Краткий курс математического анализа. Том 1

237.В чем заключается необходимое условие локального экстремума

вточке x0, если функция дифференцируема в этой точке?

238.Какие точки называются критическими точками функции? Стационарными?

239.Как определяются точки возрастания (убывания) функции?

240.Что можно сказать о приращении функции в точках локального минимума (максимума)? В точках возрастания (убывания)?

241.Что означает, что данная точка не является точкой локального экстремума?

242.Каково достаточное условие для того, чтобы данная точка была точкой возрастания (убывания) функции?

243.Может ли производная функции в точке строгого возрастания (убывания) обращаться в нуль?

244.Сформулировать условие существования в данной точке локального экстремума в терминах первой производной.

245.Сформулировать условие того, что данная точка является точкой возрастания (убывания) функции.

246.Сформулировать условие существования в данной точке локального экстремума в терминах старших производных функции.

247.Сформулировать в терминах старших производных функции условие того, что данная точка является точкой возрастания (убывания).

248.Что означает, что функция выпукла вверх (вниз) на интервале?

249.Привести достаточное условие выпуклости функции на интервале.

250.Что означает, что данная точка является точкой перегиба (графика) функции?

251.Как расположен график выпуклой функции относительно касательных?

252.В чем заключается необходимое условие существования в данной точке перегиба?

253.В чем состоит достаточное условие для наличия в данной точке перегиба?

254.Что означает, что функция имеет асимптоту при x → ∞ (−∞, +∞)? Вертикальную асимптоту?

255.В чем заключается необходимое и достаточное условие существования у функции асимптоты при x → ∞ (−∞, +∞)?

§16

256.Что называется вектор-функцией? Координатными функциями вектор-функции?

257.Дать определение предела вектор-функции.

258.Как связаны предел вектор-функции и пределы координатных функций?

283.В каком случае можно определить касательную в особой точке кривой?

284.Как определяется гладкая кривая?

285.Как определяется объединение кривых? Какие кривые называются кусочно-гладкими?

286.Что называется разбиением отрезка?

287.Что называется длиной кривой?

288.Какие кривые называются спрямляемыми?

289.Будет ли спрямляемой непрерывно дифференцируемая кривая? Какие оценки имеют место для длины непрерывно дифференцируемой кривой?

290.Что можно сказать о переменной длине дуги непрерывно дифференцируемой кривой? Чему равна производная переменной длины дуги непрерывно дифференцируемой кривой?

291.Почему на гладкой кривой в качестве параметра можно взять переменную длину дуги кривой?

292.Чему равен модуль производной радиус-вектора точек непрерывно дифференцируемой кривой, если в качестве параметра выбрана длина дуги?

§18

293.Что называется кривизной кривой в данной точке? Что называется радиусом кривизны кривой в данной точке?

294.Как вычисляется кривизна дважды дифференцируемой кривой без особых точек?

295.Как определяется главная нормаль к кривой? Каков геометрический смысл главной нормали?

296.Как определяется соприкасающаяся плоскость?

297.Как выглядит уравнение соприкасающейся плоскости?

298.Как определяется центр кривизны кривой?

299.Что называется эволютой кривой? Каково ее уравнение?

300.Как вычисляется кривизна плоской кривой, заданной явно?

301.В чем заключается смысл кривизны плоской кривой, заданной явно?

§19

302.Что называется первообразной функцией (первообразной) заданной на некотором промежутке функции f ?

303.Как связаны между собой первообразные одной и той же функции?

304.Что называется неопределенным интегралом функции?

305.Чему равен неопределенный интеграл от дифференциала и дифференциал от неопределенного интеграла?

306.Чему равен неопределенный интеграл от произведения функции на постоянный множитель? Чему равен неопределенный интеграл от суммы двух функций?

307.В чем заключается формула интегрирования подстановки переменной в неопределенном интеграле?

308.В чем заключается формула интегрирования по частям?

§23

309.Что называется разбиением отрезка? Мелкостью разбиения?

310.Что означает, что разбиение τ вписано в разбиение τ ? Как построить разбиение, вписанное в два данных разбиения?

311.Что называется интегральной суммой Римана? Каков геометрический смысл интегральных сумм Римана неотрицательной функции?

312.Что означает, что функция интегрируема по Риману на отрезке? Что называется интегралом Римана функции f на отрезке?

313.Сформулировать ε–δ-определение интеграла Римана.

314.Какими соглашениями дополняют определение интеграла?

315.В чем заключается необходимое условие интегрируемости функции?

316.Привести пример функции, ограниченной на отрезке, но не интегрируемой на нем.

317.Как определяются нижняя и верхняя суммы Дарбу?

318.Как соотносятся между собой интегральные суммы Дарбу и Римана, построенные по данному разбиению отрезка?

319.Как связаны между собой интегральные суммы Дарбу, отвечающие разным разбиениям отрезка?

320.Как можно записать разность между верхней и нижней суммами Дарбу для данной функции?

321.Что называется нижним и верхним интегралом Дарбу функции? Как связаны между собой эти интегралы? Вычислите верхний

инижний интегралы Дарбу по отрезку [a, b] для функции Дирихле.

322.В чем состоит необходимое и достаточное условие интегрируемости функции?

323.Что можно сказать о пределе верхних и нижних сумм Дарбу интегрируемой функции, когда мелкость разбиения стремится к нулю?

324.Привести примеры классов интегрируемых функций.

§24

325.В чем заключается свойство аддитивности интеграла?

326.Что означает, что функция кусочно-непрерывна на отрезке? Из каких свойств интеграла следует интегрируемость кусочнонепрерывных функций?

327.Что можно сказать об арифметических операциях над интегрируемыми функциями? В чем состоит свойство линейности интеграла?

328.Можно ли интегрировать неравенства?

329.Какое утверждение верно: а) из интегрируемости модуля функции следует интегрируемость функции; б) из интегрируемости функции следует интегрируемость ее модуля? Как связаны интеграл от функции и интеграл от ее модуля?

330.Когда интеграл от функции неотрицателен, строго положителен?

331.В чем заключается свойство непрерывности интеграла по верхнему (нижнему) пределу интегрирования?

x

332. Изобразить график интеграла f (t) dt с переменным верхним

0

пределом от функции f (x), где f (x) = x для x [0, 1] и f (x) = 0 для x (1, 2].

333.В чем заключается интегральная теорема о среднем?

334.Можно ли применить теорему о среднем к интегралу по отрезку [0, π] от произведения функций f (x) = g(x) = sin 2x?

§25

335.Когда интеграл с переменным пределом интегрирования является дифференцируемой функцией? Чему равна его производная?

336.У каких функций существует первообразная на промежутке?

337.В чем заключается формула Ньютона–Лейбница?

§26

338.В чем состоит формула замены переменной в интеграле Римана?

339.В чем состоит формула интегрирования по частям для интеграла Римана?

340.В чем заключается формула Валлиса?

§27

341.Как определяется квадрат ранга k?

342.Что называется площадью (мерой) плоского множества?

343.Что называется объемом (мерой) множества в R3?

344.Как связаны площади вложенных множеств?

§28

345.Что называется криволинейной трапецией? Чему равна площадь криволинейной трапеции?

346.Чему равна площадь сектора?

347.Как вычисляется длина непрерывно дифференцируемой кривой?

348.Что называется площадью поверхности вращения?

349.Чему равна площадь боковой поверхности вращения?

350.Чему равен объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции вокруг соответствующей оси координат?

351.В чем заключаются теоремы Гульдина?

415.Что можно сказать о равномерной сходимости ряда, полученного почленным умножением членов равномерно сходящегося ряда на ограниченную функцию? На неограниченную функцию?

416.В чем состоит признак Вейерштрасса равномерной сходимости функциональных рядов?

417.В чем заключается признак Дирихле–Харди равномерной сходимости функциональных рядов?

418.В чем заключается признак Абеля–Харди равномерной сходимости функциональных рядов?

419.При каких условиях сумма функционального ряда непрерывна в данной точке? Предел функциональной последовательности непрерывен в данной точке?

420.Привести достаточное условие, при котором возможно почленное интегрирование функциональных рядов.

421.Привести достаточное условие, при котором возможен предельный переход под знаком интеграла.

422.При каких условиях сумма ряда является непрерывно дифференцируемой функцией? Чему в этом случае равна производная суммы ряда?

423.Когда предел функциональной последовательности является непрерывно дифференцируемой функцией? Чему в этом случае равна производная предела последовательности?

424.Доказать непрерывную дифференцируемость при x > 1 функ-

∞

ции Римана f (x) = n1x .

k=1

§32

425.Какой ряд называется степенным?

426.Что можно сказать о точках сходимости (расходимости) степен-

∞

ного ряда akzk , если он сходится (расходится) в точке z0 = 0?

k=0

427.Что называется радиусом сходимости степенного ряда?

428.Можно ли утверждать, что степенные ряды сходятся: а) абсолютно, б) равномерно на своих множествах сходимости?

429.Привести примеры степенных рядов, имеющих радиусы сходимости, равные 0, 1 и +∞.

430.Какие функции называются аналитическими в данной точке?

431.В чем состоит вторая теорема Абеля?

n=0

на отрезке [0, R], где R — радиус сходимости данного ряда?

433.Что называется действительной аналитической функцией?

434.Какими свойствами обладает сумма степенного ряда?