fizika / 1 / mehanika

Согласно закону всемирного тяготения, все тела в природе притягиваются друг к другу. Это взаимодействие тел было названо гравитационным. Гравитационные силы пропорциональны произведению масс взаимодействующих тел (см. (7.6)). Это позволяет считать, что масса тел ответственна за создание гравитационного поля.

1. Напряжённость гравитационного поля. В физике для характеристики полей различного вида — электрического, гравитационного — вводится физическая величина, называемая напряжённостью. Изучение гравитационного поля производится с помощью пробного тела, т.е. точечного тела, при внесении которого исследуемое поле не искажается. Пусть в одну и ту же точку поля вносятся различные пробные тела. Тогда на них действуют различные силы.

Однако отношение силы F , действующей на тело, к его массе m является по-

стоянным независимо от величины массы. Поэтому это отношение mF прини-

мают за характеристику указанного поля в данной точке. Её называют напряжённостью гравитационного поля и обозначают через g . Тогда

Из (17.1) вытекает, что напряжённость поля равна силе, действующей со стороны поля на тело единичной массы, и совпадает с направлением этой силы. Напряжён-

ность является силовой характеристикой поля. Из сопоставления (17.1) со вторым закономНьютонаприходимквыводу, чтовкаждойточкегравитационногополявекторнапряжённостисовпадаетсускорениемсвободногопадения.

В системе единиц СИ единицей напряжённости является 1 м/с2, которая, как следует из (17.1), равна 1 м/с2 = 1 Н/ 1 кг, т.е. 1 м/с2 — напряжённость в такой

точкегравитационногополя, вкоторойнателомассойв1 кгдействуетсила1 Н.

2. Потенциал гравитационного поля. Наряду с напряжённостью, используется и другая характеристика гравитационного поля, называемая потенциалом. Если в одну и ту же точку гравитационного поля вносить различные пробные тела, то они обладают и различными потенциальными энергиями относительно одного и того же нулевого уровня. Однако отношения этих энергий Wp к соответствующим массам m являются постоянными независимо от величины массы тел. Поэтому его принимают за характеристику поля в данной точке, которую называют потенциалом. Обозначив потенциал через χ, получим:

Таким образом, потенциалом гравитационного поля называют потенциальную энергию тела единичной массы. Потенциал является энергетической характеристикой поля. В системе СИ он измеряется в джоуль/килограмм (Дж/кг). Из (17.2) следует, что 1 Дж/кг = 1 Дж/1 кг, т.е. 1 Дж/кг это потенциал в такой точке гравитационного поля, в которой тело массой 1 кг обладает потенциальной энергией 1 Дж.

50

3. Гравитационное поле материальной точки и шара. Пусть имеется мате-

риальная точка массой M. Найдём напряжённость и потенциал гравитационного поля, создаваемого этим телом в произвольной точке, отстоящей от него на расстоянии r. Мысленно поместим в эту точку пробное тело массой m. Тогда, соглас-

но закону всемирного тяготения, на него действует сила F = −γ Mm . Подставляя r2

это выражение в формулу напряжённости (17.1), получаем в скалярном виде:

Найдём теперь потенциал гравитационного поля в той же точке. Выберем нулевой уровень потенциальной энергии на бесконечно большом расстоянии от тела, создающего поле. Тогда, согласно (16.8), потенциальная энергия Wp дан-

ного тела в гравитационном поле материальной точки равна Wp = − γMmr . Под-

ставляя это соотношение в формулу потенциала (17.2), находим, что

Формулы (17.3) и (17.4) применимы и для расчёта гравитационного поля, создаваемого вокруг шара. Однако расстояние r надо в этом случае отсчитывать от центра шара, а не от его поверхности.

Таким образом, в данном разделе приведены характеристики гравитационного поля, которые с рассмотренным ранее законом всемирного тяготения дают основу для уяснения вопросов, связанных с движением планет, а также с физикой космических полетов. Именно этим двум вопросам и посвящены два следующих параграфа.

§18. ЗАКОНЫ КЕПЛЕРА

Обработав данные по движению планет Солнечной системы, Кеплер установил три закона движения планет, названных его именем.

Первый закон Кеплера. Все планеты движутся вокруг Солнца по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых расположено Солнце.

Второй закон Кеплера. За равные промежутки времени радиус-вектор, проведённый от Солнца до планеты, описывает одинаковые площади. Из этого закона следует, что планеты движутся со скоростью, изменяющейся по модулю, ближе к Солнцу — быстрее, а удаляясь — медленнее.

Третий закон Кеплера. Квадраты периодов обращения T планет пропорциональны кубам больших полуосей a эллиптических орбит: T 2 ~ a 3.

Как выяснилось впоследствии, эти законы являются следствиями законов динамики и всемирного тяготения. Убедимся в этом.

Первый закон примем без доказательства. Смысл его ясен, вывод сложен и выходитзарамкинашегорассмотрения.

51

поскольку rmυ sinα = L модуль момента импульса планеты (см. (11.2)). Из (18.2) следует, что σ = const, поскольку L = const. Это означает, что за равные промежутки времени радиус-вектор планеты будет описывать одинаковые площади, т.е. справедлив второй закон Кеплера.

Третий закон Кеплера. Для простоты будем считать орбиты не эллипсами, а окружностями (это вполне допустимо, так как истинные траектории планет мало отличаются от окружностей). При движении по окружности планета облада-

ет нормальным ускорением an, которое находим, используя второй закон Нью-

γMm

масса Солнца и планеты, r расстояние между ними, т.е. радиус окружности. Из последнего равенства, учитывая, что an = υ2/ r, где υ скорость движения планеты, получаем, что

52

Но скорость υ планеты связана с периодом T её обращения вокруг Солнца соотношением:

где l = 2πr длина окружности орбиты. Подставляя формулу (18.4) в (18.3),

находим: T 2 = 4π2r3 . Поскольку 4π2 — величина постоянная, то T2 ~ r3, т.е.

γM γM

квадрат периода обращения пропорционален кубу радиуса орбиты, а в случае эллиптической орбиты пропорционален кубу большой полуоси. Это и есть третий закон Кеплера применительно к круговым траекториям движения.

§19. КОСМИЧЕСКИЕ СКОРОСТИ

Исследование и освоение космоса осуществляется космическими аппаратами, запускаемыми с Земли. Для их запуска в зависимости от их назначения им сообщают различные скорости, называемые космическими. Первой космической скоростью называется скорость, которой должно обладать тело, чтобы двигаться по круговой орбите вокруг Земли. Обозначим её через υ1. Пусть тело массой m движется по окружности радиуса r. На него действует сила притяже-

ния к Земле, равная F = γMm , где M — масса Земли. Эта сила сообщает телу r2

нормальное ускорение an = υ2/ r. Здесь υ — орбитальная скорость. Используя

Но r = R + h, где R — радиус Земли и h — высота полёта спутника над Землёй. Поскольку радиус Земли (R ≈ 6400 км) намного больше высоты полёта спутника (h ≈ 300 м), можно считать, что r ≈ R. С учётом этого из (19.1) следует, что

поскольку g0 = γM ускорение свободного падения на поверхности Земли (см.

R2

(16.9)). Подставляя g0 ≈ 9,8 м/с2 и R ≈ 6400 км = 6,4 106 м в формулу (19.2), нахо-

дим, что υ1 ≈ 8 км/с.

53

Второй космической скоростью υ2 называют минимальное значение скорости, при которой тело преодолевает земное притяжение, т.е. уходит за его пределы. Для выхода за пределы земного тяготения тело должно обладать достаточной кинетической энергией. Её можно найти, применяя теорему о кинетической энергии A = Wk − Wk0. Работу, совершаемую гравитационными силами, находим по формуле (16.2), учитывая, что r1 = R (R — радиус Земли) и r2 = ∞:

ного падения на поверхности Земли. На бесконечности скорость тела принимаем равной нулю, так как ищем минимальную скорость υ0 = υ2, которой должно обладать тело, чтобы покинуть Землю. Поэтому кинетическая энергия на бес-

конечности равна нулю, т.е. Wk = 0. С учётом этого имеем: − 12 mυ22 = −mg0 R,

где υ2 начальная скорость тела, равная второй космической скорости. Отсюда

υ2 ≈ 11 км/с. Тело, обладающее второй космической скоростью, покидает Землю и становится спутником Солнца, т.е. оно будет двигаться вокруг Солнца по-

добно планетам Солнечной системы.

Скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно покинуло пределы Солнечной системы, называют третьей космической скоростью. Эта скорость зависит от направления выхода тела из зоны действия земного притяжения. При запуске тела вдоль экватора в направлении движения Земли по орбите υ3 ≈17 км/с.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1.Существуют различные формы движения материи, с которыми связаны разные виды энергии: механическая, электромагнитная, внутренняя и т.д. Энергия является универсальной мерой движения материи и взаимодействия тел.

2.Изменение механической энергии характеризуется работой силы. При по-

ступательном движении она равна: A = ∫F dl , а при вращательном —

l

ϕ r

A = ∫M zdϕ, где F сила, действующая на тело, Mz модуль момента силы,

0

приложенного к телу.

3. Механическая энергия способность тел совершать работу. Кинетической называют энергию, обусловленную движением тела. Она равна работе, которую совершает равнодействующая сила, чтобы разогнать тело из состояния покоя до данной скорости. При поступательном движении она находится по

формуле: Wk = 12 mυ2 , где m и υ масса и скорость тела. Кинетическая энер-

54

гия вращающегося тела равна: Wk = 12 Izω2. Здесь ω и Iz угловая скорость и

момент инерции тела относительно оси вращения. Потенциальной называется энергия, обусловленная взаимодействием тел или частей одного и того же тела. Она равна работе, которую совершают потенциальные (консервативные) силы при перемещении тела из исходного состояния на нулевой уровень, на котором значение потенциальной энергии условно принимается за ноль.

Потенциальными называют силы, зависящие только от координат, их работа не зависит от пути переноса тела и определяется лишь его начальным и конечным положением.

4. Если в механической системе действуют как потенциальные, так и непотенциальные силы, то изменение механической энергии системы равно работе Anp непотенциальных сил: Anp = W2 – W1, где W1 и W2 механическая энергия системы в начальном и конечном состояниях. В случае, когда силы только потенциальные, справедлив закон сохранения механической энергии W = Wk + Wp = const, т.е. механическая энергия системы постоянна.

5. Вокруг любых тел существует гравитационное поле, которое проявляется в том, что на тела, вносимые в него, действуют определённые силы. Гравитационное поле характеризуется напряжённостью и потенциалом. Напряжённость

gr равна силе, действующей на тело единичной массы: gr = mF . Здесь Fr сила,

действующая на тело массой m. Потенциалом гравитационного поля называет-

ся потенциальная энергия тела единичной массы: χ = Wmp , где Wp потенциаль-

ная энергия тела массой m. Напряжённость является силовой характеристикой поля, а потенциал энергетической.

6. Скорость, с которой должно двигаться тело по круговой орбите вокруг Земли, называется первой космической, а минимальное значение скорости, при которой оно преодолевает земное притяжение второй космической скоростью. Скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно покинуло пределы Солнечной системы, называют третьей космической скоростью.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Дайте понятие энергии и работы.

2.Получите формулы механической работы при поступательном и вращательном движениях.

3.Выведите формулу кинетической энергии при поступательном и вращательном движении.

4.В чём состоит теорема о кинетической энергии?

5.Какие силы называются потенциальными? Приведите примеры потенциальных сил в механике.

6.Дайте понятие потенциальной энергии.

7.Сформулируйте и выведите закон сохранения механической энергии.

55

ЗАДАЧИ

4.1.Найти работу, которую надо совершить, чтобы увеличить скорость автомобиля массой 1 т от 2 до 6 м/с на пути 10 м, если на всём пути на него действует сила трения в 10 Н.

4.2.Тело массой 4 кг из состояния покоя начинает скользить по наклонной плоскости высотой 0,5 м и длиной склона 1 м и приходит к основанию наклонной плоскости со скоростью 2,5 м/с. Найти коэффициент трения тела о плоскость и количество теплоты, выделенной при трении.

4.3.Шар массой 1,5 кг катится без скольжения по горизонтальной плоскости со скоростью 5 м/с. Определить кинетическую энергию шара.

4.4.Однородный стержень длиной 1 м подвешен на горизонтальной оси, проходящей через верхний конец стержня. Какую скорость надо сообщить его нижнему концу, чтобы он сделал полный оборот вокруг оси?

4.5.Найдите массу Солнца. Радиус орбиты Земли равен 1,5 108 км, в году содержится пример-

но 3,14 107 с.

4.6.Искусственный спутник Земли движется по круговой орбите в плоскости экватора с запада на восток. На какой высоте над его поверхностью должен лететь спутник, чтобы он был неподвижным по отношению к наблюдателю, находящемуся на Земле?

4.7.При подъёме груза массой 2 кг на высоту 2 м была совершена работа 160 Дж. С каким ускорением поднимался груз?

4.8.Горизонтальная платформа массой 100 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, с угловой скоростью 5 рад/с. Человек массой 60 кг стоит на краю

платформы. С какой угловой скоростью начнёт вращаться платформа, если человек перейдёт от края платформы к её центру? Считать платформу однородным диском, а человека материальной точкой.

4.9.Из орудия массой 5 m вылетает снаряд массой 100 кг. Кинетическая энергия снаряда при вылете 7,5 МДж. Какую кинетическую энергию приобретает орудие вследствие отдачи?

4.10.Мальчик катит обруч по горизонтальной дороге со скоростью 7,2 км/ч. На какое расстояние может вкатиться обруч на горку за счёт кинетической энергии? Уклон горки равен 10 м на каждые 100 м пути.

4.11.Мяч, летящий со скоростью 15 м/с, отбрасывается ударом ракетки в противоположном направлении со скоростью 20 м/с. Найти изменение импульса мяча, если известно, что изменение его кинетической энергии 8,75 Дж.

4.12.Найти кинетическую энергию велосипедиста, едущего со скоростью 18 км/ч. Масса велосипедиста вместе с велосипедом 80 кг, причём на колеса приходится масса 4 кг. Колеса считать обручами.

ГЛАВА 5. ЭЛЕМЕНТЫ ГИДРОАЭРОМЕХАНИКИ

Гидроаэромеханика — раздел механики, в котором изучаются законы равновесия и движения жидкостей и газов, а также движение твёрдых тел в указанных средах. В нём жидкости и газы рассматривают как сплошную среду, непрерывно распределённую в пространстве. Отличительной чертой жидкостей и газов является их текучесть, т.е. малая сопротивляемость деформации сдвига. Поэтому, несмотря на ряд различий, жидкости и газы во многих случаях ведут себя качественно одинаковым образом.

56

§20. ДАВЛЕНИЕ В ЖИДКОСТИ ИЛИ ГАЗЕ

Для изменения объёма жидкости или газа необходимо приложить внешние силы. В результате этого в них возникают упругие силы, которые

Если же распределение силы неравномерное, то на площадке надо выделить элементарную площадку dS, в пределах которой распределение сил можно считать равномерным, а саму площадку плоской. Тогда, согласно формуле (20.1), давление будет равно

где dF — сила, действующая на эту элементарную площадку. Итак, давлением

называется сила, приходящаяся на единицу площади площадки, расположенной перпендикулярно к ней, при условии её равномерного распределения. В системе СИ единицей давления является паскаль (Па): 1 Па = 1 Н / 1 м2, т.е. 1 Па равен давле-

нию, создаваемому силой в 1 Н, равномерно распределённой по площадке площадью 1 м2, расположенной перпендикулярно к силе.

Давление в покоящейся жидкости (или покоящемся газе) подчиняется закону

Паскаля: давление, производимое на жидкость (или газ), передаётся по всем направлениям одинаково.

Рассмотрим распределение давления внутри практически несжимаемой жидкости, находящейся в гравитационном поле. Выделим в ней объём в виде узкого вертикального цилиндра (рис. 20.1). Вдоль его оси, кроме сил давления, на нижнее основание будет действовать сила тяжести dF, создаваемая столбом жидкости сечением dS и высотой h. Она равна dF = g·dm, где g — ускорение свободного падения. Используя формулу плотности, находим: dm = ρ·dV = ρh·dS. Здесь ρ — плотность жидкости и dV = h·dS — объём цилиндра. Тогда

57

Движение жидкостей (или газов) называют течением, а совокупность частиц движущейся жидкости (или газа) потоком. Для наглядного изображения течения жидкости (газа) пользуются линиями тока, т.е. линиями, в каждой точке которых вектор скорости жидкости направлен по касательной к ним. Линии тока проводятся так, чтобы число линий, пересекающих единичную площадку, перпендикулярную к ним, было равно модулю скорости жидкости в месте расположения площадки (рис. 21.1). Тогда по густоте линий тока судят о скорости в различных точках жидкости (газа). Направление же линий тока указывает на направление течения жидкости. Часть жидкости, ограниченную линиями тока, называют трубкой тока. В общем случае картина линий тока может непрерывно меняться. Однако если вектор скорости в каждой точке пространства остаётся неизменным как по модулю, так и по направлению, то такое течение называется установившимся или стационарным. В этом случае картина линий то-

58

ка совпадает с траекториями частиц жидкости. При этом частицы жидкости движутся внутри трубки тока, не пересекая её поверхности, так как вектор их скорости направлен по касательной к поверхности трубки тока.

Выберем внутри стационарно текущей жидкости (газа) трубку тока и рассмотрим два каких-либо поперечных её сечения S1 и S2, в пределах которых скорость жидкости одинакова по всему сечению (рис. 21.2). Пусть υ1 и υ2 — скорости жидкости в местах сечений S1 и S2, соответственно. Очевидно, что за время dt через сечение S1 пройдёт объём жидкости dV1, равный S1 dl1 = S1 υ1 dt, где dl1 = υ1 dt — расстояние, пройденное жидкостью за данное время. Тогда масса dm1, прошедшая через сечение S1, равна ρ1dV1 = ρ1υ1S1 dt. Здесь ρ1 — плотность жидкости (газа) в указанном сечении. Аналогично находим массу dm2, прошедшую через сечение S2: dm2 = ρ2 dV2 = ρ2υ2S2 dt, где ρ2 — плотность жидкости в сечении S2. При стационарном течении масса жидкости между сечениями остаётся неизменной. Её изменение привело бы к изменению плотности и давления жидкости, а следовательно, к изменению скорости потока и на-

рушению стационарного течения. Поэтому количество втекающей жидкости должно равняться количеству вытекающей жидкости, т.е. dm1 = dm2. Тогда, после сокращения на dt, получаем:

Здесь ρ и υ — плотность и скорость жидкости в любом сечении трубки тока. Уравнение (21.2) (или (21.1)) выражает собой закон сохранения массы вещест-

ва, его называют уравнением неразрывности жидкости (газа).

В случае несжимаемой жидкости плотность одинакова по всему объёму и уравнение (21.2) принимает вид:

т.е. произведение скорости течения несжимаемой жидкости на поперечное сечение трубки тока — величина постоянная. Уравнение (21.3) применимо к газам в том случае, когда их сжимаемостью можно пренебречь. Это имеет место при скоростях течения, меньших 100 м/с.

59