fizika / 1 / mehanika

координатные оси в системе K′. Умножая (26.1) на соответствующие коорди-

натные ортыr и складывая равенства, получаем: ux ir + uy rj + uz k = (u′x ir + u′y j + uz′ k ) +υ i . Учитывая (1.4), это выраже-

ние запишем в векторном виде

Итак, скорость тела, одновременно участвующего в двух движениях, равна векторнойсуммескоростейэтихдвижений.

Таким образом, ускорение вразныхинерциальных системах отсчётавклассической механике является неизменной величиной. Величины, которые не меняются при переходеотоднойсистемыотсчётакдругой, называются инвариантными.

3. Длина отрезка в различных инерциальных системах отсчёта. Длиной от-

резка называют разность координат его конца и начала, измеренных одновременно. Пусть стержень расположен параллельно оси абцисс и покоится в системе отсчёта K′, которая движется относительно системы K со скоростью υ, причём оси абцисс

l = x2 − x1, где x1 и x2 координаты начала и конца стержня в системе отсчёта K, относительно которой он (вместе с системой отсчёта K′) движется со скоростью υ. По определению длины отрезка с использованием (25.1) запишем, что

т.е. в различных инерциальных системах отсчёта длина отрезка одинакова. Однако при скоростях движения, сравнимых со скоростью света, длина отрезка

не остаётся постоянной в различных инерциальных системах отсчёта (см. §28).

70

§27. ПОСТУЛАТЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА. РЕЛЯТИВИСТСКИЙ ЗАКОН СЛОЖЕНИЯ СКОРОСТЕЙ

1. Преобразования Галилея и следствия из него настолько очевидны, то кажется, что они должны быть справедливыми во всех случаях. Однако в конце 19 века был обнаружен один факт, противоречащий классическому закону сложения скоростей, следовательно, и преобразованиям Галилея это постоянство скорости света в вакууме в различных инерциальных системах отсчёта. Например, скорость света при движении Земли по её орбите навстречу Солнцу и от него получалась одинаковой и равной c ≈ 3 108 м/с, а не c ± υ , где υ — орбитальная скорость Земли, как это должно следовать из классического закона сложения скоростей. В связи с этим возникла необходимость в отказе от привычных представлений о пространстве и времени, используемых в классической механике, посколькуонипротиворечилиопытномуфактупостоянстваскоростисвета.

Релятивистская механика, созданная Эйнштейном, основывается на двух постулатах:

а) Принцип относительности. Все инерциальные системы отсчёта равноправны, во всех таких системах не только механические, но и все другие явления природы протекают одинаково.

б) Принцип постоянства скорости света. Во всех инерциальных системах отсчёта скорость света в вакууме одинакова и равна с.

Правильность этих постулатов и всей релятивистской механики следует из того, что следствия, получаемые из теории Эйнштейна, находят надёжное экспериментальное подтверждение. Первый постулат требует существования преобразований, аналогичных преобразованиям Галилея, которые бы оставляли неизменными уравнения физики (механики и электродинамики) при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой.

2. Сформулируем общие требования, которым должны удовлетворять искомые преобразования:

а) Всилу принципаотносительности иравноправияинерциальныхсистемотсчёта, формулы перехода от одной системы отсчёта к другой должны иметь одинаковый вид, отличаясьтолькознакомпередскоростьюихотносительногодвижения.

б) Искомые преобразования должны переходить в преобразования Галилея при скоростях движения, много меньших скорости света, т.е. при υ « c .

в) Из этих преобразований должен следовать такой закон сложения скоростей, чтобы из него вытекал предельный характер скорости света.

г) Преобразования должны быть линейными. Линейность уравнений обусловлена тем, что пространство одно и изотропно. Исходя из этих требований, запишем преобразования в виде линейных функций:

71

где b1, ... , b4 постоянные, которые следует определить. Координаты y и z не рассматриваем, так как систему координат можно всегда выбрать так, чтобы координатная ось х′системы К′ совпадала с осью х системы К. Самым неожиданным в этих уравнениях является то, что в преобразованиях участвует время. Оно уже не является неизменной величиной (t = t′), как это имеет место в преобразованиях Галилея. Оказалось, что, если не затрагивать время, то нельзя записать преобразования, следствием которых было бы постоянство скорости в разных системах3. Реляотсчётаивистский. закон сложения скоростей. Пусть в системе отсчёта K′

материальная точка движется вдоль оси абцисс со скоростью

Найдём постоянные величины, введённые в (27.1), для чего рассмотрим ряд частных случаев.

а) Предположим, что материальная точка покоится относительно системы отсчёта K, т.е. u = 0. Это возможно, если u′ = −υ . Используя эти выражения, из (27.4) получаем: −b1υ + b2 = 0 или

б) Допустим, что материальная точка покоится в системе отсчёта K′, т.е.

u′= 0. Тогда u = υ. Учитывая формулу (27.5), из (27.4) находим: υ = b2 или b4

в) Предположим теперь, что вместо материальной точки в системе отсчёта K′ распространяется свет. На основании второго постулата релятивистской механики о постоянстве скорости света имеем

72

Подставляя выражение (27.7) в (27.4) с учётом (27.5) и (27.6), получаем, что

c = b1c + b1υ . Откуда b3c + b1

Используя полученные значения постоянных, из соотношения (27.4) находим релятивистский закон сложения скоростей:

Этот закон удовлетворяет требованию предельного характера скорости света. Действительно, если u′= c, то из (27.9) следует u = c при любых значениях υ.

4. Преобразования Лоренца. Для вывода искомых преобразований подставим значения найденных постоянных в формулу (27.1). Тогда

Согласно принципу относительности, можно считать, что система K′покоится, асистема K движется. Вэтомслучае скорость этой системы будет равна −υ. Поэтому преобразованияприпереходеизсистемыотсчётаK всистемуK′принимаютвид:

системы отсчёта K′в систему K имеют вид:

73

Вид преобразований из K → K′ даётся формулами (27.13). Соотношения (27.12)

и(27.13) носят название преобразований Лоренца.

Вклассической механике понятия пространства и времени являются независимыми. Из преобразований же Лоренца видна тесная связь между пространством и временем, поскольку время зависит от пространственных координат. Таким образом, в релятивистской механике рассматривается не трёхмерное пространство, к которому добавляется понятие времени, а четырёхмерное пространство с неразрывно связанными временными и пространственными координатами. Легко убедиться, что преобразования Лоренца полностью удовлетворяют требованиям, указанным в пункте 2 этого параграфа.

§28. НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ИЗ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНЦА

Из преобразований Лоренца вытекает ряд следствий, необычных с точки зрения классической механики.

1. Предельный характер скорости света. В классической механике считается,

что тела могут двигаться с любыми сколь угодно большими скоростями. Из пре-

Под событием понимают любое происходящее явление, например, выстрел из пистолета, удар молнии и т.д. Согласно преобразованиям Лоренца (27.12), в сис-

Если события в системе K′происходят в одной точке ( x1′ = x2′ ) и являются одновременными (t1′ = t2′ ), то, как видно из написанных формул, x1 = x2 и t1 = t2, т.е. эти события будут одновременными и пространственно совпадающими и в системе K. Если же события в системе K′ пространственно разобщены ( x1′ ≠ x2′ ) и одновременны (t1′ = t2′ ), то в системе K они также будут пространственно разобщёнными (x1 ≠ x2), но неодновременными (t1 ≠ t2 ). Итак, понятие одновре-

менности имеет относительный смысл.

3. Длина тел. Рассмотрим стержень, расположенный вдоль оси абцисс и покоящийся в системе отсчёта K. Длина стержня l в этой системе отсчёта равна

74

l = x2 − x1, где x1 и x2 координаты начала и конца стержня, не изменяющиеся со временем, так как он неподвижен. Предположим теперь, что он находится в системе отсчёта K′, которая движется относительно системы K со скоростью υ. При этом оси абсцисс систем отсчёта совпадают. Выясним, какова будет длина l′ этого стержня с точки зрения наблюдателя, находящегося в системе отсчёта К. Для нахождения дли-

т.е. длина стержня, измеренная в системе отсчёта, относительно которой он движется, меньше длины, измеренной в системе, в которой он покоится. Однако экспериментально этого сокращения длины тела обнаружить в принципе невозможно, поскольку линейка, находящаяся вместе с ним, тоже укорачивается. Необходимо отметить, что в направлении осей ординат и аппликат размеры стержня в данном случае не меняются.

4. Длительность событий. Пусть в какой-либо точке с координатой x′в систе-

но, длительность события, происходящего в некоторой точке, имеет наименьшее значение в той инерциальной системе отсчёта, в которой эта точка неподвижна, т.е. собственное время тела наименьшее. Полученный результат можно трактовать иначе: часы системы K′идут медленнее часов системы К, если первая система движется относительно второй со скоростью υ. Это один из самых неожиданных результатов теории относительности — время не неизменно, как это

75

имеет место в классической механике, а зависит от системы отсчёта. Из этого следует, например, что время в летящем космическом корабле движется медленнее, чем на Земле. Это подтверждается при измерении времени по часам, находящимся на корабле-спутнике, движущемся вокруг Земли, и на Земле.

Релятивистский эффект замедления времени получил опытное подтверждение при изучении нестабильных (быстро распадающихся) элементарных частиц

— π-мезонов. Среднее время жизни (собственное время) покоящихся π-мезонов t′≈ 2 10−8 с. Такие частицы образуются и верхних слоях атмосферы на высоте l ≈ 30 км под действием космических лучей и достигают Земли. Если предположить, что частицы движутся со скоростями, близкими к скорости света в вакууме, то на прохождение атмосферы им необходим промежуток времени t = l/c ≈ 10−4 с, хотя собственное время жизни 2 10−8 с. Этот парадокс удаётся объяснить с помощью эффекта замедления времени, если время пролёта π- мезона земной наблюдатель будет рассчитывать по формуле

t = t′/ 1 −υ2 / c2 . (см. (28.2)). Можно это сформулировать и иначе: часы, связанные с π-мезоном, идут медленнее, чем часы на Земле.

Итак, из рассмотренного примера следует вывод, что время и длина тел зависят от скорости движения инерциальных систем отсчёта, т.е. они являются относительными величинами, в то время как в классической механике они абсолютны, т.е. одинаковые в разных системах отсчёта.

§29. ЭЛЕМЕНТЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ДИНАМИКИ

1. Основной закон релятивистской динамики. Если уравнение какого-либо закона природы остаётся неизменным при переходе от одной системы отсчёта к другой, то оно называется инвариантным относительно этого перехода. В классической механике инвариантным по отношению к преобразованиям Галилея,

тельнодругдругаспостояннойскоростью. Здесьm иm′, a и a′ массаиускорение этоготелавданных инерциальных системах, F и F ′ силы, действующиенатело. Поскольку вклассической механикемассателасчитается постоянной(m′= m ) и, как следует из преобразований Галилея (см. §26, п.2), ускорение в различных системах

отсчёта одинаково (a′ = a ), то и F ′ = F . Следовательно, указанные уравнения идентичны, т.е. инвариантны. Однако эти уравнения перестают быть инвариантными при переходеотоднойинерциальнойсистемыотсчётакдругой, когдаскоростидвижения становятся соизмеримыми со скоростью света, т.е. они не инвариантны по отношениюкпреобразованиямЛоренца, описывающимтакойпереход.

В релятивистской механике доказывается, что уравнение динамики, инвариантное к преобразованиям Лоренца, имеет вид:

76

где m0 масса покоя тела, одинаковая во всех инерциальных системах отсчёта, υ скорость тела, c скорость света в вакууме, F сила, действующая на

тело. Ранее (см. (7.3)) было получено, что Fr = ddpt , где p импульс тела.

Сравнивая это выражение с (29.1), приходим к выводу, что релятивистский импульс тела равен

1 −υ2 / c2

Определив массу m как коэффициент пропорциональности между импульсом и скоростью тела, получим:

Как видно из выражения (29.3), масса тела зависит от его скорости, т.е. с увеличением скорости возрастает инертность тела его способность противодействовать изменению скорости. Из этого следует, что при длительном действии силы скорость тела не может возрастать беспредельно, в то время как в классической механике она может даже превысить скорость света в вакууме.

Зависимость массы от скорости получила экспериментальное подтверждение. В ускорителях заряженных частиц их удаётся разогнать до скоростей, близких к скорости света. При этом масса возрастает согласно (29.3). Этот факт и учитывается при конструировании ускорителей. В заключение отметим, что второй закон Ньютона инвариантен и в случае движения тел со скоростями, близкими

к скорости света, если его записать в виде Fr = ddtp и учесть, что масса изменяет-

ся со скоростью в соответствии с формулой (29.3).

2. Закон взаимосвязи массы и энергии. Выясним сначала связь между кине-

тической энергией и массой тела, движущегося со скоростью, много меньшей скорости света (υ « c). Это позволяет применять разложение в ряд выражения (29.3)

этой формулы видно, что при υ/c « 1 ряд быстро сходится и можно ограничиться двумя членами, пренебрегая остальными в силу их малости. Тогда имеем

77

где Wk = m0υ2/ 2 выражение кинетической энергии тела, принятое в классической механике. Сучётомэтого, умножаяобечастиравенства(29.4) наc2, получаем, что

Эйнштейн назвал полной энергией тела. Из (29.6) следует, что покоящееся тело (Wk = 0) также обладает энергией

называемой энергией покоя.

Уравнение (29.7) является фундаментальным законом природы, показывающим взаимосвязь массы и энергии. Физически это соответствует предположению, что тело, находясь в состоянии покоя, обладает энергией.

Закон взаимосвязи массы и энергии получил экспериментальное подтверждение. Оказалось, что масса любого ядра атома (кроме водорода) M не равна сумме масс составляющих его частиц (нейтронов и протонов) ∑mi . Разность

i

∑mi − M = m называется дефектом массы, а величина m c2, в соответствии с

i

законом Эйнштейна, даёт энергию, которая определяет энергию связи частиц в ядре. При разрушении атомного ядра происходит выделение энергии, которую называют атомной. Именно эта энергия и используется при взрыве атомной бомбы и в работе атомных электростанций.

Выражение (29.5) справедливо и для тел, движущихся с большими скоростями, т.е. и в релятивистской динамике. Тогда, учитывая формулы (29.6) и (29.7), имеем

Очевидно, что формула (29.9) при υ « c переходит в классическое выражение Wk = m0υ2/ 2 = mυ2/ 2, поскольку масса тела практически неизменна.

§30. ГРАНИЦЫ ПРИМЕНИМОСТИ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

При скоростях движения, значительно меньших скорости света (υ « c), 1 −υ2 / c2 ≈ 1. Из этого следует, что преобразования Лоренца (27.12) перехо-

78

важный результат: релятивистская механика включает в себя классическую механику как предельный, как частный случай механических явлений со скоростями, малыми по сравнению со скоростью света. Каковы же должны быть скорости движения тел, чтобы с большой точностью пользоваться классической механикой Галилея Ньютона? Предположим, что тело движется со скоростью υ = 10 км/с. Это скорость движения, сравнимая со скоростью космического корабля, запущенного к какой-либо планете Солнечной системы. Обычно тела на Земле движутся значительно медленнее. В данном случае υ2/ c2 ≈ 10−9.

Следовательно, величину 1 −υ2 / c2 можно отличить от единицы, если имеется измерительный прибор, позволяющий измерять скорость с точностью до девяти значащих цифр. Однако таких приборов не существует. Поэтому при анализе явлений, происходящих с малыми скоростями (υ « c), можно с успехом использовать формулы классической механики. Релятивистские эффекты (изменение длины отрезка, промежутка времени, массы тел а и т.д.) в полной мере проявляются в миребольшихскоростей, например, придвиженииэлементарныхчастиц.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1.Во всех инерциальных системах отсчёта механические процессы протекают одинаково. Это положение носит название принципа относительности

Галилея.

2.Преобразования Галилея связывают между собой координаты тела в различных инерциальных системах отсчёта. В случае, когда оси абсцисс этих систем

совпадают, они имеют вид: при переходе из системы отсчёта K в систему K′: x′= x − υt, y′= y, z′= z, t′= t. При переходе из системы K′в систему K: x = x′+ υt′, y = y′, z = z′, t = t′, где υ скорость их относительного движения. Время во всех инерциальных системах отсчёта течёт одинаково.

3.Следствия из преобразований Галилея:

1)Классический закон сложения скоростей: u = u ′ +υ, где ur и u′ — ско-

рость тела в системах отсчёта К и К′ при движении системы К′ относительно К со скоростью υx =dxdt,

2)Ускорения в различных инерциальных системах отсчёта одинаковы.

3)Длины тела в разных системах отсчёта одинаковы.

4. Специальная теория относительности или релятивистская теория изучает движение тел со скоростями, сравнимыми со скоростью света. В основе этой теории лежат два постулата:

1) Принцип относительности. Все инерциальные системы отсчёта равноправны, в этих системах все явления природы протекают одинаково.

79