fizika / 1 / mehanika

1.Состояние термодинамической системы, при котором все её параметры состояния сколь угодно долго остаются неизменными при неизменных внешних условиях, называется равновесным. Необходимо отметить, что в таком состоянии его параметры состояния одинаковы во всех местах термодинамической системы.

Рассмотрим газ, находящийся в цилиндре под поршнем (см. рис. 39.1). Передвинем поршень, увеличив объём газа. Это приводит к разрежению газа вблизи поршня и в этой области давление, плотность и температура уменьшаются. В других же участках параметры газа сразу измениться не успевают. Однако через некоторое время, называемое временем релаксации, газ снова возвращается

вравновесное состояние, в котором его параметры во всех точках принимают новые, но повсюду одинаковые значения. Переход термодинамической системы из одного состояния в другое называют термодинамическим процессом (или процессом). При этом изменяется хотя бы один из параметров состояния. Процесс, состоящий из ряда последовательных равновесных состояний, называется равновесным. Очевидно, что параметры двух таких соседних состояний должны отличаться на бесконечно малую величину. Поэтому равновесный процесс необходимо проводить бесконечно медленно, чтобы в любой момент времени состояние системы оставалось равновесным. Всякий реальный процесс протекает с конечной скоростью. Следовательно, всереальныепроцессынеравновесные.

В термодинамике изучаются так называемые квазиравновесные процессы, т.е. процессы, приближающиеся к равновесным. Для их проведения необходимо, чтобы времяпротеканияпроцессабыломногобольшевременирелаксации.

2.При проведении изохорического, изобарического и изотермического процессов (см. данный параграф п. 3, 4, 6), скорость их протекания ничем не ограничена. Поэтому в сосуде не слишком больших размеров, изготовленном из материала с хорошей теплопроводностью, можно любой из этих процессов провести квазиравновесно. Значительно труднее осуществить квазиравновесный адиабатический процесс, поскольку, с одной стороны, он должен протекать настолько быстро, чтобы не было заметного теплообмена с окружающей средой (см. п. 7 данного параграфа), а с другой — время его протекания должно быть больше времени релаксации. Этим двум противоречивым условиям одновременно удовлетворить нелегко. Поэтому процессы, проводимые на практике, лишь приближенноможносчитатьадиабатическими ивтожевремяквазиравновесными.

Графически изображаются только квазиравновесные процессы, так как каждая точка на графике характеризует определённое равновесное состояние.

Рассмотрим упомянутые выше процессы.

3.Изохорический процесс. Процесс, протекающий при постоянном объёме

(V = const), называют изохорическим (изохорным). Поскольку V = const, то элементарное изменение объёма dV = 0, и элементарная работа газа dA = P·dV = 0, т.е. при этом процессе газ не совершает механической работы. Тогда первый закон термодинамики (см. (38.2)) запишется:

100

Следовательно, при изохорическом процессе количество теплоты, сообщенное газу, полностью расходуется на изменение его внутренней энергии. Отметим, что в (40.1) использовано принятое в термодинамике обозначение. Если какой-либо параметр при данном процессе не изменяется, то он служит индексом при интересующей нас величине.

Количество теплоты, переданное или отданное термодинамической системе, определяется через её теплоёмкость. Теплоёмкость — это физическая величина, измеряемая количеством теплоты, которую необходимо сообщить для нагревания системы на один градус. Очевидно, что количество теплоты, необходимое для нагревания системы на один градус, зависит от массы вещества. Поэтому вводят понятие удельной и молярной теплоёмкости. Удельная теплоёмкость c характеризуется количеством теплоты, необходимым для повышения температуры единицы

массы вещества на один градус. Молярная теплоёмкость Cμ — это количество теплоты, требуемое для повышения температуры одного моля вещества на один градус. Эти теплоёмкости связаны между собой соотношением

где μ — молярная масса.

Если одному молю вещества сообщить количество теплоты dQμ и при этом его температура изменится на dT градусов, то по определению

Теплоёмкость зависит от внешних условий, при которых происходит нагревание термодинамической системы. Различают теплоёмкости при постоянном давлении (изобарная теплоёмкость) и при постоянном объёме (изохорная теплоёмкость).

Обозначим молярную изохорную теплоёмкость через CμV . Согласно выражению

(40.3), она равна:

так как из (40.1) следует, что dQμV = dUμ . Из формулы (40.4) получаем, что

Для нахождения внутренней энергии одного моля вещества надо проинтегрировать выражение (40.5), т.е.

В широком температурном интервале теплоёмкость вещества зависит от температуры. Однако в не слишком широких интервалах температур она остаётся по-

стоянной. Тогда теплоёмкость CμV можно вынести за знак интеграла и (40.6)

запишется Uμ = CμV T + const. Обычно принимают внутреннюю энергию системы при 0 К, равной нулю. Поэтому надо принять const, равной нулю. Итак,

101

4. Изобарический процесс. Процесс, происходящий при неизменном давлении (P = const), называется изобарическим (изобарным). Работу газа при увеличении объёма от V1 до V2 находим, используя формулу (39.2):

так как P = const, то её вынесли за знак интеграла. Согласно выражению (38.2), первый закон термодинамики с учётом, что dA = P dV, запишется в виде

Найдём связь между CμΡ и CμV для идеального газа. Используя соотношение

(40.10), для одного моля газа запишем, что dQμΡ = dUμ + P·dV. Тогда (40.11) запишется в виде:

емся уравнением Менделеева — Клапейрона (35.8). Для одного моля (M/μ = 1) имеем PV = RT. Отсюда V = RT/P. Дифференцируя это выражение по T, находим:

Соотношение (40.13) носит название уравнения Майера. Из него следует, что теплоёмкость при изобарическом процессе больше, чем при изохорическом. Это объясняется следующим образом. При изохорическом процессе вся подводимая к газу теплота идёт на увеличение его внутренней энергии, т.е. на нагревание, а при изобарическом — теплота расходуется как на нагревание, так и на совершение газом работы при его расширении. Поэтому для нагревания газа на один гра-

102

дус при изобарическом процессе надо сообщить ему больше теплоты, чем при изохорическом. В силу этого изобарная теплоёмкость больше изохорной.

5. Связь теплоёмкости идеального газа со степенями свободы молекул.

Сравнивая выражения Uμ = 2i RT (см. (37.1)) и Uμ = CμV T (см. (40.7)), находим,

что молярная изохорная теплоёмкость равна:

где i — число степеней свободы молекулы. Молярную изобарную теплоёмкость находим, воспользовавшись уравнением Майера (40.13) и формулой (40.14):

С учётом (40.2) для удельных теплоёмкостей идеального газа получаем, что

Если молекулу считать жёсткой, то для одноатомных газов i = 3, для двухатомных — i = 5 и для многоатомных — i = 6. Подставляя эти значения в (40.14) и (40.15), можно вычислить молярные теплоёмкости газов. Из опытных данных следует, что теплоёмкость реальных одноатомных газов (гелий, аргон, неон и др.) близка к расчётным значениям в довольно широком температурном интервале. Теплоёмкость же двухатомных и многоатомных газов близка к расчётным величинам лишь при температурах, мало отличающихся от комнатной температуры. Вшироком же температурном интервале наблюдается зависимость теплоёмкости от температуры, втовремякак, сточкизренияклассическойтеории, онадолжнабытьпостоянной. Объяснениетакогоповедениятеплоёмкостидаётсяквантовоймеханикой.

6. Изотермический процесс. Процесс, происходящий при постоянной температуре (T = const), называют изотермическим.

а) Рассмотрим первый закон термодинамики (см. (38.1)) для данного процес-

са. Как видно из выражения CμP = dQdTμP .(см. (37.2)), внутренняя энергия иде-

ального газа зависит только от температуры. Поэтому при постоянной температуре внутренняя энергия постоянна (U = const), и следовательно, U = 0. Тогда первый закон термодинамики принимает вид:

т.е. количество теплоты, сообщённое газу при изотермическом процессе, полностью превращается в работу, совершаемую газом. Выясним условия, необходимые для проведения такого процесса. При изотермическом расширении к газу необходимо непрерывно подводить теплоту, чтобы компенсировать уменьшение внутренней энергии, происходящее вследствие совершения газом работы против

103

внешних сил. И, наоборот, при изотермическом сжатии надо непрерывно отбирать теплоту, чтобы внутренняя энергия, следовательно, и температура оставались постоянными. Из этого следует, что изотермический процесс необходимо проводить очень медленно, так как только в этом случае температура газа будет успевать выравниваться с температурой окружающей среды.

б) Вычислим работу, совершаемую идеальным газом, при данном процессе при изменении объёма от V1 до V2 , используя формулу (39.2). Зависимость давления газа от объёма и температуры находим из уравнения Менделеева — Кла-

поскольку T = const, то её также вынесли за знак интеграла.

7. Адиабатический процесс. Уравнение Пуассона.

а) Процесс, протекающий в термодинамической системе без теплообмена с окружающей средой, называется адиабатическим (адиабатным). Для практического осуществления такого процесса газ помещают в сосуд с теплоизоляционными стенками. Поскольку любой материал в той или иной степени проводит теплоту, то процесс можно считать адиабатическим лишь приближённо. Хорошим приближением к адиабатическому процессу являются быстро протекающие процессы. Кратковременность процесса приводит к тому, что система не успевает обменяться теплотой с окружающей средой. При адиабатическом процессе газ не отдаёт и не получает количество теплоты, т.е. dQ = 0. Тогда первый закон термодинамики имеет вид:

б) Уравнение, которое описывает адиабатический процесс, происходящий в

где P — давление газа, V — объём, занимаемый газом, γ = CμP / CμV — отношение молярных теплоёмкостей при изобарическом и изохорическом процессах. Это соотношение называется уравнением Пуассона. Уравнение Пуассона можно записать в ином виде, воспользовавшись уравнением Менделеева — Клапейрона

104

(35.8). Из него находим, что P = Mμ RTV . Подставляя это выражение в (40.21) и

учитывая, что величины M, μ и R постоянные, получаем:

Используя выражения (40.14) и (40.15), находим: γ = i +i 2 , где i — число сте-

пеней свободы молекулы. График, соответствующий уравнению Пуассона, называется адиабатой (рис. 40.1). Поскольку всегда γ > 1, то адиабата идёт круче изотермы (см. (35.9)), соответствующей закону Бойля — Мариотта. Более сильная зависимость давления от объёма при адиабатическом процессе обусловлена следующим. При адиабатическом сжатии увеличение давления газа вызвано не только уменьшением его объёма, как при изотермическом сжатии, но и повышением температуры. При адиабатическом же расширении газа его температура понижается, что приводит к более быстрому уменьшению давления, чем при изотермическом процессе.

8.Политропические процессы. Рассмотренные выше четыре процесса являются

визвестнойстепениидеализированными. Практическипроцессыненосят, например, строго адиабатического или изотермического характера, так как невозможно осуществить ни полной термической изоляции, ни идеального обмена теплоты. Однако оказалось, что реальные процессы можно описать общим уравнением, которое опи-

сываетнекийобобщённыйпроцесс, называемыйполитропическим:

где n — показатель политропы, который может принимать значения от –∞ до +∞. При экспериментальном изучении какого-либо процесса можно построить график зависимости Р от V и подобрать соответствующее значение п. Полученное уравнение используют в дальнейших термодинамических расчётах. Отметим, что уравнение политропы описывает рассмотренные ранее процессы. Действительно, при п = 0 получаем Р = const, т.е. уравнение изобарического процесса; при п = 1 — PV = const — это уравнение изотермического процесса; при

п = γ — PVγ = const — адиабатический процесс и при п = ±∞ имеем V = const —

1 1

изохорический процесс, так как P1V1n = P2V2n → P1nV1 = P2nV2 и при п = ± ∞ по-

лучаем V1 = V2, т.е. V = const.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1. Внутренней энергией термодинамической системы называют сумму всех видов кинетической и потенциальной энергии частиц (молекул, атомов, электронов и т.д.), входящих в неё. Внутренняя энергия является функцией состояния системы, т.е. однозначно определяется параметрами состояния.

105

2. Внутренняя энергия U данной массы идеального газа зависит только от его температуры T и находится по формуле: U = Mμ 2i RT. Здесь M и μ — масса и

молярная масса газа, i — число степеней свободы молекулы, R — универсальная газовая постоянная.

3.Существуют два способа изменения внутренней энергии термодинамической системы — механическая работа и теплообмен. Для характеристики изменения внутренней энергии системы при теплообмене вводится понятие количества теплоты. Количествомтеплотыназываютэнергию, переданнуюпутёмтеплообмена.

4.Закон сохранения энергии применительно к тепловым процессам называют первым законом термодинамики. Для малого изменения состояния системы запись этого закона такова: dQ = dU + dA, где dQ —элементарное количество теплоты, сообщённое ей; dA — элементарной работы ,совершённая системой; dU — элементарное изменение внутренней энергии системы, т.е. количество теплоты,

сообщённое термодинамической системе, расходуется на изменение её внутренней энергии и на работу, совершаемую системой, при её расширении.

5.Работа, производимая газом при изменении его объёма, находится по формуле:

V2

A = ∫P dV , гдеP — давлениегаза, V1 иV2 — начальныйиконечныйобъёмгаза.

V1

6. Равновесным называется состояние термодинамической системы, при котором её параметры постоянны при неизменных внешних условиях. Переход системы из одного состояния в другое называют термодинамическим процессом. Равновесным процессом является процесс, состоящий из ряда последовательных равновесных состояний. Все реальные процессы неравновесные. Поэтому в термодинамике изучаются так называемые квазиравновесные состояния и процессы, т.е. состояния и процессы, приближающиеся к равновесным. Существует ряд квазиравновесных процессов: изохорический, изобарический, изотермический и т.д.

7. Удельной (молярной) теплоёмкостью тела называют количество тепло-

ты, которое необходимо, чтобы нагреть единицу массы (один моль) вещества на один градус: c = mdTdQ (Cμ = dQdTμ ). Различают теплоёмкость при постоянном

объёме CV и постоянном давлении CP. Для одного моля идеального газа эти теплоёмкости связаны уравнением CμP = CμV + R (уравнение Майера).

106

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Что называется внутренней энергией термодинамической системы?

2.Выведите формулу внутренней энергии идеального газа.

3.Сформулируйте и запишите первый закон термодинамики.

4.Получите формулу работы, совершаемую газом при изменении его объёма.

5.Какое состояние термодинамической системы называют равновесным?

6.Какой процесс называется равновесным, изотермическим, изобарическим и изохорическим?

7.Сформулируйте первый закон термодинамики для изохорического и изотермического процессов.

8.Что называют удельной и молярной теплоёмкостями вещества? Что такое изохорная и изобарная теплоёмкости?

9.Как связаны между собой молярные изобарная и изохорная теплоёмкости?

10.Какой процесс называется адиабатическим, и каким уравнением он описывается?

11.Почему при адиабатическом изменении объёма газа его температура изменяется?

ЗАДАЧИ

8.1.Масса 16 г кислорода находится при давлении 300 кПа и температуре 27 °С. После нагревания при постоянном давлении газ занял объём 10 л. Найти количество теплоты, полученное газом, изменение внутренней энергии газа и работу, совершённую газом при расширении.

8.2.Двухатомному газу сообщено количество теплоты 2,093 кДж. Газ расширяется изобарически. Найти работу расширения газа.

8.3.Гелий, находящийся при давлении 100 кПа, изотермически расширяется от объёма 2 л до 4 л. Найти количество теплоты, сообщённое газу.

8.4.Газ расширяется адиабатически так, что его давление падает от 200 до 100 кПа. Затем он нагревается при постоянном объёме до первоначальной температуры, причём его давление становится равным 122 кПа. Найти отношение изобарной теплоёмкости к изохорной для этого газа.

8.5.При адиабатическом сжатии одного моля двухатомного газа совершена работа 146 кДж. На сколько при этом увеличилась температура газа?

8.6.Работа изотермического расширения газа массой 10 г при увеличении его объёма вдвое равна 575 кДж. Найти среднюю квадратичную скорость молекул газа при этой температуре.

ГЛАВА 9. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА В ГАЗАХ

В двух предыдущих главах изучался газ, находящийся в равновесном состоянии, при котором во всех его точках температура, давление, плотность и т.д. одинаковы. Рассмотрим теперь процессы, объединённые общим названием яв-

107

ления переноса, возникающие в газе, находящемся в неравновесном состоянии, когда в нём создаются неоднородности температуры, плотности или скорости упорядоченного движения отдельных слоёв газа. К этим явлениям относятся диффузия, теплопроводность и внутреннее трение. Как будет показано, коэффициенты диффузии, теплопроводности и внутреннего трения зависят от средней длины свободного пробега молекул. Поэтому введём сначала это понятие.

§41. ДЛИНА СВОБОДНОГО ПРОБЕГА МОЛЕКУЛ

При тепловом движении молекулы непрерывно сталкиваются друг с другом. Между двумя последовательными соударениями молекулы движутся прямолинейно и равномерно, проходя при этом некоторые расстояния λ, называемые дли-

нами свободных пробегов. Эти расстояния раз-

личны. Вследствие этого, для характеристики теплового движения молекул в газе вводится

неподвижны. При этом она движется со средней скоростью <υ>. При каждом столкновении молекула изменяет направление своего движения. Поэтому её траектория имеет форму запутанной ломаной линии. Для удобства спрямим эту траекторию, как показано на рис. 41.1. Это не отражается на расчёте числа столкновений, поскольку форма траектории не играет здесь никакой роли. Рассматриваемая молекула за время t пройдёт путь l = <υ>t. При этом она столкнётся со всеми молекулами, центры которых лежат в цилиндре длиной l и радиусом основания d (см. рис. 41.1, где показано сечение цилиндра плоскостью чертежа). Число молекул N в этом цилиндре равно: N = nSl = nπd2<υ>t, где n — концентрация молекул, т.е. число молекул в единице объёма, и S = πd2 — площадь основания. За 1 с молекула испытывает в среднем <ν> столкновений: <ν> = N/t = πd2n<υ>. В действительности же все молекулы движутся. В силу этого, число соударений определяется их средней относительной скоростью, которая, как показывают расчёты, в

2 раз больше скорости <υ> относительно стенок сосуда. Поэтому среднее число столкновений за секунду будет равно

2. Если бы молекула двигалась без соударений, то она за одну секунду пролетела бы расстояние, численно равное её средней скорости. В действительности же она за одну секунду испытывает <ν> соударений. Вследствие этого, среднее время <τ > свободного пробега молекулы равно <τ> = 1/<ν>. Тогда средняя длина сводного пробега равна <λ> = <υ> <τ> = < υ > / < ν >. С учётом (41.1)

108

Из формулы (35.2) следует: n = P/ kT, где k — постоянная Больцмана, P и T — давление и температура газа. С учётом этого, из (41.2) получаем, что

возрастает с повышением температуры и с понижением давления. При нормальных условиях средняя длина свободного пробега молекул газа — порядка 10–7 м, а среднее число столкновений ~1010.

§42. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Теплопроводностью называется процесс распространения теплоты от более нагретых элементов тела к менее нагретым. Этот процесс приводит к выравниванию температур. Отличительной чертой этого процесса является атомно-молекулярный характер переноса энергии, не связанный с макроскопическими перемещениями в теле. Примером может служить повышение температуры конца металлического стержняпринагреванииегодругогоконца.

Строгийрасчёт явленийпереноса достаточно сложен. Поэтому остановимся наупрощенных вариантах выводов, которые правильно описывают закономерности явлений. При молекулярном объяснении явлений переноса в газах полезным оказывается приём, предложенный Джоулем и состоящий в следующем. Представим, что вместо беспорядочного движения молекул с различными скоростями, молекулы движутся вдоль трёх взаимно перпендикулярных направлений, которые обычно принимают за координатные оси x, y и z, с одинаковой скоростью, равной средней скорости <υ> теплового движения, рассчитываемой по формуле (33.5). Поскольку движение молекул вдоль любой координатной оси в обоих направлениях равновероятно, то в положительном направлении, например, координатной оси x движется лишь одна шестая часть от общего числа молекул N, т.е. N/6. Этот приём неучитывает влияния молекулярных столкновений. Поэтому им можно пользоваться лишь тогда, когда соударения молекул не играют никакой роли. В частности, его можно применить в слое газа, толщинакоторогонепревышаетсреднейдлинысвободногопробегамолекул.

Используя молекулярно-кинетические представления, найдём закон теплопроводности газов. Предположим, что температура газа в разных точках различна. Тогда и средняя кинетическая энергия молекул в этих точках также различна. Молекулы вследствие теплового движения переносят кинетическую энергию, которой они обладают. Этот перенос энергии и обусловливает процесс теплопроводности в газах. Рассмотрим газ, в котором температура уменьшается в положительном направлении координатной оси x, а в плоскости, перпендикулярной к этой оси, она во всех точках одинакова. Мысленно выделим в газе плоскую площадку площадью S, перпендикулярную к оси x. Перенос энергии через неё могут осуществлять лишь те молекулы, которые отстоят от неё на расстоя-

109