

(?) = 0

)

3) !

;

4)!(A) + !(B) = !(A B) + !(A B).

Означення 3. Функцiя ! : A ! R на алгебрi пiдмножин A назива¹ться

-адитивною, якщо викону¹ться умова:

A1; A2; : : : 2 A; A = n=1 An 2 A; k 6= j ) Ak \ Aj = ? )
	[
)	1
)	!(A) = n=1 !(An) :
	X

Твердження 1. Нехай A алгебра пiдмножин в X; функцiя ! : A ! R

¹ зарядом тодi й лише тодi, коли ! -адитивна функцiя на алгебрi A. Доведення. Нехай ! : A ! R заряд; A1; A2; : : : 2 A; множини Ak

				1		n
попарно не перетинаються та				1	An = A 2 A. Множини Bn = A n	n
попарно не перетинаються та					An = A 2 A. Множини Bn = A n	Ak
				S1		kS
1				n=1		=1
1		B2		nT n
належать A; B1		B2	: : : òà Bn = ?. Дiйсно, якби iснувала б точка
	T			=1
	T				kS
x 2 Bn, òî x 2 A, àëå x 2=					Ak для кожного n. Суперечнiсть. З
	n=1				=1

неперервностi заряду ! виходить, що !(Bn) ! 0, àëå !(Bn) = !(A)

140

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1814 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.20164.05 Mб7Manual_DIR-300_A1_rev_1_0_RUS.pdf
#
17.03.2016522.24 Кб93manuel.doc
#
07.09.2019411.65 Кб1marketing_1-65.doc
#
17.03.20161.5 Mб28MASTER DIPLOMA_Kireeva Anastasia (1) (1).docx
#
17.03.20161.57 Mб17MASTER DIPLOMA_Kireeva Anastasia.docx
#
12.05.2015860.79 Кб23matan_bogdanskyj.pdf
#
12.05.20151.15 Mб13Matematyka_vidpovidi_.pdf
#
12.05.2015999.23 Кб12Matemat_vidpovidi_ds.pdf
#
03.08.2019364.7 Кб1materialka.docx
#
01.05.2019169.47 Кб7Materialoznavstvo-ukr.doc
#
12.05.2015597.61 Кб9materialoznavstvofinal.pdf