fizika / 1 / теор_ошиб

Физический практикум занимает особое место в становлении будущих инженеров. В физической лаборатории студент получает навыки работы с современными измерительными приборами, овладевает методами математической обработки результатов измерений с применением ЭВМ и приучается к самостоятельному анализу рассматриваемых физических явлений.

Законы физики устанавливают связь между измеряемыми физическими величинами. Измерение любой физической величины проводится по отношению к определенной единице (например, расстояние измеряется метром), и эти единицы должны приводиться вместе с численным значением результата. В физике оперируют величинами, которые представляют число и единицу измерения (например, скорость автомобиля – 60 м/с). Единица измерения (размерность) – неотъемлемая часть изучаемой величины.

Все физические величины и соответствующие им единицы измерения разделены на два класса: основные и производные. В международной системе единиц СИ используется семь основных, не зависящих друг от друга, физических величин и их единиц: длина – метр, время – секунда, масса – килограмм, количество вещества – моль, сила тока – ампер, температура – кельвин, сила света – кандела. Остальные величины и их единицы являются производными, то есть определяются через основные величины. Например, скорость v = s/t и измеряется в м/с.

Измерения физических величин составляют важную часть физики. Непосредственно в научных экспериментах измеряются длины пространственных и промежутки временных интервалов. Такие измерения называются прямыми. Длины пространственных отрезков можно измерять непосредственно с помощью жесткого метра или по показаниям стрелки по шкале прибора. Временные интервалы измеряют, замечая последовательные положения стрелки на циферблате часов.

Значения остальных физических величин непосредственно в экспериментах не измеряются, а выводятся из результатов измерения пространственных и временных интервалов. Такие измерения называются косвенными.

Рассмотрим кратко процедуру измерения длины пространственного интервала с помощью измерительного стержня. Стержень необходимо расположить вдоль измеряемого интервала так, чтобы нулевой конец линейки совпал с одним из концов интервала: надо заметить число сантиметров, которое с недостатком покрывает измеряемый интервал. Затем следующий сантиметр на измерительном стержне мы должны разделить на десять частей. Замечая число десятых долей сантиметра, укладывающихся с недостатком на данном интервале, мы определим первый десятичный знак его длины. Можно продолжить эту процедуру, деля следующий интервал на измерительном стержне на еще более мелкие части и определяя число частей, укладывающихся на остающемся куске измеряемого интервала. А далее нам придется поменять инструмент и перейти от линейки к микрометру, затем к микроскопу.

3

Окончательным ответом будет десятичная дробь с тремя или четырьмя десятичными знаками.

Однако ни одно измерение не является абсолютно точным – всегда существует какая-то погрешность. Погрешности возникают по ряду причин:

1)ограничения точности измерительного прибора (например, время обычными часами измеряется с точностью до секунд).

2)невозможность считывания со шкалы прибора показаний, меньших определенной части минимальной цены деления (нельзя обычной линейкой измерить расстояние точнее 0,5 мм).

3)Невнимательность, усталость человека, проводящего измерения. Результат измерения обычно представляют, указывая его погрешность. Например, запись 25,3 ± 0,1 Н показывает, что вес тела измерен с точностью ± 0,1 Н и истинное значение лежит между 25,2 и 25,4 Н. Указанная в данной записи ошибка измерений называется абсолютной.

Пусть проведено n измерений и получены значения физической величины a1, a2 ,..., an . Ближе всего к истинному значению измеряемой величины является

среднее арифметическое значение, равное:

быть положительными и отрицательными.

Доверительным называется интервал aср − a, aср + a , в который попадает

истинное значение искомой величины. Абсолютную погрешность ∆а можно вычислить по формуле:

где k – коэффициент Стъюдента, а s – средняя квадратичная погрешность. Средняя квадратичная погрешность вычисляется по формуле:

∑n (aι −aср ) 2

Коэффициент Стъюдента k = 2,78 для пяти измерений (n = 5) с надежностью Р = 0,95. Надежностью измерений называется вероятность того,

4

что истинное значение искомой величины попадает в данный доверительный интервал. В нашем примере это происходит в 95 случаях из 100.

Часто используют относительную погрешность, которая равна отношению абсолютной ошибки к измеренному значению. Обычно относительную погрешность умножают на 100 и выражают в процентах:

В нашем случае относительная ошибка равна

0,1 100% = 4%

25,3

Окончательный результат измерения представляется в форме

Итак, для обработки результатов прямых измерений необходимо выполнить следующие операции:

1)Провести пять измерений искомой величины.

2)По формуле (1) рассчитать среднее значение измеряемой величины.

3)Найти погрешности отдельных измерений, среднюю квадратичную погрешность по формуле (3) и абсолютную погрешность по формуле

(2)(для k = 2,78).

4)Подсчитать относительную погрешность по формуле (4).

5)Записать значение измеренной величины в форме (5) с обязательным

указанием ее размерности в системе СИ. Все данные оформляются в виде таблицы.

В случае косвенных измерений числовое значение искомой величины находится из функциональной зависимости, связывающей ее с величинами, найденными из прямых измерений:

Погрешность косвенного измерения находится через ошибки прямых измерений по правилу дифференцирования:

Относительную погрешность косвенных измерений вычисляют по правилу дифференцирования натурального логарифма функции:

5

В формулах (7-8) частные производные вычисляются при средних значениях x, y, z.

Поскольку относительную погрешность вычислить легче, чем абсолютную, то на практике удобнее определить сначала относительную ошибку, а затем, используя среднее значение, вычислить абсолютную погрешность:

Рассмотрим пример расчета ошибки косвенного измерения ускорения свободного падения g, исходя из результатов прямых измерений периода колебаний математического маятника T и его длины l. Ускорение свободного падения вычисляется по формуле:

Погрешности независимых прямых измерений длины и периода маятника усиливают друг друга и в формуле (11) они складываются. Для подсчета относительной погрешности косвенных измерений прологарифмируем выражение (10):

После дифференцирования натурального логарифма мы получим относительную погрешность:

Во многих случаях погрешность величины не указывается, а оценивается по точности записи последнего значения результата измерения. Так, в записи 25,3 Н полагается, что точность составляет ± 0,1 Н, в записи 25,33 – точность

± 0,01 Н. Число надежно установленных цифр в записи результата измерения называется числом значащих цифр. Например, в записи 25,3 мы имеем три значения цифры. В процессе измерений и особенно вычислений не следует сохранять в окончательном ответе больше знаков, чем имеется значащих цифр. Эта ошибка особенно распространилась в связи с использованием микрокалькуляторов. Поясним на примере. Пусть надо вычислить площадь прямоугольника, стороны которого измерены с точностью

6

0,1 см и равны 11,3 см и 6,8 см. Перемножение дает 76,84 см2 . Ясно, что в процессе вычислений точность значений возрасти не могла, и этот результат нужно округлить. В таких случаях следует использовать простое правило: результат умножения или деления должен содержать лишь столько цифр, сколько их содержит число с минимальным количеством значащих цифр. В нашем примере минимальное число значащих цифр (2) имеет число 5,8,

следовательно, результат 76,84 см2 нужно округлить до 77 см2 . Переписывать все цифры в ходе расчета не имеет никакого смысла.

В физике часто приходится иметь дело с очень большими или очень маленькими величинами. Скорость света составляет примерно 300 000 000 м/с, диаметр атома водорода равен 0,00000000005 м. Ясно, что такая форма записи неудобна и часто приводит к ошибкам. Более удобной является запись числа в виде некоторого коэффициента К и числа 10 в некоторой степени (К 10n ), а коэффициент К выбирают между 0,1 и 10.

Например 3 108 м/с, 5 10−11 м или 0,5 10−10 м. Запись получается наглядной и удобной при арифметических действиях, поскольку приумножении и делении показатели степени соответственно складываются или вычитаются:

=19,881626383 1019 =1.99 1020 Н.

Обратим внимание на следующие моменты:

а) все числа перед 10 в некоторой степени имеют значения от 1 до 10, что удобно при работе микрокалькулятором, так как легко оценить, что должно получиться;

б) все значения 10n выносятся в отдельную часть и результирующий показатель степени легко считается;

в) точный результат перемножения чисел содержит девять цифр после запятой и его нужно округлить до трех значащих цифр;

г) значение 19,9 1019 записано в итоге как 1,99 1020 также в соответствии с

правилом записи больших чисел.

7

Таблица 1.

По формуле (14) вычисляем среднее значение объема:

Vср = 3,14 10,472 100,1 =8614мм3 =8,61 10−3 мм3 4

Относительную погрешность измерения объема находим по формуле (17):

εv = 2100,47,15 +1000,6,1 =0,04 = 4%

По формуле (18) определим абсолютную погрешность измерения объема:

V =0,04 8,61 10− 3 м3 =0,34 10− 3 м3 .

Полученный результат записываем в виде:

V =(8,61±0,34) 10− 3 м3 ,εv = 4% .

Задание Определить погрешности определения объема и площади поверхности шара,

если в процессе измерений его диаметра D получены значения, приведенные в таблице 2, (в см).

Таблица 2.

Номер варианта в таблице 2 соответствует Вашему порядковому номеру в журнале. Полученные результаты записать на отдельном листе и представить преподавателю.

9