ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

__________________________________________________________

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра физики

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЛАБОРАТОРНЫМ РАБОТАМ ПО ФИЗИКЕ

для студентов специальностей 060811, 060815, 240400, 290300, 290600, 290700, 290800, 291000, 2911000, 550100.

МЕХАНИКА

Казань

2005

υ = ωR.

Тангенциальное и нормальное ускорения при вращательном движении могут быть выражены в виде:

aτ = εR , an = ω2R

Основной закон динамики (второй закон Ньютона) выражается уравнением:

F dt = d(mυ).

Если масса m постоянна, то:

F = m ddtυ = ma,

где a — ускорение, которое приобретает тело массой m под действием си-

лы F. Работа силы Fr на пути s может быть выражена формулой:

A = ∫Fsds ,

s

где Fs — проекция силы на элементарное перемещение d sr, ds — длина элементарного перемещения. Интегрирование должно быть распространено на весь путь s. В случае постоянной силы, действующей под углом α к перемещению, имеем:

r A = F s сos α,

где α — угол между силой F и перемещением s . Мощность определяется формулой:

N = dAdt .

В случае постоянной мощности:

N = At .

Здесь A — работа, совершаемая за время t. Мощность может быть определена также формулой:

N = Fυ сos α,

т.е. произведением скорости движения на проекцию силы на направление движения.

Для кинетической энергии тела массой m, движущегося со скоростью υ, имеем

4

Wk = m2υ2 .

Формулы для потенциальной энергии имеют разный вид в зависимости от характера действующих сил.

Импульс замкнутой механической системы постоянен при любых взаимодействиях тел системы, т.е.

m1υr1 +m2υ2 +…+mnυn = const.

Полная механическая энергия W системы, между телами которой действуют консервативные силы, постоянна, т.е.

W = Wk +Wp = const,

где Wp — потенциальная энергия системы.

Работа A неконсервативных сил равна изменению механической энергии системы, т.е. A = W2 −W1 , W2 и W1 — механическая энергия сис-

темы в конечном и начальном состоянии.

При криволинейном движении сила, действующая на материальную точку, может быть разложена на две составляющие — тангенциальную и нормальную. Нормальная составляющая

Fn = mυ2 / R

является центростремительной силой. Здесь υ — линейная скорость движения тела массой m, R — радиус кривизны траектории в данной точке.

Сила, вызывающая упругую деформацию x, пропорциональна деформации, т.е.

F = k x,

где k — жёсткость (коэффициент, численно равный силе, вызывающей деформацию, равную единице).

Потенциальная энергия упруго деформированного тела

= kx2 Wp 2

Две материальные точки (т.е. такие тела, размеры которых малы по сравнению с их взаимным расстоянием) притягиваются друг к другу с силой

F = G m1m2 , r 2

где G = 6,672 10–11 Н м/кг2 — гравитационная постоянная, m1 и m2 — массы взаимодействующих материальных точек, r — расстояние между ними. Этот закон справедлив и для однородных шаров; при этом r — расстояние между их центрами масс.

5

Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия тел

W = −G m1m2 . r

Знак "минус" соответствует тому, что при r = ∞ потенциальная энергия двух взаимодействующих тел равна нулю; при сближении этих тел потенциальная энергия убывает.

Момент M силы F относительно какой-нибудь оси вращения определяется формулой

M = F l,

где l — расстояние от прямой, вдоль которой действует сила, до оси вращения.

Моментом инерции материальной точки относительно какой-нибудь оси вращения называется величина

I = m r2,

где m — масса материальной точки и r — её расстояние до оси вращения. Момент инерции твёрдого тела относительно оси его вращения

I = ∫r 2 dm ,

где интегрирование должно быть распространено на весь объём тела. Производя интегрирование, можнополучитьмоментинерциителалюбойформы.

Момент инерции сплошного однородного цилиндра (диска) относительно оси цилиндра

I = mR2 2 ,

где R — радиус цилиндра и m — его масса.

Момент инерции полого цилиндра (обруча) с внутренним радиусом R1 и внешним R2 относительно оси цилиндра

для тонкостенного полого цилиндра R12≈ R2 = R и I ≈ mR2.

Момент инерции однородного шара радиусом R относительно оси, проходящей через его центр:

I = 52 mR2 .

Момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через его середину перпендикулярно к нему,

I = ml 2 . 12

6

Если для какого-либо тела известен его момент инерции Ic относительно любой оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции I относительно любой оси, параллельной первой, может быть найден по формуле Штейнера

I = Ic + md 2 ,

где m — масса тела и d — расстояние от центра масс тела до оси вращения. Основной закон динамики вращательного движения выражается

уравнением

M dt = dL = d(Iω),

где M — момент сил, приложенный к телу, L — момент импульса тела (I — момент инерции тела, ω — его угловая скорость). Если I = const, то

M = I ddtω = Iε,

где ε — угловое ускорение, приобретаемое телом под действием момента сил M.

Кинетическая энергия вращающегося тела

Wk = Iω22 ,

где I — момент инерции тела и ω — его угловая скорость.

ЗАДАЧИ

1 (1.2). Первую половину своего пути автомобиль двигался со скоростью υ1 = 80 км/ч, а вторую половину со скоростью υ2 = 40 км/ч. Какова средняя скорость υ движения автомобиля?

2 (1.8). Тело, брошенное вертикально вверх, вернулось на землю через время t = 3 с. Какова была начальная скорость υ0 тела и на какую высоту h оно поднялось?

3 (1.9). Камень бросили вертикально вверх на высоту h = 10 м. Через какое время t он упадёт на землю? На какую высоту h поднимется камень,

мень. Через какое время t камень достигнет земли, если: а) аэростат поднимается со скоростью υ = 5 м/с; б) аэростат опускается со скоростью υ = 5 м/с; в) аэростат неподвижен?

5 (1.12). Тело падает с высоты h = 19,6м с начальной скоростью υ0 = 0. Какой путь пройдёт тело за первую и последнюю 0,1 с своего движения?

6 (1.14). Свободно падающее тело в последнюю секунду движения проходит половину всего пути. С какой высоты падает тело и каково время t его падения?

7

7 (1.16). Расстояние между двумя станциями метрополитена l = 1,5 км. Первую половину этого расстояния поезд проходит равноускоренно, вторую — равнозамедленно с тем же по модулю ускорением. Максимальная скорость поезда υ = 50 км/ч. Найти ускорение a и время t движения поезда между станциями.

8 (1.18). Поезд, двигаясь равнозамедленно, в течение времени t = 1 мин уменьшает свою скорость от υ1 = 40 км/ч до υ2 = 28 км/ч. Найти ускорение a поезда и расстояние s, пройденное им за время торможения.

9 (1.19). Поезд движется равнозамедленно, имея начальную скорость υ0 = 54 км/ч и ускорение a = –0,5 м/с2. Через какое время t и на каком расстоянии s от начала торможения поезд остановится?

10(1.20). Тело 1 движется равноускоренно, имея начальную скорость υ10 и ускорение a1. Одновременно с телом 1 начинает двигаться равнозамедленно тело 2, имея начальную скорость υ20 и ускорение a2. Через какое время после начала движения оба тела будут иметь одинаковую скорость?

11(1.22). Зависимость пройденного телом пути s от времени t даётся

уравнением s = At − Bt 2 + Ct 3 , где A = 2 м/с, B = 3 м/с2 и C = 4 м/с3. Найти: а) зависимость скорости υ и ускорения a от времени t; б) расстояние s, пройденное телом, скорость υ и ускорение a тела через время t = 2 с после начала движения.

12 (1.25). Зависимость пройденного телом пути s от времени t даётся уравнением s = A + Bt +Ct2 +Dt3 , где C = 0,14 м/с2 и D = 0,01 м/с3. Через какое время t после начала движения тело будет иметь ускорение a = 1 м/c2. Найти среднее ускорение aср тела за этот промежуток времени.

13 (1.26). С башни высотой h = 25 м горизонтально брошен камень со скоростью υ = 15 м/с. Какое время t камень будет в движении? На каком расстоянии l от основания башни он упадёт на землю? С какой скоростью υ он упадёт на землю? Какой угол ϕ составит траектория камня с горизонтом в точке его падения на землю?

14 (1.27). Камень, брошенный горизонтально, упал на землю через время t = 0,5 c на расстоянии l = 5 м по горизонтали от места бросания. С какой высоты h брошен камень? С какой скоростью υ0 он брошен? С какой скоростью υ он упадёт на землю? Какой угол ϕ составит траектория камня с горизонтом в точке его падения на землю?

15 (1.28). Мяч, брошенный горизонтально ударяется о стенку, находящуюся на расстоянии l = 5 м от места бросания. Высота места удара мяча о стенкуна h = 1 мменьшевысотыh, скоторой брошен мяч. Скакойскоростью υx брошенмяч? Подкакимугломϕмячподлетаеткповерхностистенки?

16 (1.29). Камень, брошенный горизонтально, через время t = 0,5 с после начала движения имел скорость υ в 1,5 раза большую скорости υx в момент бросания. С какой скоростью υx брошен камень?

8

17 (1.32). Мяч брошен со скоростью υ0 = 10 м/с под углом α = 40° к горизонту. На какую высоту h поднимется мяч? На каком расстоянии l от места бросания он упадёт на землю? Какое время t он будет в движении?

18 (1.33). На спортивных состязаниях в Ленинграде спортсмен толкнул ядро на расстояние l1 = 16,2м. На какое расстояние l2 полетит такое же ядро в Ташкенте при той же начальной скорости и при том же угле накло-

α = 45° к горизонту, упал на землю на расстоянии l от места бросания. С

какой высоты h надо бросить камень в горизонтальном направлении, чтобы при той же начальной скорости υ0 он упал на то же место?

20 (1.40). Мяч, брошенный со скоростью υ0 = 10 м/с под углом α = 45° к горизонту, ударяется о стенку, находящуюся на расстоянии l = 3 м от места бросания. Когда происходит удар мяча о стенку (при подъёме мяча или при его опускании)? На какой высоте h мяч ударит о стенку (считая от высоты, с которой брошен мяч)? Найти скорость υ мяча в момент удара.

§ 2. КИНЕМАТИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

1 (1.41). Найти угловую скорость ω: а) суточного вращения Земли; б) часовой стрелки на часах; в) минутной стрелки на часах; г) искусственного спутника Земли, движущегося по круговой орбите с периодом вращения Т = 88 мин. Какова линейная скорость υ движения этого искусственного спутника, если известно, что его орбита расположена на расстоянии h = 200 км от поверхности Земли?

2 (1.44). Ось с двумя дисками, расположенными на расстоянии l = 0,5 м друг от друга, вращается с частотой n =1600 об/мин. Пуля, летящая вдоль оси, пробивает оба диска; при этом отверстие от пули во втором диске смещено относительно отверстия в первом диске на угол ϕ = 12°. Найти скорость υ пули.

3 (1.45). Найти радиус R вращающегося колеса, если известно, что линейная скорость υ1 точки, лежащей на ободе, в 2,5 раза больше линейной скорости υ2 точки, лежащей на расстоянии l = 5 см ближе к оси колеса.

4 (1.46). Колесо, вращаясь равноускоренно, достигло угловой скорости ω = 20 рад/с через N = 10 об после начала вращения. Найти угловое ускорение ε колеса.

5 (1.47). Колесо, вращаясь равноускоренно, через время t = 1 мин после начала вращения приобретает частоту n = 720 об/мин. Найти угловое ускорение колеса и число оборотов N колеса за это время.

6 (1.48). Колесо, вращаясь равнозамедленно, за время t = 1 мин уменьшило свою частоту с n1 = 300 об/мин до n2 = 180 об/мин. Найти угловое ускорение ε колеса и число оборотов N колеса за это время.

7 (1.49). Вентилятор вращается с частотой n = 900 об/мин. После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки

9

N = 75 об. Какое время t прошло с момента выключения вентилятора до полной его остановки?

8 (1.50). Вал вращается с частотой n = 180 об/мин. С некоторого момента вал начал вращаться равнозамедленно с угловым ускорением ε = 3 рад/с2. Через какое время t вал остановится? Найти число оборотов N вала до остановки.

9 (1.51). Точка движется по окружности радиусом R = 20 см с постоянным тангенциальным ускорением aτ = 5 см/с2. Через какое время после начала движения нормальное ускорение an точки будет: а) равно тангенциальному; б) вдвое больше тангенциального?

10 (1.52). Точка движется по окружности радиусом R = 10 см с поcтоянным тангенциальным ускорением aτ. Найти тангенциальное ускорение aτ точки, если известно, что к концу пятого оборота после начала движения линейная скорость точки υ = 79,2 см/с.

11 (1.53). Точка движется по окружности радиусом R = 10 см с постоянным тангенциальным ускорением aτ. Найти нормальное ускорение an точки через время t = 20 с после начала движения, если известно, что к концу пятого оборотапосленачаладвижениялинейнаяскоростьточкиυ= 10 см/с.

12 (1.54). В первом приближении можно считать, что электрон в атоме водорода движется по круговой орбите с линейной скоростью υ. Найти угловую скорость вращения электрона вокруг ядра и его нормальное ускорение an. Считать радиус орбиты r = 0,5 10–10 м и линейную скорость электрона на этой орбите υ = 2,2·106 м/с.

13 (1.55). Колесо радиусом R = 10 см вращается с угловым ускорением ε = 3,14 рад/с2. Найти для точек на ободе колеса к концу первой секунды после начала движения: а) угловую скорость ω; б) линейную скорость υ; в) тангенциальное ускорение aτ ; г) нормальное ускорение an ; д) полное ускорение a; е) угол α, составляемый вектором полного ускорения с радиусом колеса.

14 (1.56). Точка движется по окружности радиусом R = 2 см. Зависимость пути от времени даётся уравнением s = Ct 3 , где C = 0,1 см/с3. Найти нормальное an и тангенциальное aτ ускорения точки в момент, когда линейная скорость точки υ = 0,3 м/с.

15 (1.57). Точка движется по окружности так, что зависимость пути от времени даётся уравнением s = A − Bt + Ct 2 , где B = 2 м/с и C = 1 м/с2. Найти линейную скорость υ точки, её тангенциальное aτ , нормальное an и полное a ускорения через время t = 3 c после начала движения, если из-

вестно, что при t = 2 с нормальное ускорение точки an = 0,5 м/с2.

16 (1.58). Найти угловое ускорение ε колеса, если известно, что через время t = 2 с после начала движения вектор полного ускорения точки, лежащей на ободе, составляет угол α = 60° с вектором её линейной скорости.

17 (1.59). Колесо вращается с угловым ускорением ε = 2 рад/с2. Через время t = 0,5 с после начала движения полное ускорение колеса a = 13,6 см/с2. Найти радиус R колеса.

10