fizika / 1 / mehanika

Вращение с постоянной угловой скоростью называется равномерным. Такое вращение характеризуется периодом обращения Т, т.е. временем, за которое тело делает один оборот (поворачивается на угол 2π радиан). Тогда, записывая (1.11) в скалярном виде, получаем: ω = ϕ/t = 2π/Т. Откуда Т = 2π/ω. Число оборотов ν в единицувремениравноν = 1/Т= ω/2π. Следовательно, ω = 2πν.

Если вращение неравномерное, то выбирают элементарный промежуток времени dt, в течение которого изменением угловой скорости можно пренебречь, За это время радиус-вектор, соединяющий её с центром окружности, поворачивается на элементарный угол dϕ, который заменяем вектором угла поворота dϕ. Тогда, согласно (1.11), угловая скорость равна

т.е. угловая скорость равна углу поворота, совершённого за единицу времени, или производной угла поворота по времени (см. §1, п. 6). Из выражения (1.12) видно,

что ω направлено так же, как и dϕ, поскольку dt положительный скаляр (см. приложение 1, п. 3). Следовательно, направление угловой скорости можно также находить по правилу правого винта. Она направлена вдоль оси вращения (рис. 1.3).

Угловая скорость может изменяться со временем. Быстроту её изменения характеризуют угловым ускорением. Пусть за элементарный промежуток времени dt угловая скорость изменилась на величину dω. При этом быстроту изменения угловой скоростиможносчитатьпостоянной. Тогдаугловоеускорение ε равно

т.е. угловое ускорение — изменение угловой скорости за единицу времени при усло-

вии, что быстрота изменения угловой скорости за это время остаётся постоянной. С

точки зрения математического анализа угловоеускорение— производнаяугловойско-

рости по времени. Из (1.13) следует, что направления ε и dω. совпадают. В случае неподвижной (закреплённой) оси вращения вектор ε при ускоренном движении совпадаетсвекторомугловойскорости, апризамедленном— противоположен.

В системе единиц СИ единицей угловой скорости является 1 рад/с, а углового ускорения — 1 рад/с2.

10. Уравнение движения. Основной задачей кинематики является определение положения материальной точки в любой момент времени в выбранной системе отсчёта. Иначе говоря, необходимо найти зависимость её координат от времени:

или зависимость радиус-вектора от времени

11

Выражение (1.15) называется уравнением движения.

Обычно задача состоит в том, что при известном ускорении рассчитывают траекторию движения. Типичным примером является расчёт траектории ракеты, выводящей спутник в определённую точку пространства для стыковки с космической станцией. В этом случае зависимость ускорения от времени находится методами динамики. Расчёты траектории движения ракеты, как правило, сложны и находятся в численном виде с помощью мощных ЭВМ. Однако в ряде простых случаев, которые нередко встречаются на практике, расчёт траектории движения ре-

ки M меняется и расстояние l. Поэтому для нахождения положения материальной точки на траектории надо знать зависимость

§2. ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ ПО ОКРУЖНОСТИ. СВЯЗЬ УГЛОВЫХ И ЛИНЕЙНЫХ ВЕЛИЧИН

ϕружности. Его положение определяем углом ϕ, который

τсоставляет радиус-вектор R с осью Ох (рис. 2.1). Выра-r

ной к окружности в сторону вращения. Выразим его через проекции на коорди-

12

Из (2.3) следует, что вектор скорости направлен по касательной к траектории (окружности) и её модуль υ равен

2. Найдём ускорение ar, которым обладает тело. Используя выражения (1.7) и

так как производная от произведения равна сумме производных от каждого сомно-

к траектории движения. Поэтому его называют касательным ускорением. Он

13

лен перпендикулярно к скорости, и поэтому характеризует быстроту изменения направления скорости. Он называется нормальным ускорением. Выражение (2.7) запишем в ином виде:

— модуль касательного и нормального ускорения.

Соотношения (2.8) — (2.10) применимы не только при движении материальной точки по окружности, но и при криволинейном движении, поскольку любую кривую можно рассматривать как совокупность элементарных дуг окружностей различного радиуса.

Итак, в общем случае при неравномерном криволинейном движении ускоре-

3. Выясним, какова связь между линейными и угловыми величинами при движении тела по окружности. В этом случае под линейными величинами понимаются путь, скорость, касательное и нормальное ускорения, а под угловымиугол поворота, угловая скорость и угловое ускорение. Связь между модулями линейной и угловой скоростей материальной точки даётся соотношением

(2.4). Продифференцируем его по времени ddtυ = dtd (ωR) = R ddtω. Но, согласно

движения разных точек, выраженные в угловых величинах, одинаковы для всех точек тела, в то время как при пользовании линейными величинамиониразличны.

14

§3. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Рассмотрим некоторые случаи движения точечного тела, используя основные понятия кинематики.

1. Равнопеременное криволинейное движение. Криволинейное движение,

при котором модуль касательного ускорения остаётся постоянным называется равнопеременным, т.е. aτ = const. Найдём закон этого движения, если известно, что в начальный момент времени (t = 0) скорость тела равна υ0 и начальная координата l0. Из формулы касательного ускорения (2.9) следует dυ = aτ dt. Интегрируя это выражение, получаем: υ = ∫aτ dt = aτ∫dt = aτt + C1, где t время

движения тела, C1 постоянная интегрирования. Значение C1 находится из начальных условий, подставляя t = 0: υ0 = aτ 0 + C1 = C1. Следовательно,

Из формулы модуля скорости (см. (1.6)) находим dl = υ dt. Интегрируя данное

В случае прямолинейного движения радиус кривизны траектории R = ∞. Поэтому нормальное ускорение an = υ2/R = 0 и модуль касательного ускорения равен модулю ускорения a материальной точки (см. (2.11)). Для прямолинейного равноускоренного движения формулы скорости и координаты точечного тела получаются из уравнений (3.1) и (3.2) заменой aτ на a и l на x:

При этом предполагается, что материальная точка движется вдоль координатной оси x, направленнойпотраекториидвижения, иначальнаякоординататочкиравнаx0.

В случае равномерного движения, когда модуль скорости не меняется (υ = const), уравнение скорости и координаты тела находим из формул (3.1) (3.4), полагая aτ = 0 или a = 0:

2. Равнопеременное движение материальной точки по окружности. Пусть точка движется по окружности вокруг неподвижной оси вращения. Тогда формулы (1.12) и (1.13) запишем в скалярном виде, поскольку векторы угловой

15

В случае равнопеременного движения по окружности модуль углового ускорения ε = const, поскольку aτ = const (см. (2.13)). Найдём уравнение этого движения, если в начальный момент времени (t = 0) заданы начальный угол ϕ0 и модуль начальной угловой скорости ω0. Из формулы (3.7) следует: dω = ε dt. Интегрируя это выражение и учитывая начальное условие (при t = 0 ω = ω0), находим:

где t время движения материальной точки. Из (3.6) получаем dϕ = ωdt. Интегрируя это дифференциальное уравнение с учётом выражения (3.8) и начальных

Если точка движется с постоянной угловой скоростью (ω = const), то угловое

§4. КИНЕМАТИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА

До сих пор изучалось движение тел, которые можно было рассматривать как материальные точки. Рассмотрим теперь движение протяжённых тел. При этом будем считать тела абсолютно твёрдыми (твёрдыми). Под твёрдым телом в механике понимается тело, взаимное расположение частей которого в условиях данной задачисчитаетсянеизменным.

Существует два вида движения твёрдого тела: поступательное и вращательное. Поступательным называется движение, при котором прямая, соединяющая любые две точки тела, движется в пространстве параллельно самой себе. При вращательном движении все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения. Любое сложное движение можно представить как результат сложения поступательного и вращательного движений. Пусть, например, тонкий стержень переходит из положения 1 в

пательное движение. При этом движении все точки тела проходят одинаковые пути. Поэтому они имеют одинаковые

скорости и ускорения. Отсюда следует, что для описания такого движения тела достаточно выбрать на нём произвольную точку и использовать формулы кинематики материальной точки. Обычно выбирают его центр масс (см. §9). При вращательном движении разные точки твёрдого тела проходят различные пути и, следовательно, обладают разными скоростями и ускорениями. Вследствие этого для характеристики такого движения надо выбирать такие величины, которые будут одинаковыми в данный момент времени для всех точек тела. Ими являются угол поворота, угловая скорость и угловое ускорение.

16

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1.Механическое движение относительно, о нём можно говорить, лишь указав систему отсчёта, которая включает в себя тело отсчёта, связанную с ним систему координат и прибор для измерения времени.

2.Для характеристики механического движения вводят понятия скорости и ускорения. Скорость — это перемещение, совершённое за единицу времени, или произ-

водная радиус-вектора по времени: υr = ddtr . Ускорение — изменение скорости за

единицу времени, или производная от скорости по времени: ar = dυr. Скорость ха- dt

рактеризуетбыстротудвижения, аускорение— быстротуизмененияскорости.

3. Ускорение движения ar равно векторной сумме нормального arn и касательного arτ ускорений: ar = arτ + arn . Нормальное ускорение характеризует быстроту изменения скорости только по направлению, а касательное — только по модулю. Модули

4. Для характеристики вращательного движения твёрдого тела вводятся понятия угловой скорости ωи углового ускорения ε. Угловая скорость равна углу поворота, совершённого за единицу времени, или производной вектора угла

поворота ϕr по времени t: ωr = ddtϕ. Угловое ускорение равно изменению угловой скорости за единицу времени, или производной угловой скорости по времени:

εr = dωr . Угловая скорость характеризует быстроту вращения тела, а угловое ус- dt

корение — быстроту изменения угловой скорости. Направление угловой скорости находится по правилу правого винта, а направление углового ускорения совпадает с направлением угловой скорости при ускоренном движении и противоположно ей при замедленном вращении, когда ось неподвижна.

5. Если известны начальная координата и начальная скорость тела, а также

нии твёрдого тела относительно неподвижной оси угловая скорость ω и угол

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Что такое материальная точка, система отсчёта, траектория движения, перемещение, путь, скорость, ускорение, вектор угла поворота, угловая скорость и угловое ускорение?

17

2.Что характеризует скорость, ускорение, касательное и нормальное ускорения, угловая скорость и угловое ускорение?

3.Какова связь между линейными и угловыми величинами?

C2 = 9,8 м/с и C3 = 4,9 м/с2. Найти модуль скорости и ускорения в момент времени t = 5 с, а также уравнение траектории движения.

1.2.Зависимость пройденного телом пути l от времени t даётся уравнением: l = At – Bt2 + Ct3, где A = 10 м/с, B = 15 м/с2, C = 5 м/с3. Найти: 1) зависимость модуля скорости и ускорения от времени, 2) путь, скорость и ускорение тела через 3 с после начала движения.

1.3.Найтивремяt отначаладвижениявпредыдущейзадаче, когдаускорениебудетравно90 м/с2.

1.4.Камень брошен горизонтально со скоростью υox = 20 м/с. Найти нормальное и касательное ускорения камня через 2 с после начала движения. Сопротивление воздуха не учитывать.

1.5.Сбашнивысотойy0 = 30 мброшенкаменьсоскоростьюυ0 = 20 м/сподугломα= 30° кгоризонту. Какое время камень будет находиться в движении? На каком расстоянии от основания башни онупадётназемлю?

1.6.Колесо радиусом 0,1 м вращается так, что зависимость угла поворота ϕ радиуса колеса

от времени t даётся уравнением: ϕ = A + Bt + Ct3, где B = 3 рад/с, C = 2 рад/с2. Найти угловую скорость, угловое ускорение, линейную скорость, нормальное и касательное ускорения через 4 с после начала вращения для точек, лежащих на ободе колеса.

1.7.Определить угол, составляемый вектором ускорения с линейной скоростью, в момент времени t = 4 с в предыдущей задаче.

1.8.Маховик вращается с угловой скоростью 180 об/мин. С некоторого момента времени он начал тормозиться с угловым ускорением 3 рад/с2. Через какое время он остановится? Какое число оборотов он при этом совершит?

ГЛАВА 2. ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Из главы 1 видно, что кинематика описывает движение и не рассматривает причины его вызывающие. Однако именно этот вопрос важен с практической точки зрения. Изучением взаимосвязи движения и сил, действующих в механической системе, и занимается динамика. Основу динамики составляют три закона Ньютона, являющиеся обобщением большого числа опытных данных. Прежде, чем перейти к их рассмотрению, введём понятия силы и массы тела.

§5. СИЛА. МАССА

1. В повседневной жизни нам постоянно приходится сталкиваться с различными взаимодействиями. Например, с притяжением тел к Земле, отталкиванием и притяжением магнитов и токов, текущих по проводам, отклонением электронных пучков в электронно-лучевых трубках при действии на них электрических и магнитных полей и т.д. Для характеристики взаимодействия тел и вводится понятие силы. В механике сила, действующая на тело, является мерой его взаимодействия с окружающими телами. Действие силы проявляется в деформации тела или в

18

приобретении им ускорения. Сила — это вектор. Поэтому она характеризуется модулем, направлением и точкой приложения.

2. Как следует из опыта, тела обладают способностью противодействовать изменению скорости, которой они обладают, т.е. они противодействуют приобретению ускорения. Это свойство тел было названо инертностью. Для характеристики инертных свойств тел используют физическую величину, называемую массой. Чем больше масса тела, тем оно инертнее. Кроме того, вследствие гравитационных сил все тела притягиваются друг к другу. Модуль этих сил зависит от массы тел (см. (7.6)). Таким образом, масса характеризует и гравитационные свойства тел. Чем она больше, тем больше сила их гравитационного притяжения. Итак, масса — это мера инертности тел при поступательном движении и мера их гравитационного взаимодействия.

Всистеме единиц СИ масса измеряется в килограммах (кг).

§6. ПЕРВЫЙ ЗАКОН НЬЮТОНА. ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ

ОТСЧЁТА

За первый закон динамики поступательного движения Ньютон принял закон инерции, открытый Галилеем: тело сохраняет состояние покоя или равно-

мерного прямолинейного движения, если на него не действуют силы или их действие скомпенсировано.

Первый закон Ньютона выполняется не в любой системе отсчёта. Так, например, шар, лежащий на полу движущегося вагона, приходит в движение относительно вагона при резком его торможении, хотя равнодействующая сила, действующая на шар, равна нулю. Системы отсчёта, в которых применим первый закон Ньютона, называются инерциальными. Строго инерциальных систем отсчёта не существует. Однако опытным путём устанавливается, какие системы отсчёта можно считать инерциальными. Так, система отсчёта, связанная с Солнцем, с большой степенью точности является инерциальной. При решении многих задач инерциальной считают систему отсчёта, связанную с Землёй. Любая система отсчёта, которая движется прямолинейно и равномерно относительно инерциальной системы, в свою очередь, является инерциальной.

§7. ВТОРОЙ И ТРЕТИЙ ЗАКОНЫ НЬЮТОНА

1. Пусть на одно и то же тело поочерёдно действуют разные силы. При этом оказывается, что ускорения, приобретаемые телом, будут различными. Однако отношение модуля F силы, приложенной к телу, к модулю ускорения a, которым обладает тело, является величиной постоянной для всех сил. Поэтому это отношение принимают за характеристику инертных свойств тела, т.е. оно равно массе тела. Обозначив её через m, имеем:

19

Сила и ускорение являются векторами. Поэтому выражение (7.1) перепишем в векторном виде:

Соотношение (7.2) носит название второго закона Ньютона: в инерциальных

системах отсчёта ускорение, приобретаемое телом, пропорционально силе, действующей на него, обратно пропорционально массе тела и направлено в сторону действия силы.

Если на тело действует несколько сил, то в формуле (7.2) под Fr надо пони-

мать равнодействующую этих сил, т.е. F = ∑Fi , где Fi — отдельные силы,

i

приложенные к телу.

Можно дать и иную формулировку второго закона Ньютона. Из уравнения

(7.2) с учётом ar = ddtυ (см. (1.7)) находим, что Fr = m ddtυ . При скоростях движе-

ния, много меньших скорости света, масса тел является практически постоян-

ной величиной. Поэтому её вносим под знак производной: Fr = d (dtmυr) . Вектор-

ную величину pr = mυr называют импульсом (количеством движения) тела.

Учитывая это, получаем:

т.е. равнодействующая сил, действующих на тело, равна производной импульса тела по времени или изменению импульса за единицу времени. Это выражение является более общей формулировкой второго закона Ньютона, поскольку оно применимо и при движении тел со скоростями, сравнимыми со скоростью света.

Запишем уравнение (7.1) в виде F = ma. Отсюда вводится единица силы ньютон

(Н). 1 Н— сила, сообщающаятелумассой1 кгускорение1 м/с2, т.е. 1 Н= 1 кг1 м/с2.

3. Согласно (1.10), ar = d 2rr. Тогда формула (7.2) запишется в виде dt 2

Это выражение называется дифференциальным уравнением rпоступательного движения тела, поскольку оно содержит вторую производную r по времени.

4. Законы Ньютона являются одними из важнейших законов физики. Второй закон Ньютона устанавливает взаимосвязь между силами, действующими в системе, и ускорением. Понять это можно, используя дифференциальное уравнение

20