matan_bogdanskyj
.pdf
зволя¹ться диференцiальнi форми однакового степеня). Крiм того для ди-
ференцiально¨ 1-форми |
1 |
|
|
|
! та векторного поля X íà M визначена функцiя |
||||
1 |
1 |
|
|
. При цьому диферен- |
|
X(x) |
|
||
!(X), значення яко¨ в точцi x äîðiâíþ¹ !(x) |
|
|||
цiальнi 1-форми та спiвпадають тодi й |
тiльки тодi, коли для кожного |
|||
|
|
|
||
векторного поля X íà M спiвпадають функцi¨ (X) òà (X) (обмiркуйте!).
k
Природне узагальнення: визначенi функцi¨ !(X1; : : : ; Xk) для диферен-
k
цiально¨ k-форми ! та векторних полiв X1; : : : ; Xk i ñïiâïàäiííÿ äâîõ k- форм та ¹ наслiдком спiвпадiння функцiй: (X1; : : : ; Xk) = (X1; : : : ; Xk) для всiх можливих k-наборiв векторних полiв.
m
При цьому коефiцi¹нти ai1:::im в формулi (3) ¹ в точностi !(ei1 ; ei2 ; : : : ; eim), äå ek стацiонарне векторне поле на M, що тотожньо дорiвню¹ ek (îáìið-
куйте!). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вправа 7. |
Доведiть, що для диференцiально¨ 1-форми df та векторного |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||
ïîëÿ X ма¹ мiсце спiввiдношення df(X) = Xf. |
|
|
||||||||
|
Приклад. Нехай M = R3. Â x3 було запроваджено iзоморфiзми : R3 3 |
|||||||||
~ |
1 |
|
òà : R |
3 |
~ |
2 |
|
|
|
|
3 |
7!~ 2 1 |
|
3 |
7!~ 2 2. |
|
|
|
|
||
|
Поточково цi iзоморфiзми можуть бути перенесенi на випадок вектор- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
R |
3. : X |
1 |
1 |
них полiв та диференцiальних форм в |
7! |
X, äå !X(Y ) = (X; Y ) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
||
(поточковий скалярниий добуток); : X 7!!X, äå !X(Y; Z) = (X; Y; Z) |
||||||||||
(поточковий мiшаний добуток). |
|
|
|
|
||||||
|
Вправа 8. |
1) Доведiть, що вiдображення та встановлюють iзомор- |
||||||||
фiзм мiж лiнiйним простором векторних полiв та просторами 1-форм та 2-форм вiдповiдно.
1 |
|
|
|
|
|
|
2) Доведiть рiвнiсть: !grad f = df. |
|
~ |
~ |
~ |
âiäïîâiäíi |
|
3) Доведiть, що для векторного поля |
|
|||||
|
X = P i + Q j + R k |
|
|
|||
диференцiальнi форми приймають вид: |
1 |
|
|
|
2 |
|
!X |
= P dx + Qdy + Rdz; !X |
= |
||||
= P dy ^ dz + Qdz ^ dx + Rdx ^ dy.
Нехай тепер M довiльний диференцiйовний многовид розмiрностi n. Â êîæíié òî÷öi q 2 M фiксу¹мо зовнiшню 1-форму !(q) на просторi TqM.
121
Одержали ! поле зовнiшньо¨ 1-форми. Це власне i ¹ диференцiальна 1-форма на M, якщо додатково накласти на не¨ квалiфiковну умову гладкостi.
З цi¹ю метою нам доведеться перейти до представлення форми ! â êàðòi
(U; '). Скориста¹мось iснуванням вза¹мно однозначно¨ вiдповiдностi мiж
векторними полями на U i векторними полями на '(U) Rn: X U $ X'
(X' представлення поля X U â êàðòi '). За означенням, представлення !' 1-форми ! â êàðòi ' це така 1-форма на '(U), що для кожного векторного
ïîëÿ X (визначеного на U M) òà ïðè âñiõ q 2 U:
!'(X') '(q) =
|
|
|
!(X) |
(q): |
(4) |
Вправа 9. Доведiть, що форма ! ма¹ i при тому ¹дине представлення в
êîæíié êàðòi.
n
При цьому !' = P ak dxk; функцi¨ ak називаються координатами ôîð-
k=1
ìè ! â êàðòi '. Саме гладкiсть цих функцiй (ak( ) класу Ck, 1 6 k 6 p 1) в кожнiй картi вихiдного атласу i ¹ додатковою умовою гладкостi, яку слiд накласти на диференцiальну 1-форму !.
Коректнiсть умови гладкостi форми ! поляга¹ в наступному. Якщо (U; ') òà (V; ) двi карти i !' òà ! представлення форми !, ùî âè-
|
T |
|
T |
|
|
|
значенi вiдповiдно на '(U |
V ) òà |
(U V ), то клас гладкостi форми !' |
||||
спiвпада¹ з класом гладкостi форми ! . |
|
|
|
|||
|
n |
n |
|
|
|
|
Нехай !' |
= ak dxk; ! |
= |
bk dyk координатний розклад 1-ôîðì |
|||
!' òà ! . ßê |
P |
P |
|
X |
|
' |
|
k=1 |
k=1 |
|
|
|
|
|
виходить з (1), представлення векторного поля |
|
в картах |
|
||
та пов'язанi мiж собою спiввiдношенням:
X(q) = ( ' 1)0 '(q) X' '(q) = F ' '(q) X' '(q) : (5)
Домовимось позначати '(q) = x; (q) = y. Тодi з (4) та (5) виходить:
!'(X')(x) = ! (X )(y) = ! (y) F '(x)X'(x) : |
(6) |
122
n
Покладемо: X' ek, !'(ek) = ak. F '(x)ek = P @yj (x)ej (перевiрте!), а
@xk
j=1
тому з (6) виходить:
X
n @yj
ak(x) = @xk (x)bj
j=1
|
|
|
y(x) |
: |
(7) |
|
|
j |
Оскiльки вiдображення x |
y класу Cp, то функцi¨ @yk класу Cp 1 |
|
|
7! |
@x |
i з (7) виходить збереження гладкостi коефiцi¹нтiв представлення 1-форми (класу Ck, 1 6 k 6 p 1) при замiнi карти.
Диференцiальнi форми вищого степеня класу Ck (1 6 k 6 p 1) запроваджуються за тим же самим сценарi¹м. В кожнiй точцi q 2 M ôiêñó¹ìî çîâíiøíþ m-форму !(q) на просторi TqM. Представлення форми ! â êàðòi ' визначено рiвнiстю:
!'(X1;'; X2;'; : : : ; Xm;') '(q) = !(X1; : : : ; Xm)(q);
для будь-яких m-наборiв векторних полiв на M. I нарештi вимага¹мо, щоб усi представлення !' були класу Ck (êîåôiöi¹íòè
класу Ck).
Вправа 10. Перевiрте коректнiсть означення гладкостi диференцiально¨ m-форми на многовидi M.
5. Зовнiшн¹ диференцiювання диференцiальних форм .
n n); m
Нехай спочатку M = R (àáî M область в R ! диференцiальна
m-форма на M. Тодi за формулою (3)
m |
<iX2 m |
:::im dxi1 |
^ : : : ^ dxim: |
i1 |
|||
! = |
ai1 |
||
|
<:::<i |
|
|
Означення 7. Зовнiшньою похiдною (зовнiшнiм диференцiалом) äèôå-
m
ренцiально¨ m-форми !, представлено¨ за формулою (3), назива¹мо (m+1)-
123
форму, що визначена формулою:
m |
<iX2 m |
|
^ dxi1 ^ : : : ^ dxim: |
(8) |
i1 |
:::im |
|||
d! = |
dai1 |
<:::<i
Приклади. 1. Нехай M = R2; ! = P dx + Qdy. Òîäi dw = dP ^ dx +
+dQ^dy = (@P@x dx+ @P@y dy)^dx+(@Q@x dx+ @Q@y dy)^dy = (@Q@x @P@y )dx^dy (òóò
використано результат вправи 5: |
|
; |
dx^ |
dx |
|
dy |
^ |
dy |
). |
|||||||
|
|
|
|
~ ~ |
|
dy ^dx = dx^dy |
1 |
= |
|
|
= 0 |
|||||
2. |
M = R |
3 |
; |
~ |
векторне поле на |
M |
. |
!X |
= P dx+Qdy+ |
|||||||
|
|
|
X = P i+Q j |
+R k |
|
|
||||||||||
1 ^ ^ ^ @P @P @P ^
+Rdz; d!X = dP dx+dQ dy+dR dz = ( @x dx+ @y dy+ @z dz) dx+: : : = = (@R@y @Q@z )dy ^ dz + (@P@z @R@x )dz ^ dx + (@Q@x @P@y )dx ^ dy. Посилаючись на результат вправи 8, приходимо до рiвностi:
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
(9) |
|
|
|
|
|
|
d!X |
= !rot X: |
|||
3. |
M = R |
3; |
~ |
~ |
~; |
2 |
= P dy ^ dz + Qdz ^ dx + Rdx ^ dy |
; |
|
2 |
|
X = P i |
+ Q j |
+ R k !X |
|
||||
d!X = dP ^dy^dz+dQ^dz^dx+dR^dx^dy = (@P@x + @Q@y + @R@z )dx^dy^dz = = div X dx ^ dy ^ dz.
Вправа 11. Перевiрте наступнi властивностi зовнiшньо¨ похiдно¨: а) d(!1 + !2) = d!1 + d!2;
á)
â)
Ïiäêàç. Перевiримо властивiсть в).
d2! = d ;i1<:::<im |
|
@a :::i |
|
|
|
|
|
^ : : : |
^ dxim = |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
@xi1 m dx ^ dxi1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; ;iX1 |
@2ai :::i |
|
|
|
|
|
|
|
i1 |
|
|
|
|
im |
|
|
|
|
|
|||||
m |
|
1 m |
|
^ dx |
^ dx |
^ : : : ^ dx |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
= |
|
@x @x |
dx |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|||||||||||||
<:::<i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< ;Xi1 |
m |
@2ai :::i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i1 |
|
im |
|
||||
|
1 m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= |
|
|
@x @x |
(dx |
|
^ dx |
|
+ dx |
|
^ dx |
) ^ dx |
|
^ : : : ^ dx |
|
= 0; |
|||||||||
<:::<i
îñêiëüêè dx ^ dx = dx ^ dx .
124
Загальний випадок. M диференцiйовний многовид. ! диференцiальна m-форма на M. Диференцiальна (m + 1)-форма d! буду¹ться за наступним локальним сценарi¹м. Для кожно¨ карти (U; ') íà '(U) Rn форма ! iндуку¹ m-форму !' (представлення форми ! â êàðòi '). ¨ зовнiшнiй диференцiал d!' ¹ (m+1)-форма в '(U), що ¹ представленням деяко¨ (m + 1)-форми на M.
Означення 8. Зовнiшньою похiдною m-форми ! íà M назива¹ться така (m + 1)-форма d!, äëÿ ÿêî¨ â êîæíié êàðòi ' ì๠ìiñöå ðiâíiñòü: (d!)' = = d(!').
Це означення потребу¹ перевiрки на коректнiсть: iснування та ¹динiсть форми d!. Але цю перевiрку залишимо як (не зовсiм просту) задачу для студентiв.
Так само без доведення пропону¹ться iнший пiдхiд визначення d! в ситуацi¨, коли многовид M ¹ поверхня в просторi RN . Диференцiальну форму ! можна продовжити (неоднозначно) з M íà RN
кульвовий окiл фiксовано¨ точки x 2 M. Для продовжено¨ форми (позначи- мо ¨¨ через ) визначена форма d у вiдповiдностi до означення 7. А потiм обмежити форму d íà M. В околi точки x 2 M форму d! одержимо за
правилом: d! = d M .
Коректнiсть цього пiдходу: iснування (локального) продовження форми !; незалежнiсть d! вiд вибору цього продовження та еквiвалентнiсть цього пiдходу вихiдному означенню 8 в разi вкладення M RN
потребу¹ ретельного дослiдження, яке залиша¹ться за межами посiбника. Вправа 12. Перевiрте властивостi зовнiшнього добутку, сформульованi
у вправi 11, для диференцiальних форм на довiльних многовидах.
6. Iнтегрування диференцiальних форм .
Нехай, спочатку, U обмежена область в Rn; ! диференцiальна n- форма на U. Тодi в розкладi (3) n-форми ! буде лише один доданок (m =
125
= n):
!(x) = a(x)dx1 ^ dx2 ^ : : : ^ dxn:
Означення 9. Iнтеграл диференцiально¨ форми ! по множинi U öå
n-кратний iнтеграл вiд функцi¨ a( ):
ZZ
! = a(x) dx1dx2 : : : dxn:
UU
Нехай тепер M диференцiйовний многовид розмiрностi n; ! n-
форма на M òà (U; ') карта на M. Покладемо за означенням:
ZZ
! = !':
U'(U)
Для коректностi цього означення необхiдно перевiрити, що в разi, якщо U спiльна область визначення двох карт ' òà , ì๠ìiñöå ðiâíiñòü:
ZZ
!' = |
! : |
(10) |
'(U) |
(U) |
|
Розглянемо для спрощення випадок |
n = 2 |
i нехай |
x |
|
a |
x |
|
dx1 |
^ |
||||||||||||||||||||
^ dx |
|
! (!) = |
|
(!) |
|
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!'(!) = |
|
(!) |
|
|||||||||
|
|
|
dy2. При цьому a |
(!) = |
|
|
'(!)(!1 ; |
!2 ) |
(!) = |
||||||||||||||||||||
|
2; |
|
y |
!2 ) |
b |
y |
dy1 |
|
|
|
x |
|
|
! |
|
x e |
e |
|
; b |
|
y |
|
|||||||
= ! (!)(!1 ; |
, äå |
f!1 |
!2 g |
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
y |
e |
e |
e |
; e |
|
канонiчний базис в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Представлення в картах ' òà |
|
векторного поля X ïîâ'ÿçàíi ñïiââiäíî- |
|||||||||||||||||||||||||||
шенням: |
|
|
|
|
|
|
|
|
) = |
|
' |
(q) ! |
' |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
! |
( |
F |
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
q |
|
|
X |
|
|
' q |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||
àáî
! !
X ( y ) =
@y1
@x1 @y2
@x1
@y1 !
@x2 @y2
@x2
!'(!) ( |
! |
= ( |
); |
! |
= |
( |
)) |
: |
X x |
òóò y |
q |
|
x |
|
' q |
|
! ! ! !
Крiм того за означенням: !'(X '; Y ') = ! (X ; Y ).
126
Çâiäñè ìà¹ìî:
a(!) = '(!)(!1 |
!2 ) = |
(!) |
|
|
'(!)!1 |
|
|
'(!)!2 = |
x e |
|
||||||||
! |
y |
|
@y |
|
x e |
|
@y |
x e ; @y |
|
|
x e |
|
|
|||||
x ! |
x |
e ; e ! y F |
x e ; F |
x e |
|
|
|
|
||||||||||
= (!) |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
@y2 |
|
= |
|||
|
(!)!1 + |
|
(!)!2 |
|
(!)!1 + |
|
(!)!2 |
|||||||||||
@x1 |
@x1 |
@x2 |
@x2 |
|||||||||||||||
|
|
|
= det |
F |
x |
b |
y |
|
(обмiркуйте!): |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
'(!) |
|
(!) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Z |
Òîìó |
Z |
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
' |
|
|
|
|
|
' = |
(!) |
|
= |
|
( |
|
|
)! |
|
det ( |
)0(!) |
dx1dx2 |
|
|||||
|
! |
|
a |
x dx1dx2 |
|
|
b |
|
|
' 1 |
x |
|
|
1 |
x |
: |
|||
'(U) |
|
'(U) |
|
|
|
|
'(U) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Але за теоремою про замiну змiнних (теорема 6 роздiлу 2):
Z Z Z
! 1 2
! = b( y )dy dy =
b |
( ' |
)! det |
|
1 |
x |
|
|
|
( ' |
)0(!) |
|
dx1dx2 |
: |
|
1 |
x |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(U) |
(U) |
'(U) |
Тож для коректностi (рiвнiсть (10)) достатньо, щоб атлас многовида M мав наступну особливiсть: для будь-яких двох карт (U; '), (V; ), для
det ( |
T' 1)6=0 |
'?(q) > 0. |
q 2 |
U |
T |
ÿêèõ U |
V |
, повинна виконуватись умова: для кожного |
|
V : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Якщо на многовидi фiксовано саме такий атлас, цей многовид назива¹ться орi¹нтованим . Якщо ж многовид допуска¹ побудову такого атласа, вiн назива¹ться орi¹нтовним .
З курсу лiнiйно¨ алгебри вiдоме поняття орi¹нтацi¨ скiнченновимiрного дiйсного лiнiйного простору: два базиси однаково орi¹нтованi, якщо матриця переходу вiд одного з них до iншого ма¹ додатний визначник. Якщо многовид орi¹нтований та зв'язний, то лiнiйнi iзоморфiзми F '(x) простору Rn для всiх x, ', не змiнюють фiксований клас еквiвалентних базисiв. Орi¹нтацiя в модельному просторi Rn вважа¹ться визначеною вихiдним канонiчним базисом. При переходi до протилежно¨ орi¹нтацi¨ iнтеграли вiд n-форм слiд помножити на ( 1).
127
Наступна проблема: побудова iнтеграла n-форми на всьому орi¹нтова -
ному многовидi. Один з методiв поляга¹ в тому, що многовид M ðîçìið-
íîñòi n розклада¹ться в диз'юнктне об'¹днання пiдмножин, кожна з яких
належить областi визначення лише однi¹¨ карти: M = |
U |
i для форми !, |
|||||
яка ззовнi об'¹днання скiченного набору Uk (U1 |
U2 |
W: : :k |
Um) äîðiâíþ¹ |
||||
нулю, поклада¹мо: |
n |
|
потребу¹ ретельного аналiзу |
||||
! = |
!. Öåé ïiäõiä |
||||||
W |
W W |
||||||
M |
k=1Uk |
iншому пiдходу, що грунту¹ться на так |
|||||
коректностi i слiд вiддатиR |
перевагуR |
||||||
|
P |
|
|
|
|
|
|
званому розбиттi одиницi (але це також виходить за межi нашого курсу). Приклади. 1. Нехай крива в R3 i : (a; b) ! ¨¨ параметризацiя.
Òîæ 1 це (¹дина) карта на i при цьому на R природна орi¹нтацiя
визначена базисом |
f1g |
. Нехай |
|
|
~ |
~ |
~ векторне поле на . |
||
1 |
|
|
X = P i + Q j1 + R k |
|
|||||
Òîäi !X = P dx + Qdy + Rdz. Пiдраху¹мо |
!X. За означенням, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
1 |
= |
1 |
|
|
(11) |
|
|
|
|
!X |
Z (!X) 1 |
; |
||||
|
|
|
|
|
|
(a;b) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(!X) 1 1-форма на (a; b) i äîðiâíþ¹ a(t)dt. |
|
|
|||||||
При цьому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a(t) = (!X) 1 (t)(1) = !X (t) 0(t) = X( (t)); 0(t) = |
|
||||||||
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
= P x(t); y(t); z(t) x0(t) + Q x(t); y(t); z(t) y0(t) + R x(t); y(t); z(t) z0(t): |
|||||||||
Тож формула (11) перетворю¹ться на таку: |
|
|
|||||||
Z |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
P dx + Qdy + Rdz = Z |
|
P x(t); y(t); z(t) x0(t) + : : : |
dt; |
||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
яка ¹ формулою обчислення криволiнiйного iнтеграла 2го роду. Аналогiчну формулу одержимо в просторi Rn при довiльному натураль-
íîìó n. Зокрема при n = 2.
128
2. Нехай S поверхня в
поля одинично¨ нормалi ~n (фiксовано бiк поверхнi). Нехай
R
векторне поле на S. Доведемо, що
S
~ |
~ ~ |
~ |
X = P i+Qj |
+Rk |
|
ðîäó: |
Z |
ZZ |
2
! ~ = (X; ~n) d : (12)
X
SS
Для спрощення розглянемо верхнiй бiк поверхнi графiка функцi¨ z = = z(x; y). дина карта ': (x; y; z) ! (x; y) (проекцiя на площину xOy). Ïðè цьому в модельному просторi R2 орi¹нтацiя визначена канонiчним базисом
~ ~ |
. Òîäi |
!'(x; y) = a(x; y)dx |
^ dy |
. Знайдемо коефiцi¹нт |
a(x; y) |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
fi; jg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
a(x; y) = !'(x; y)(~i;~j) = ! x; y; z(x; y) (' 1)0(x; y)~i; (' 1)0(x; y)~j = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
@z |
|
|
|
|
@z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
= ! x; y; z(x; y) i + |
|
|
|
~ ~ |
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
@x(x; y)k; j + @y(x; y)k = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
0Q1 |
; 0 |
|
1 |
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
= (враху¹мо, що ! = !X~ ) = |
0 |
; |
1 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
@z |
|
|
|
|
|
@z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B C B@xC B@y C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ A @ |
|
A @ A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@z |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
= R x; y; z(x; y) P x; y; z(x; y) |
|
|
|
(x; y) Q : : : |
|
|
(: : :): |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
@x |
|
@y |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Òîæ ìà¹ìî: |
Z |
|
|
= ZZ P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
@z |
Q |
@z |
+ R dx dy: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
!X~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
@x |
@y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
'(S) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Àëå |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ZZ (X; ~n) d = ZZ (P cos + Q cos + R cos )s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx dy; |
||||||||||||||||||||||||||||||||
1 + |
|
|
@x |
|
|
+ |
|
|
@y |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@z |
|
2 |
|
|
@z |
|
2 |
|
||||||
S |
|
|
|
'(S) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
@z |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
@z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||
cos = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; cos = p |
|
|
|
; cos = p |
|
: |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@x |
@y |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
q |
1 + |
@x@z |
|
2 |
+ |
@y@z |
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
: : : |
: : : |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Звiдси й одержимо рiвнiсть (12) (обмiркувати!). 129
7. Загальна формула Стокса та ¨¨ застосування .
В цьому параграфi нам знадобиться узагальнення многовида многовид з кра¹м. Типовий приклад верхня пiвсфера fx2 + y2 + z2 = 1; z > 0g
з кра¹м екватором: fx2 + y2 = 1; z = 0g. Точки края не мають карти в сенсi означення 1.
Для точок q, що належать краю K многовида M пiд картою (V; ') â
': V ! Rn, при якому '(V |
K) ¹ область в2Rn T1 |
= f~x j x1 = 0g, à |
||||||
цiй точцi ми розумi¹мо пiдмножину V M (q |
|
V |
K) та вiдображення |
|||||
'(V K) |
~x x |
1 |
< 0 . |
|
T |
q |
|
|
n |
f j |
|
g |
Власне саме тi точки |
|
, якi вимушенi мати такi |
||
|
|
|
|
|
||||
жалюгiднi карти i утворюють край K многовида M, а обмеження цих карт на край дають звичайний атлас на K (при цьому dim K = dim M 1).
Само собою, що ми повиннi потурбуватись про гладкiсть вiдображення склеювання ' 1 для карт обох типiв. Жодних проблем. Якщо мова йде
про гладкiсть нелiнiйного вiдображення на невiдкритiй множинi, вважа¹мо, що iсну¹ гладке продовження цього вiдображення на вiдкритий окiл множини. Нескладно перевiрити, що при цьому вiдображення склеювання карт iндукованого атласа на K успадковують гладкiсть того ж самого класу.
Далi припустимо, що вихiдний многовид M орi¹нтовано. Доведемо, що
îði¹íòàöiÿ M iндуку¹ орi¹нтацiю края K (тож край орi¹нтовного многовида
¹ також орi¹нтовним). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Нехай |
|
q |
2 K |
i |
( |
U |
|
, |
(V; |
|
) |
двi карти в точцi |
q |
. |
det F |
x |
|
> |
0 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
; ') |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'(!0) |
|
|
|
|||||||||||||
x |
= |
' q |
). Àëå |
|
|
' 1 |
|
|
x |
|
|
1 |
= 0g |
'( |
U |
V |
|
y |
|
|
1 |
|
= |
|||||||||||||
(òóò !0 |
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
: f! j x |
|
|
|
|
) ! f! j y |
|
1 |
||||||||||||||||||
= 0g |
( |
U |
V ) |
, à òîìó ïîõiäíà |
|
F |
|
|
x |
|
функцi¨ склеювання |
|
' |
|
â |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'(!) |
R |
|
T T |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x |
вiдображу¹ |
|
n |
1 |
|
x |
|
x |
1 |
= 0 |
â |
n. Çâiäñè |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
òî÷öi !0 |
|
|
|
T |
|
|
|
|
R |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f! j |
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
@y1 |
|
0 |
|
: : : |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@y |
1 |
@y2 |
|
: : : |
@yn 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
@x |
|
@x |
|
|
|
@x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B: : : : : : : : : : : : : : : :C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F '(!0) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B@yn |
@yn |
|
: : : |
@yn C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
@x |
1 |
|
2 |
|
@x |
n C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
@x |
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
130