Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

МИРЭА - Российский технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Краткий курс математического анализа. Том 1

.pdf

Скачиваний:

752

Добавлен:

10.05.2015

Размер:

5.57 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 4530 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 > Следующая >>>

§ 25. Определенный и неопределенный интеграл

287

Зададим произвольно ε > 0. В силу непрерывности функции f в точке x0 существует такое δ > 0, что если |t − x0| < δ и t [a, b], то

|f (t) − f (x0)| < ε.

(25.3)

Пусть

x таково, что | x| < δ; тогда для всех значений t, при-

надлежащих отрезку с концами x0 и x0 +

x (по которому ведется

интегрирование в неравенстве (25.2)), будем иметь |t − x0| | x| < δ

и, следовательно,

|f (t) − f (x0)| < ε.

(25.4)

Поэтому

x0+Δx

F (x0)

−

f (x0)

f (t)

−

f (x0)

x0+Δx

(25.2) |

(25.4)

(25.4) | x|

dt = ε.

Это, согласно определению предела, и означает, что

lim

F (x0)

= f (x0), и, таким образом, формула (25.1) доказана. x→0

Для доказательства следствия достаточно заметить, что равенство (25.1) в случае непрерывной на отрезке функции имеет место во всех точках этого отрезка.

З а м е ч а н и е. Из доказанного следует, что в условиях теоремы 1

функция	b
	b
	G(x) = f (t) dt
	x
также имеет производную в точке x0 и
	G (x0) = −f (x0).	(25.5)

Это сразу следует из формулы (25.1), ибо (см. (24.26))

G(x) = f (t) dt − F (x)

и f (t) dt — постоянная величина.

Если функция f непрерывна на отрезке [a, b], то для каждой его точки x справедливы формулы

	x		b
d	f (t) dt = f (x),	d	f (t) dt = −f (x).	(25.6)
dx	f (t) dt = f (x),	dx	f (t) dt = −f (x).	(25.6)

288 Гл. 2. Интегральное исчисление функций одной переменной

25.2. Существование первообразной.

Те о р е м а 2. Если функция f непрерывна во всех точках некоторого промежутка 1), то на этом промежутке у нее существует первообразная; при этом если x0 — какая-либо точка рассматриваемого промежутка , то функция

x
F (x) = f (t) dt, x ,	(25.7)
x0
является одной из первообразных функций f на промежутке .

Достаточно проверить, что функция (25.7) действительно явля-

ется первообразной функции f. Если x > x0, x , то равенство
F (x) = f (x) сразу следует из теоремы 1. Если же x < x0, x								, то
		x				x0
F (x) =	d		f (t) dt =		d	f (t) dt =	( f (x)) = f (x).
F (x) =			f (t) dt =	−dx		f (t) dt =	( f (x)) = f (x).
(25.7) dx				−dx		(25.6)	− −
		x0				x

З а м е ч а н и е 1. Совокупность всех первообразных непрерывной

на некотором промежутке	функции f составляет неопределенный
интеграл f (x) dx, x ,	x
интеграл f (x) dx, x ,	а определенный интеграл f (t) dt, x0 ,
	x0
x , является одной из первообразных функции f на . Поскольку

две любые первообразные отличаются на постоянную, то понимая под f (x) dx произвольную первообразную функции f на промежутке ,

имеем	x
	f (x) dx = f (t) dt + C,	(25.8)
	x0

где C — произвольная постоянная. Так выглядит связь между неопределенным и определенным интегралами. Из теоремы 2 следует, что у всякой непрерывной на некотором промежутке функции существует на этом промежутке неопределенный интеграл.

Те о р е м а 3 (основная теорема интегрального исчисления). Если функция f непрерывна на отрезке [a, b], то, какова бы ни была на этом отрезке ее первообразная Φ, справедлива формула

f (t) dt = Φ(b) − Φ(a),

(25.9)

называемая формулой Ньютона–Лейбница.

1) т. е. на отрезке, интервале или полуинтервале (конечных или бесконечных).

§ 25. Определенный и неопределенный интеграл	289
x

По теореме 2 функция F (x) = f (t) dt является первообразной

функции f на отрезке [a, b]. Если aΦ — какая-либо первообразная на [a, b] той же функции f , то они отличаются на постоянную, т. е.

существует такая постоянная C, что для всех x [a, b] имеет место
равенство
x
f (t) dt = Φ(x) + C.		(25.10)
a
	a
Положив здесь x = a и вспомнив, что	f (t) dt = 0,	получим C =
	a
= −Φ(a). Подставив это значение в формулу (25.10), будем иметь
x	x [a, b].
f (t) dt = Φ(x) − Φ(a),	x [a, b].

Формула (25.9) получается отсюда при x = b.

Отметим, что формула Ньютона–-Лейбница (25.9) справедлива и для a > b. Действительно, если в ней поменять местами a и b, то обе части равенства (25.9) изменят знак на противоположный.

З а м е ч а н и е 2. В формуле (25.9) Φ (t) = f (t). Поэтому ее можно

записать в виде

Φ (t) dt = Φ(b)	−	Φ(a),	(25.11)
	−

т. е. интеграл от непрерывной производной равен разности значений самой функции на концах отрезка, по которому производится интегрирование.

З а м е ч а н и е 3. С помощью формулы (25.11) нетрудно показать, что формула Ньютона–Лейбница (25.9) остается верной и в случае, когда функция Φ непрерывна, а ее производная f кусочно-непрерывна на отрезке [a, b] (см. замечание 3 в п. 24.1), а равенство Φ (x) = f (x) выполняется во всяком случае во всех точках непрерывности функции f.

Примером такой функции Φ является, (см. теоремы 1 и 2),

функция

Φ(x) = f (t) dt.

где f — кусочно-непрерывная на отрезке [a, b] функция.

10 Л. Д. Кудрявцев

290 Гл. 2. Интегральное исчисление функций одной переменной

П р и м е р ы. 1. Вычислить значение интеграла x3 dx. Поскольку

	x4					0
x3 dx =	x4	+ C, то по формуле Ньютона–Лейбница получим
x3 dx =		+ C, то по формуле Ньютона–Лейбница получим
4
			1	0 = 41 .
			0 x3 dx = x4	0 = 41 .
			4		1

			π/2
2. Найдем значение интеграла					cos x dx. Имеем
			−π/2
		π/2			π/2
					π/2
		−				= 2.
			π/2 cos x dx = sin x −π/2			= 2.

§26. Формулы замены переменной

иинтегрирования по частям

вопределенном интеграле

26.1.Формула замены переменной. Пусть функция f (x)

задана на промежутке		x, а функция ϕ(t)			— на промежутке			t
и ϕ(Δt)	x. Тогда имеет смысл композиция f ◦ ϕ,						т. е. сложная
		функция f (ϕ(x)).
		Те о р е м а			1.	Если функция f (x)
		непрерывна		на		промежутке		x,
		а функция		ϕ(t) непрерывна вместе
		со своей производной ϕ (t) на проме-
		жутке	t,	то
		b		β
		f (x) dx = f (ϕ(t))ϕ (t) dt, (26.1)
		a		α
		где	α		t,	β	t,
			α		t,	β	t,
			a = ϕ(α),			b = ϕ(β)
		(рис. 104).
Формула (26.1) называется формулой замены переменной в опре-
деленном интеграле.

§ 26. Формулы замены переменной и интегрирования по частям 291

Пусть F (x) — какая-либо первообразная для функции f (x) на промежутке x; тогда функция F (ϕ(t)) является первообразной для функции f (ϕ(t))ϕ (t) на промежутке t, ибо

	d	F (ϕ(t)) = F (ϕ(t))ϕ (t) = f (ϕ(t))ϕ (t).
	dt	F (ϕ(t)) = F (ϕ(t))ϕ (t) = f (ϕ(t))ϕ (t).
	dt
Поэтому по теореме Ньютона–Лейбница
β			−		−		b
f (ϕ(t))ϕ (t) dt = F (ϕ(β))			−	F (ϕ(α)) = F (b)	−	F (a) =	f (x) dx.
f (ϕ(t))ϕ (t) dt = F (ϕ(β))				F (ϕ(α)) = F (b)		F (a) =	f (x) dx.
α							a

26.2. Формула интегрирования по частям.

Те о р е м а 2. Если функции u(x) и v(x) непрерывны вместе со своими производными на отрезке [a, b], то

b	b	(26.2)
a u dv = uv ab	− a v du.	(26.2)

Формула (26.2) называется формулой интегрирования по частям

для определенного интеграла.Имеем

b	b	b	b
	(uv) dx = (uv + u v) dx =	u dv +	v du.	(26.3)
a	a	a	a

Все интегралы в (26.3) существуют, поскольку подынтегральные функции непрерывны. Для интеграла в левой части равенства, согласно формуле Ньютона–Лейбница, имеем

(uv) dx = uv ba.

Подставив выражение, стоящее в правой части последнего равенства, в (26.3), получим

b	b
	b
u dv +		,
u dv +	v du = uv a	,

что равносильно (26.2).

З а м е ч а н и е. Можно доказать, что формула интегрирования по частям (26.2) остается верной и в том случае, когда функции u и v непрерывны, а их производные кусочно-непрерывны (см. п. 24.1).

10*

292 Гл. 2. Интегральное исчисление функций одной переменной

П р и м е р ы. 1. Применим формулу интегрирования по частям для

	2
вычисления интеграла	ln x dx:
	1
2	2
ln x dx = x ln x\|12 − dx = 2 ln 2 − 1.
1	1

2. Приведем пример интеграла, при вычислении которого применим и замену переменной, и интегрирование по частям. Вычислим

интеграл I =

sin x √

dx.

1 + cos2 x

а затем проинтег-

Сделав сначала замену переменной t = cos x,

рировав по частям, получим

1 + t2

I =

0 sin x 1 + cos2 x dx =

1 + t2 dt =

dt =

−

1 + t2

−

−1 +

1 t

= ln t + 1 + t2

1 t d 1 + t2

−

1 + t2

−

1 + t2

−

t dt

√

+ 1

= ln

√

− 1

+ t 1 + t2 −1

−

1 + t2 dt = 2 ln(1 + √2 ) + 2√2 − I.

−

Из получившегося относительно I уравнения находим

√

I = ln (1 +

) +

2 .

Заметим, рассмотренный интеграл можно вычислить и применяя

только замену переменной. Для этого можно воспользоваться, на-
пример, уже вычисленным неопределенным интегралом						√		dx
пример, уже вычисленным неопределенным интегралом						√	1 + x2	dx
(пример в п. 19.4).
3. Покажем, что для любого n = 1, 2, ...
π/2	π/2	(n − 1)!! π		при	n	четном,
In = sinn x dx =	cosn x dx =	(n n!!1)!!	2	при		четном,
0	0	−		при n нечетном.
		n!!				(26.4)

Под n!!, n N, понимается произведение всех натуральных чисел, не превышающих n и имеющих ту же четность, что и число n:

(2n)!! = 2 · 4 · ... · (2n − 2) · 2n,

(2n + 1)!! = 1 · 3 · 5... · (2n − 1) · (2n + 1).

По определению 0!! = 1.

§ 26. Формулы замены переменной и интегрирования по частям 293

				π/2			π
Положив для удобства			I0 =		dx =		π	и проинтегрировав по
Положив для удобства			I0 =		dx =	2		и проинтегрировав по
				0		2
частям интеграл In				0
частям интеграл In		при n 2, имеем
π/2	π/2
In =	sinn x dx =	sinn−1 x d(− cos x) =
0		0			π/2
					π/2
		π/2		+ (n −	1)	sinn−2 x cos2 x dx =
	= − sinn−1 x cos x 0			+ (n −	1)	sinn−2 x cos2 x dx =

π/2

= (n − 1) sinn−2 x(1 − sin2 x) dx = (n − 1)In−2 − (n − 1)In,

откуда

n − 1

(26.5)

n−2

Заметим, что

π/2

I1 =

sin x dx = 1.

(26.6)

Поэтому при n = 2k + 1,

т. е. при нечетном n,

2k+1

2k−1

= ... =

2k(2k − 2) ... 2

I1 =

(2k)!!

, (26.7)

2k + 1

(2k + 1)!!

(2k + 1)(2k − 1) ... 1

а при n = 2k,

т. е. при четном n,

2k − 1

2k−2

= ... =

(2k − 1)(2k − 3) ... 1

(2k − 1)!!

. (26.8)

2k(2k − 2) ... 2

(2k)!!

π/2

Равенство интегралов

sinn x dx и

cosn x dx сразу получается

с помощью замены переменных

x =

− t,

0 t

. Таким об-

разом, формулы (26.4) доказаны. Из них легко получается формула

Валлиса 1)			1		(2n)!!		2
	π	lim						(26.9)
				(2n − 1)!! .
	2 = n→∞ 2n + 1
В самом деле, проинтегрировав по отрезку [0, π/2] неравенства
sin2n+1 x sin2n x sin2n−1 x,						n = 1, 2, ...,

1) Дж. Валлис (1616–1703) — английский математик.

294 Гл. 2. Интегральное исчисление функций одной переменной

получим

π/2

sin2n+1 x dx

sin2n x dx

sin2n−1 x dx,

т. е.

I2n+1 I2n I2n−1.

(26.10)

Отсюда в силу формул (26.4) имеем

(2n)!!

(2n − 1)!!

(2n − 2)!! .

(26.11)

(2n + 1)!!

(2n)!!

(2n − 1)!!

Если ввести обозначения

= 2n

(2n − 1)!!

(26.12)

xn = 2n + 1

(2n − 1)!! ,

(2n)!!

то неравенства (26.11) можно записать в виде

yn,

(26.13)

где

(2n)!!

(2n − 1)!!

= 2n xn (26.13)

n − xn

(26.12) 2n 2n + 1

(26.13)

→ 0

при

n → ∞,

и, следовательно,

nlim (yn − xn) = 0,

т. е. длины отрезков

[xn, yn],

→∞

содержащих точку π/2, стремятся к нулю, а это означает, что

lim xn

lim yn =

n→∞

Равенство

lim xn

в силу первой формулы (26.12) и представ-

n→∞

ляет собой формулу Валлиса.

§27. Площади и объемы

27.1.Понятие площади плоского множества. Проведем на координатной плоскости x, y для каждого k = 0, 1, 2, ... всевозможные

прямые

x = 10−k p, y = 10−k q, p	Z	, q	.
	Z		Z

В результате при фиксированном k получим разбиение плоскости на замкнутые квадраты

{(x, y) : 10−k p x 10−k (p + 1), 10−k q y 10−k (q + 1)}

§ 27. Площади и объемы

295

со сторонами длины 10−k . Квадраты, из которых состоит это разбиение, будем называть квадратами ранга k. Очевидно, что каждый

квадрат ранга k состоит из 100 равных квадратов ранга k + 1. Пусть X — множество на плоскости x, y. Обозначим через sk =

= sk (X) объединение всех квадратов ранга k, содержащихся в множестве X. Все квадраты ранга k + 1, которые получаются разбиением квадратов ранга k, содержащихся в sk , заведомо принадлежат sk+1. Поэтому при переходе от k и k + 1 множество sk может только увеличиться за счет тех квадратов ранга k + 1, которые содержатся в X, но не содержатся в квадратах ранга k, принадлежащих sk . Таким образом,

s0 s1 ... sk ... X.

(27.1)

Каждое sk состоит из конечного или бесконечного множества квадратов ранга k. Если их конечное множество, то через μsk обозначим площадь многоугольника sk. Если же sk состоит из бесконечного множества квадратов ранга k, то sk не может иметь конечной площади. В этом случае будем писать μsk = +∞.

Очевидно, что если некоторое множество sk состоит из бесконечного множества квадратов ранга k, то и для всех k > k множества sk также состоят из бесконечного множества квадратов ранга k , так как уже тех квадратов ранга k , которые содержатся в квадратах ранга k, принадлежащих sk , будет бесконечно много. Поэтому если μsk = +∞, то и для всех k > k имеет место μsk = +∞.

Из включений (27.1) следует, что

μs0 μs1 ... μsk ...,

(27.2)

иначе говоря, последовательность {μsk } точек, вообще говоря, рас-

ширенной числовой прямой R возрастает и потому имеет конечный или бесконечный предел lim μsk, называемый площадью или мерой

k→∞

множества X и обозначаемый μX. Таким образом,

def	(27.3)
μX = lim μsk(X).	(27.3)
k→∞

Согласно этому определению каждое множество на плоскости имеет конечную или бесконечную площадь. Площадь всякого ограниченного множества конечна. В самом деле, если множество X ограничено, то оно содержится в некотором многоугольнике S0, состоящем из конечного числа квадратов нулевого ранга sk (X) X S0 и, следовательно, μsk(X) μS0 < +∞, т. е. последовательность {(μsk(X)}

ограничена сверху, а поэтому имеет конечный предел.

Иногда меру μX называют внутренней мерой множества X по причинам, которые будут ясны из дальнейшего.

(27.4)

296 Гл. 2. Интегральное исчисление функций одной переменной

Из курса элементарной математики известно, что если множество X является многоугольником, замкнутым или открытым (т. е. включающим ограничивающую его ломаную или нет), кругом, его сектором или сегментом, то площади совпадают с определенными нами площадями μX.

Те о р е м а 1. Если X1 и X2 — подмножества координатной плоскости переменных x, y и X1 X2, то

μX1 μX2.

Если sk (X1) и sk (X2) — совокупность всех квадратов ранга k, содержащихся соответственно в множествах X1 и X2, k = 0, 1, 2, ..., то из условия X1 X2, очевидно, следует, что sk(X1) sk (X2), а потому μsk(X1) μsk(X2). Переходя в этом неравенстве к пределу при k → ∞, получим неравенство (27.4).

27.2. Пример неограниченного множества положительной конечной площади. Всякое ограниченное множество, как это

было показано выше, имеет конечную площадь. Однако существуют и неограниченные множества с конечной площадью. Примером неограниченного множества нулевой площади является прямая. Приведем пример неограниченного множества с положительной конечной площадью. Этот пример был построен еще в XIV веке французским математиком Н. Оресмом 1).

На координатной плоскости переменных x и y рассмотрим квадрат

Q = {(x, y) : 0 x 1, 0 y 1}.

Его правую половину, т. е. его часть, для точек которой выполняется неравенство x 1/2, переместим так, что она займет положение прямоугольника

Q1 = (x, y) : 0 x 1/2, 1 y 2

(т. е. «поставим»	правую половину квадрата Q на его левую половину;
	"	#

рис. 105). Далее, правую половину прямоугольника Q1, т. е. его часть, для точек которой выполняется неравенство x 1/4, переместим так,

что она займет положение прямоугольника

Q2 = "(x, y) : 0 x 1/4, 2 y 3#

(т. е. снова «поставим» правую половину на левую) и так далее. Продолжая этот процесс, получим неограниченную фигуру P

(«башню»), являющуюся объединением левой половины Q и правых половин прямоугольников Q, Q1, Q2, ..., поставленных друг на друга и на левую половину квадрата Q. Указанные части, составляющие фигуру P , представляют собой прямоугольники, равновеликие

1) Н. Оресм (1323?–1382) — французский математик.

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 4530 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.08.2019218.11 Кб3контрольная работа №3 по ВМ(2011).doc
#
24.09.2019317.95 Кб15Копия Т Ф К П.doc
#
10.05.20151.13 Mб10КР по ТПР Чекменёв А.С..docx
#
10.05.2015649.22 Кб77КР_Ромашин_РС110_2012_1.doc
#
24.09.2019131.07 Кб5КРАТКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ОСНОВНЫХ АХОВ.doc
#
10.05.20155.57 Mб752Краткий курс математического анализа. Том 1.pdf
#
10.05.20154.49 Mб329Краткий курс математического анализа. Том 2.pdf
#
10.05.20151.56 Mб90краткое сожержание курса БЖД.doc
#
16.11.201929.92 Кб28кризис.docx
#
16.03.20162.51 Mб726Криминология Малков В. Д..doc
#
27.11.2019524.29 Кб69Курс лекций Интернет-технологии.doc