fizika / 1 / mehanika

ная, поскольку она совершается против сил притяжения молекул. С учётом этого получаем, что dWР = a dV/V2. Интегрируя это выражение, находим:

149

p V

Подставляя (59.1) и (59.3) в формулу (59.2), получаем:

Значение C надо выбрать так, чтобы формула (59.4) для внутренней энергии одного моля реального газа при возрастании объёма до бесконечности переходила бы в выражение (59.1) для внутренней энергии одного моля идеального газа. Это следует из того, что с увеличением объёма (V → ∞) увеличиваются расстояния между молекулами, а силы межмолекулярного притяжения уменьшаются. В силу этого, притяжением и собственными размерами молекул можно пренебречь, поэтому реальный газ по своим свойствам очень близок к идеальному. Тогда a/V → 0 при V → ∞ и C должна равняться нулю, а выражение (59.4) запишется в виде:

Итак, внутренняя энергия реального газа зависит от температуры и объёма.

§60. ЭФФЕКТ ДЖОУЛЯ — ТОМСОНА. СЖИЖЕНИЕ ГАЗОВ

Рассмотрение внутренней энергии реального газа позволяет объяснить изменение его температуры при адиабатическом изменении его объёма. Допустим, что газ расширяется без теплообмена с окружающей средой и без совершения внешней работы. В этом случае его внутренняя энергия должна оставаться по-

стоянной, Поэтому, дифференцируя уравнение (59.5), находим dUμ = CμV dT +

лен, то расширение газа (dV >0) приводит к

понижению температуры (dT < 0). Опыт- Рис. 60.1 ным путём такое поведение реального газа

было обнаружено Джоулем совместно с Томсоном 1. Опыт Джоуля и Томсона состоял в следующем. В трубке, изготовленной из

теплоизоляционного материала, помещалась пористая перегородка. С одного конца трубки закачивался газ под большим давлением P1, который, проходя пористую перегородку, попадал в область малого давления P2 и таким образом расширялся (рис. 60.1). Оказалось, что, вследствие расширения, температура газа понижается. Это явление и называется эффектом Джоуля — Томсона. (Отме-

149

тим, что в ряде случаев температура при расширении газа может повышаться или оставаться неизменной. Это зависит от соотношения поправок a и b в уравнении Ван-дер-Ваальса для данного сорта газа). При большой разности давлений, изменения температур могут быть значительными. Поэтому эффект Джоуля — Томсона используется в технике для получения сжиженных газов.

2. В §58 указывалось, что газ может быть переведён в жидкое состояние лишь при температурах ниже критической температуры. Некоторые газы имеют низкие критические температуры (табл. 60.1). Для сжижения этих газов их надо сильно охладить. Один

вую стадию охлаждения. Затем газ протекает по внутренней трубке теплообменника ТО и выпускается через дроссель ДР (кран с узким отверстием) в специальный резервуар P (сосуд Дьюара), давление в котором равно атмосферному (≈105 Па). Расширяясь, газ охлаждается. Охлаждённый газ возвращается обратно в компрессор, протекая по внешней трубе теплообменника. Газ, текущий по внутренней трубке, снова охлаждается. Поэтому каждая последующая порция газа, поступающая к дросселю, имеет более низкую температуру, чем предыдущая. А чем ниже начальная температура газа до расширения, тем больше она понижается за счёт эффекта Джоуля — Томсона. Наконец, температура газа становится настолько низкой, что часть его при расширении конденсируется в жидкость. Жид-

150

стояние, существует так называемый ближний порядок. Это означает, что относительно любой молекулы расположение соседних молекул является упорядоченным, а по мере удаления от них расположение других молекул становится беспорядочным. Тепловое движение молекул в жидкостях также занимает промежуточное положение между газами и твёрдыми телами. Если в газах молекулы движутся беспорядочно, в твёрдых телах колеблются около своих положений равновесия, то в жидкостях каждая молекула в течение некоторого времени колеблется около определённого положения равновесия, время от времени она меняет место равновесия, скачком перемещаясь в новое положение, отстоящее от предыдущего на расстоянии порядка размеров самих молекул. При этом время колебания около положения равновесия больше времени перескока молекул. Исходя из такого характера движения молекул, можно качественно объяснить многие свойства жидкостей, например, их текучесть. Под действием силы происходит увеличение перескоков молекул в направлении этой силы, т.е. жидкость будет течь в этом направлении.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1. Реальный газ — это модель газа, в которой учитываются притяжения молекул и их собственный объём. Состояние реального газа описывается уравнением Ван-дер-Ваальса. Для одного моля газа оно записывается в виде:

ра газа, соответственно, a и b — поправка на давление и объём, соответственно,

R— универсальная газовая постоянная.

2.Реальный газ характеризуется критической температурой, т.е. температурой, ниже которой он может быть переведён в жидкое состояние путём сжатия. Изотермы реального газа (при температуре ниже критической) отражают процесс сжатия газа, переход газ в жидкость и её сжатие.

3.Внутренняя энергия Uμ одного моля реального газа находится по формуле:

Uμ = CμVT − Va . Таким образом, внутренняя энергия реального газа, в отличие от

идеальногогазазависитнетолькооттемпературы, ноиотобъёмагаза.

4. Эффект Джоуля — Томсона состоит в том, что при адиабатическом перетекании газа, при перепаде давления в разных частях сосуда может произойти изменение температуры газа. Понижение температуры при эффекте Джоуля — Томсона используется для сжижения газов.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Запишите уравнение Ван-дер-Ваальса. В чём смысл его поправок?

2.Начертите изотермы Ван-дер-Ваальса и экспериментальные изотермы реального газа. В чём их отличие?

3.Дайте понятие пересыщенного пара и перегретой жидкости.

151

4.Выведите выражение для внутренней энергии одного моля реального газа.

5.В чём состоит эффект Джоуля — Томсона? Где он используется?

6.Каковы строение и свойства жидкостей?

ГЛАВА 14. СТРОЕНИЕ ТВЁРДЫХ ТЕЛ И ИХ МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА

§61. АМОРФНЫЕ ТЕЛА И КРИСТАЛЛЫ

1. Твёрдые тела бывают аморфными и кристаллическими. Аморфными называют тела, в которых атомы или молекулы расположены беспорядочно. Примерами этих тел являются янтарь, стекло, пластмассы и т.д. Аморфные тела явля-

ются изотропными, т.е. их физические свойства одинаковы по всем направле-

ниям. Твёрдые тела, атомы или молекулы которых расположены в определённом порядке, образуя периодически повторяющуюся внутреннюю структуру,

называются кристаллами.

2. Элементарная кристаллическая ячейка. Внутренняя структура кристалла описывается с помощью так называемой кристаллической решётки. Кристаллической решёткой называется пространственная сетка, узлы которой совпадают с центрами атомов или молекул в кристалле (рис. 61.1). Точнее, узлы кристаллической решётки — это точки, относительно которых происходят колебания атомов или молекул. Весь кристалл можно получить путём многократного повторения в трёх направлениях одного и того же минимального по размерам структурного элемента, называемого элементарной ячейкой кристалла (рис. 61.2). Длины рёбер a, b и c элементарной ячейки называют периодами идентичности кристалла. Элементарная ячейка в общем случае представляет собой параллелепипед, по-

строенный на трёх векторах ar, b и c . Этот параллелепипед, кроме рёбер a, b и c, равных модулям соответствующих векторов, характеризуется также углами меж-

ду рёбрами: γ — угол между векторами a и b , β — между a и cr и α — между b и cr. Величины a, b, c и α, β, γ определяют элементарную ячейку и называются её параметрами.

3. Классификация кристаллических решёток. Существует два признака для классификации кристаллов: кристаллографический, в котором важна только пространственная упорядоченность в расположении атомов, и физический, когда в зависимости от природы частиц, расположенных в узлах кристаллической решётки, меняется характер взаимодействия между ними. Остановимся сначала на кристаллографическом признаке кристаллов. По форме элементарной ячейки кристаллы делятся на семь кристаллографических систем (или сингоний), которые приведены в табл. 61.1. У кубической кристаллической системы элементарная ячейка является кубом, а у гексагональной — прямой призмой, в основании которой лежит ромб с острым углом 60°. Элементарная ячейка ромбоэдрической системы — наклонная призма с основанием в виде ромба, в которой

152

углы между ребрами равные. У тетрагональной системы элементарная ячейка

— прямая призма с квадратным основанием; у ромбической — прямоугольный параллелепипед. У моноклинной системы — прямой параллелепипед и у триклинной — косоугольный параллелепипед.

Все кристаллические тела делятся на монокристаллы и поликристаллы. Монокристаллы представляют собой одиночные кристаллы, имеющие единую кристаллическую решётку. В ряде случаев монокристалл можно рассматривать как единую молекулу, например, алмаз, в котором все атомы углерода связаны химическими связями. Монокристаллы встречаются в природе в естественных условиях (кварц, поваренная соль, рубин и т.д.). Создав специальные условия

(удаление примесей, очень медленное охлаждение расплава и т.д.), их можно вырастить искусственно. Физические свойства (механические, тепловые, электрические, оптические) монокристаллов, как правило, различны по различным направлениям. Так, показатель преломления кристалла исландского шпата зависит от того, как на него падает луч света. Такое свойство кристаллических тел называется анизотропностью. Поликристаллы представляют собой совокупность большого числа сросшихся между собой и хаотически ориентированных маленьких монокристаллов, называемых кристаллитами. Такое поликристаллическое тело в целом изотропно, хотя каждый кристаллит сам по себе анизотропен. Поликристаллы получаются, как правило, путём кристаллизации жидкого вещества при охлаждении его в обычных условиях.

153

§62. ФИЗИЧЕСКИЕ ТИПЫ КРИСТАЛЛОВ

По характеру взаимодействия частиц (атомов, молекул, ионов), расположенных в узлах кристаллической решётки, различают четыре типа кристаллов: атомные, ионные, металлические и молекулярные кристаллы.

1.Ионные кристаллы. В узлах кристаллической решётки этих кристаллов располагаются ионы разных знаков, причём, они чередуются между собой. Силы взаимодействия между ними — электростатические (кулоновские). Связь, обусловленная кулоновскими силами притяжения, называется ионной или гетерополярной. В ионном кристалле нельзя выделить отдельные молекулы. Примерами ионных кристаллов являются галоидные соединения щелочных металлов (NaCl, KBr, KCl и другие), а также оксиды различных элементов (CaO, MgO и т.д.).

2.Атомные кристаллы. В этих кристаллах в узлах кристаллической решётки находятся нейтральные атомы, которые удерживаются в узлах решётки так называемыми ковалентными (гомеополярными) связями. Ковалентная связь возникает между двумя атомами двумя валентными электронами (по одному от каждого атома), движущимися по орбитам, охватывающим оба атома. Поэтому число связей, в которых может участвовать данный атом, следовательно, и число соседних атомов, связанных с ним, равно его валентности. Атомными кристаллами являются алмаз, кремний, германий и т.д. В перечисленных кристаллах каждый атом, например, кремний, окружен четырьмя такими же атомами, поскольку его валентность равна четырём. Атомы образуют кристаллическую структуру, в которой один атом расположен в центре тетраэдра, а четыре — в его вершинах. При этом ковалентная связь образуется между центральным атомом и атомами в вершинах тетраэдра.

3.Металлические кристаллы. Во всех узлах кристаллической решётки расположены положительные ионы. Это объясняется тем, что при образовании кристаллической решётки валентные электроны, наиболее слабо связанные с атомами, отрываются от атомов и коллективизируются, т.е. они уже принадлежат не одному атому, а всему кристаллу в целом. Поэтому в металлах между положительными ионами хаотически движутся электроны, взаимодействие которых с положительными ионами металла и приводит к возникновению сил притяжения, компенсирующих силыотталкиванияионов, иобразованиюкристалла.

4.Молекулярные кристаллы. В узлах кристаллической решётки располагаются молекулы, ориентированные определённым образом. Силы, образующие кристалл, имеют электростатическое происхождение. Их называют Ван-дер-

Ваальсовыми. Модуль F этих сил обратно пропорционален седьмой степени расстояния r между молекулами, т.е. F ~ 1/r7. Следует отметить, что многие свойства тел, такие, как трение, прилипание, сцепление, поверхностное натяжение, вязкость и т.д. являются проявлением сил Ван-дер-Ваальса. К молекулярным кристаллам относятся лёд, йод, парафин, большинство твёрдых органических соединений и т.п., а также водород, аргон, метан и другие газы после пре-

154

вращения их в твёрдые тела. Необходимо отметить, что наибольшей прочностью обладают атомные кристаллы, а наименьшей — молекулярные.

§63. МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТВЁРДЫХ ТЕЛ

При строительстве и конструировании различных сооружений, в том числе и строительных, необходимо знать механические свойства используемых материалов: бетона, железобетона, стали, пластмасс и т.д. Поэтому рассмотрим лишь механические свойства твёрдых тел.

1. Основные понятия. Деформацией называется изменение формы и размеров тела под действием приложенных сил. Различают два вида деформации — упругую и пластическую. Упругой называют деформацию, которая исчезает после прекращения действия σn приложенных сил. Если же после снятия сил тело не возвращается в исходное состояние, то такая дефор-

мация называется пластической (неупругой). Вид деформации зависит от материала тела и от величи- σ ны приложенного усилия. Механическим усилием (усилием) Р называют внешнюю силу, приходя-

щуюся на единицу площади, т.е.

где dF — сила, действующая на элементарную площадку dS. При деформации в теле возникают силы, противодействующие внешним силам. Их называют упругими. Упругая сила, приходящаяся на единицу площади, называется механи-

ческим напряжением (напряжением):

где dFупр — сила, действующая на элементарную площадку dS. В общем случае напряжение составляет некоторый угол с площадкой. Поэтому его можно разло-

жить на две составляющие: σn, перпендикулярную к площадке, и στ, касательную к ней (рис. 63.1).

Деформацию тел оценивают абсолютной и относительной деформацией. Абсолютной деформацией x называют разность конечного х и начального x0 размера тела, т.е.

Абсолютная деформация при растяжении положительная, а при сжатии — отрицательная. Относительной деформацией ε называется отношение абсолютной деформации к первоначальному размеру тела, т.е.

155

Таким образом, напряжение упруго деформированного тела пропорционально

его относительной деформации.

Модуль Юнга является важной характеристикой материала, из которого изготовлено тело, независимо от его формы и размеров. Он измеряется в паскалях (Па). Его значения для некоторых материалов приведены в табл. 63.1. Выясним физический смысл модуля Юнга. Из (63.7) следует, что, если ε = 1 (когда l = l0), то E = Р, т.е. модуль Юнга равен усилию, которое надо приложить к телу, чтобы изменить его длину вдвое при сохранении упругой деформации. В

действительности же подавляющее число материалов разрушается значительно раньше, чем это произойдёт.

Наряду с продольной деформацией стержня, наблюдается и изменение его поперечных размеров. Причём, при растяжении поперечные размеры стержня уменьшаются, а

му же усилию, приложенному к стержню. Поэтому оно пропорционально и величине относительного изменения длины стержня. Отношение относительной поперечной деформации к соответствующей относительной продольной деформации

называют коэффициентом Пуассона μ: μ = εп/ε. Коэффициент Пуассона зави-

сит только от материала. Его значение находится в интервале от 0 до 0,5. Для пористых материалов (например, пенопластов) μ = 0, так как при деформации тел из таких материалов их поперечные размеры не изменяются, для резины и других высокоэластичных материалов μ = 0,5.

Таким образом, упругие свойства твёрдого изотропного тела характеризуются модулем Юнга и коэффициентом Пуассона. Все другие постоянные, применяемые для описанияразличныхвидовдеформаций, могутбытьвыраженычерезних.

Наиболее удобным способом исследования механических свойств твёрдого тела является его испытание на растяжение и построение диаграммы растяжения, т.е. зависимости между относительным удлинением ε и усилием Р. Типичная кривая такой зависимости приведена на рис. 63.3. Пока относительное удлинение мало, то имеется пропорциональность между ε и Р, т.е. справедлив закон Гука. Наибольшее усилие Рп, при котором ещё выполняется закон Гука, на-

157