Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

МИРЭА - Российский технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Краткий курс математического анализа. Том 1

.pdf

Скачиваний:

752

Добавлен:

10.05.2015

Размер:

5.57 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 3233 / 4533 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 > Следующая >>>

§ 29. Несобственные интегралы	317
b
f (x) dx не зависят в рассматриваемом случае	от выбора точки

c (a, b).

Определим теперь общее понятие несобственного интеграла от

функции f по промежутку	с	k=n	−∞	a		b		∞
функции f по промежутку		концами a и b,		a		b		+ .

Всякое множество точек X = {xk }k=0 расширенной числовой пря-
мой называется правильным разбиением промежутка	относи-

тельно функции f , если:

1)a = x0 < x1 < ... < xn = b;

2)функция f интегрируема по Риману на любом конечном отрез-

ке, лежащем на промежутке		и не содержащем точек множества X.
Ясно, что на	каждом	из	промежутков (x0, x1),	(x1, x2), ...,
(xn−1, xn) имеет смысл несобственный интеграл от функции f одного
из трех рассмотренных выше типов.
Совокупность интегралов
	xk
	f (x) dx,		k = 1, 2, ..., n,	(29.6)
	xk−1		b
			b
называется в этом случае несобственным интегралом				f (x) dx.
			a
			b
Если все интегралы (29.6) сходятся, то интеграл				f (x) dx назы-
			a
вается сходящимся, а если хотя бы один из них расходится, то —
расходящимся.	b		b
В случае когда интеграл		f (x) dx сходится, через f (x) dx обозна-
	a		a

чается и сумма интегралов (29.6), т. е.

b f (x) dx def= n xk f (x) dx,

ak=1 xk−1

иэта сумма также называется несобственным интегралом (иногда — его значением).

Сходимость и расходимость несобственного интеграла, как и его значение, если он сходится, не зависят от выбора правильного разбиения промежутка относительно заданной функции f.

Заметим, что если к правильному разбиению X промежутка добавить любое конечное множество точек расширенной числовой прямой, принадлежащих этому промежутку, то полученное множество также будет, очевидно, правильным разбиением относительно функции f.

318 Гл. 2. Интегральное исчисление функций одной переменной

Перейдем к рассмотрению примеров. Вычислим несобственные интегралы от функции f (x) = x1α , α > 0, на полуинтервале (0, 1] (где она неограниченна) и на бесконечном промежутке [1, +∞).

П р и м е р ы. 1.

	1	dx
2. α = 1,
	0	xα

	dx	= lim
	x	= lim
	x	(29.4) ξ→0

= lim x−α

(29.4) ξ→0

1	dx = lim ln x			1	= + .
	dx = lim ln x			1	= + .

ξ	x	ξ→0		ξ		∞
		lim x1−α		1	=
dx =
					1 ,
		ξ→0 1	− α ξ
					1
			= +− α
						∞

если α < 1,

если α > 1.

Обратим внимание на то, что при 0 < α < 1 несобственный ин-

	1	dx		1	dx
теграл		dx	существует, в то время как собственный интеграл		dx
теграл	0	xα	существует, в то время как собственный интеграл	0	xα

заведомо не существует, поскольку функция x−α при любом ее до-

определении в точке x = 0 будет неограниченной на отрезке [0, 1]. Этот пример говорит о том, что в случае конечного промежутка

понятие несобственного интеграла шире понятия собственного интеграла. В случае же бесконечного промежутка понятия собственного интеграла просто нет.

Итак, интеграл

сходится при α < 1 и расходится при α 1

(при α < 0 этот интеграл является интегралом Римана).

+∞

lim

lim ln x η = + .

∞

(29.1) η→+∞ 1

η→+∞

∞ dx =

lim

dx =

lim

x1−α

4. α =

xα

(29.1) η→+∞ 1

xα

η→+∞

1 − α

если α < 1,

∞

если α > 1.

+∞

α − 1

Итак, интеграл

сходится при α > 1 и расходится при α 1.

29.2. Формулы интегрального исчисления для несобственных интегралов. В силу свойства предела функций и определения

значения несобственного интеграла как предела функции, являющейся интегралом Римана с переменным пределом интегрирования,

§ 29. Несобственные интегралы

319

на собственные интегралы предельным переходом переносятся многие свойства определенного интеграла.

В дальнейшем в этом параграфе для простоты в вопросах теории будем рассматривать случай несобственного интеграла от функций, определенных на полуинтервале [a, b) и интегрируемых по Риману на любом отрезке [a, η], −∞ < a η < b +∞ (определение (29.1)), если, конечно, специально не оговорено что-либо другое.

Аналогичные определения и теоремы для интегралов (29.4) и (29.5) читатель без труда сформулирует самостоятельно.

Для общего несобственного интеграла (29.6) утверждения, аналогичные тем, которые будут сформулированы ниже для интеграла вида (29.1), также справедливы и в случае необходимости могут быть сформулированы читателем.

1◦. Ф о р м у л а Н ь ю т о н а – Л е й б н и ц а. Если функция f непрерывна на промежутке [a, b) и Φ — какая-либо ее первообразная, то

b
f (x) dx = Φ(b − 0) − Φ(a).	(29.7)

В этом равенстве либо обе части одновременно имеют смысл, и тогда они равны, либо они одновременно не имеют смысла, т. е. стоящие в них пределы не существуют.

Справедливость формулы (29.7) следует из того, что для любого η [a, b), согласно формуле Ньютона–Лейбница для интеграла Римана (теорема 3 из п. 25.2), имеет место равенство

f (x) dx = Φ(η) − Φ(a).

(29.8)

Из него следует, что предел lim f (x) dx существует тогда и только

η→b

тогда, когда существует предел lim Φ(η), причем, если эти пределы

η→b

существуют, то, перейдя в равенстве (29.8) к пределу при η → b, получим формулу (29.7).

2◦. Л и н е й н о с т ь и н т е г р а л а. Если несобственные интегра-

лы f (x) dx и g(x) dx сходятся, то для любых чисел λ и μ несоб-

aa b

ственный интеграл [λf (x) + μg(x)] dx также сходится и

a
b	b	b
[λf (x) + μg(x)] dx = λ	f (x) dx + μ	g(x) dx.	(29.9)

320 Гл. 2. Интегральное исчисление функций одной переменной

Действительно, на основании соответствующих свойств предела и линейности интеграла Римана имеем

b η

	[λf (x) + μg(x)] dx	= lim		[λf (x) + μg(x)] dx =
a		(29.1) η→b	a	η	η
	η	η

= lim λ	f (x) dx + μ	g(x) dx = λ lim f (x) dx + μ lim					g(x) dx =
η→b	a	a		η→b	η	η→b a	(29.1)
	a	a		a	η	η
				=	λ	f (x) dx + μ	g(x) dx.
				(29.1)
					a	a
							b
3◦. И н т е г р и р о в а н и е			н е р а в е н с т в. Если интегралы f (x) dx
b							a
b
и g(x) dx сходятся и для всех x [a, b)					выполняется неравенство
a
f (x) g(x), то		b		b
		b		b
		f (x) dx		g(x) dx.			(29.10)

В силу соответствующего свойства интеграла Римана (см. следствие свойства 6◦ в п. 24.1) для любого η [a, b) выполняется нера-

венство

f (x) dx g(x) dx.

Перейдя в нем к пределу при η → b, получим неравенство (29.10). Аналогичным образом, исходя из соответствующих свойств интеграла Римана, с помощью предельного перехода доказываются и следующие два свойства несобственных интегралов (проведение доказа-

тельств которых предоставляется читателю).

4◦. П р а в и л о	з а м е н ы			п е р е м е н н о й. Если функция f (x)
непрерывна на полуинтервале				x = [a, b), функция ϕ(t) непрерывно
дифференцируема на полуинтервале						t = [α, β), −∞ < α < β +∞,
и выполняются условия
ϕ(Δ	t) x	,	a = ϕ(α)		,	lim ϕ(t),
	t) x		a = ϕ(α)			b = t β
то						→
то	b			β
	b			β
	f (x) dx = f (ϕ(t))ϕ (t) dt,						(29.11)

aα

§ 29. Несобственные интегралы

321

причем из существования интеграла, стоящего слева в этом равенстве, следует существование интеграла, стоящего справа.

Если функция ϕ такова, что обратная функция ϕ−1 однозначна и удовлетворяет условиям, аналогичным условиям, наложенным на функцию ϕ, и, следовательно, в интеграле, стоящем в правой части равенства (29.11), можно сделать замену переменной t = ϕ−1(x), то оба интеграла в этом равенстве сходятся или расходятся одновременно.

С помощью замены переменной из условий сходимости интегралов, рассмотренных в примерах 1 и 2 п. 29.1, следует, что интегра-

лы a

−∞ < a < b < +∞, сходятся при α < 1

(x − a)α

(b − x)α

и расходятся при α 1. В самом деле, первый интеграл с помощью

замены

переменной t = x

−

a, а второй с помощью t = b

−

x приводятся

−

к интегралу

5◦.	П р а в и л о и н т е г р и р о в а н и я п о		ч а с т я м. Если функ-
ции u	и v непрерывны на промежутке [a, b), а их производные
кусочно-непрерывны на любом отрезке [a, η), a < η < b, то
	b	b
	a u dv = uv ab−0 − a v du.		(29.12)

При этом из существования любых двух из следующих трех пре-

делов:

b η b η

u dv = lim				u dv,		v du = lim v du,
		η→b					η→b
a				a	a		a
	b−0			lim u(η)v(η) u(a)v(a)
			= η→b			−
uv a			= η→b			−

следует существование оставшегося.

З а м е ч а н и е. Отметим, что не все свойства интеграла Римана переносятся на несобственные интегралы. Например, интеграл от произведения двух функций может расходится в случае, когда ин-

теграл от каждого из сомножителей сходится: если f (x) =

, то

√

интеграл

f (x) dx =

сходится, а интеграл

f 2(x) dx =

рас-

√

ходится.

11 Л. Д. Кудрявцев

322 Гл. 2. Интегральное исчисление функций одной переменной

П р и м е р ы. 1. Посредством замены переменной x = 1/t вычислим

интеграл

+∞

= 0

x x2 − 1

1 − t2

= arcsin t 0

= 2 .

+∞

2. Вычислим интеграл

In =

xne−x dx, n = 0, 1, 2, ... Проинте-

грировав по частям при n > 0,

будем иметь

+∞

xn de−x = −xne−x 0

∞

+∞

xn−1e−x dx = nIn−1. (29.13)

In = − 0

+ n

+∞

∞ = 1, то, применив последователь-

Поскольку I0 =

e−x dx = e−x 0

но рекуррентную формулу (29.13), получим

In = nIn−1 = n(n − 1)In−2 = ... = n! I0 = n!.

29.3. Несобственные интегралы от неотрицательных функций. Установим признаки сходимости для несобственных интегралов от неотрицательных функций.

Л е м м а 1. Если функция f неотрицательна на полуинтервале

[a, b), то для сходимости интеграла f (x) dx необходимо и доста-

a	η
точно, чтобы множество всех интегралов	f (x) dx, η [a, b), бы-

ло ограничено сверху, т. е. чтобы существовала такая постоянная c > 0, что для всех η [a, b) выполнялось бы неравенство

	η
	f (x) dx c.			(29.14)
	a
Положим		η
	def		f (x) dx.	(29.15)
	ϕ(η) =		f (x) dx.	(29.15)
		a
Если a η < η < b,	то

η η η η

ϕ(η ) = f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx f (x) dx = ϕ(η),

§ 29. Несобственные интегралы

323

ибо в силу неотрицательности функции f имеет место неравенство

f (x) dx 0, т. е. функция ϕ(η) возрастает на полуинтервале [a, b).

η	b

Существование несобственного интеграла f (x) dx означает суще-

ствование конечного предела	a

lim ϕ(η) = f (x) dx,

η→b

что имеет место тогда и только тогда, когда функция ϕ(η) ограничена сверху (см. теорему 4 в п. 6.11), а это в силу (29.15) равносильно условию (29.14).

З а м е ч а н и е. При доказательстве леммы 1 было показано, что в случае неотрицательности функции f функция ϕ(η) (см. (29.15)) возрастает на [a, b) и, следовательно, всегда имеет при η → b конечный или бесконечный, равный +∞, предел в зависимости от того, ограничена она или нет. Если функция ϕ(η) неограничена на [a, b), то

	η
lim	f (x) dx = lim ϕ(η) = +∞,
η→b	(29.15) η→b
	a

и в этом случае пишут

f (x) dx = +∞

(как мы уже и поступали в примерах п. 29.1).
Те о р е м а 1 (признак сравнения). Пусть
	0 g(x) f (x), x [a, b).	(29.16)
Тогда:
	b
1)	если интеграл f (x) dx сходится, то сходится	и инте-
b	a
b
грал	g(x) dx;

a	b

2) если интеграл g(x) dx расходится, то расходится и инте-

b	a

грал f (x) dx.

11*

324Гл. 2. Интегральное исчисление функций одной переменной

Сл е д с т в и е 1. Пусть функции f и g неотрицательны на промежутке [a, b), g(x) = 0 при всех x [a, b) и существует конечный или бесконечный предел

			lim		f (x)	= k.	(29.17)
			lim			= k.	(29.17)
			x	b g(x)
				→
Тогда:			b
			b
1) если интеграл			g(x) dx сходится и 0 k < +∞, то и интеграл
b			a
b
f (x) dx сходится;
a			b
			b
2) если интеграл			g(x) dx расходится и 0 < k +∞, то и инте-
	b		a
	b
грал	f (x) dx расходится.
	a	Если функции f (x) и g(x) эквивалентны при x →
С л е д с т в и е 2.		Если функции f (x) и g(x) эквивалентны при x →
→ b,	т. е. f (x) = ϕ(x)g(x),			a x < b, lim ϕ(x) = 1,			то интегралы

x→b

f (x) dx и g(x) dx одновременно сходятся или расходятся.

Докажем теорему. Для любого η [a, b) в силу неравенства (29.16) имеем

ηη

g(x) dx f (x) dx.

Поэтому если интеграл f (x) dx сходится и, следовательно, соглас-

a	η
	η
но лемме 1 ограничен сверху интеграл	f (x) dx, то будет ограничен
η	a

сверху и интеграл g(x) dx, откуда, согласно той же лемме, инте-

b	a

грал g(x) dx сходится.

a	b

Если же расходится интеграл g(x) dx, то в силу уже доказанного

b	a

интеграл f (x) dx не может сходиться, так как тогда бы сходился

g(x)

f (x)

§ 29. Несобственные интегралы

325

и интеграл g(x) dx, а это противоречит условию. Таким образом,

интеграл f (x) dx расходится.

Докажем теперь следствие 1.

Пусть выполняется условие (29.17) и 0 k < +∞. Из того, что k

			f (x)
является пределом функции				при x → b, и из неравенства k < k +
является пределом функции			g(x)	при x → b, и из неравенства k < k +
+ 1		следует существование такого η [a, b), что если η < x < b, то
	f (x)	< k + 1, т. е.
	g(x)	f (x) < (k + 1)g(x).			(29.18)
					b

Если сходится несобственный интеграл		g(x) dx, то сходится ин-
b	a
b
теграл (k + 1)g(x) dx (см.	(29.3) и (29.9));	следовательно,	в силу
η	b	b
	b	b
неравенства (29.18) интеграл	f (x) dx, а поэтому и интеграл		f (x) dx
сходятся.	η	a
сходятся.

Пусть теперь условие (29.17) выполняется при 0 < k +∞. Тогда зафиксируем произвольно такое k , что 0 < k < k. Из того, что k

является пределом функции при x → b, и из неравенства k < < k следует существование такого η [a, b), что для всех x (η, b)

выполняется неравенство f (x) > k , т. е. неравенство g(x)

f (x) > k g(x).

Отсюда в силу расходимости интеграла g(x) dx следует расходимость

b	a

интеграла k g(x) dx, а следовательно, по теореме 1 и расходимость

a b

интеграла f (x) dx.

Докажем теперь следствие 2.

Из условия lim ϕ(x) = 1 следует, что существует такое число c,

x→b

a < c < b, что при c x < b выполняется неравенство 12 ϕ(x) 32 .

326 Гл. 2. Интегральное исчисление функций одной переменной

А так как f (x) = ϕ(x)g(x), то
	1	g(x) f (x)	3	g(x).
	2	g(x) f (x)	2	g(x).	b
Отсюда в силу теоремы и следует, что интегралы					f (x) dx
b					a
и g(x) dx одновременно сходятся или расходятся.					a
и g(x) dx одновременно сходятся или расходятся.

При применении признака сходимости для исследования интеграла обычно начинают со сравнения подынтегральной функции с функ-

циями	1		,	1		,	1	,

	(x − a)	α		(b − x)	α		α
							x

сходимость интегралов от которых уже известна (примеры п. 29.1

ип. 29.2).

Пр и м е р ы. 1. Выясним, сходится ли интеграл

x3 dx

(29.19)

− x

Имеем f (x) =

, x → 1,

√4

(1 − x)1/4

1 − x2

1 + x2

1 − x2

а так как интеграл

сходится, то сходится и интеграл (29.19).

0 (1 − x)1/4

2. Исследуем интеграл

ln x dx.

(29.20)

Для любого α > 0,

применив правило Лопиталя, получим

lim

ln x

= lim

1/x

−

lim xα = 0,

x→0 1/xα

x→0 −α/xα+1

α x→0

частности, это

равенство

имеет место

при 0 < α < 1. Но при

0 < α < 1 интеграл

сходится, следовательно, сходится и инте-

грал (29.20).

3. Рассмотрим интеграл

(29.21)

ln x

Поскольку ln x = ln [1 + (x − 1)] x − 1 при x → 1 и интеграл

расходится, то расходится и интеграл (29.21).

x − 1

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 3233 / 4533 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.08.2019218.11 Кб3контрольная работа №3 по ВМ(2011).doc
#
24.09.2019317.95 Кб15Копия Т Ф К П.doc
#
10.05.20151.13 Mб10КР по ТПР Чекменёв А.С..docx
#
10.05.2015649.22 Кб77КР_Ромашин_РС110_2012_1.doc
#
24.09.2019131.07 Кб5КРАТКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ОСНОВНЫХ АХОВ.doc
#
10.05.20155.57 Mб752Краткий курс математического анализа. Том 1.pdf
#
10.05.20154.49 Mб329Краткий курс математического анализа. Том 2.pdf
#
10.05.20151.56 Mб90краткое сожержание курса БЖД.doc
#
16.11.201929.92 Кб28кризис.docx
#
16.03.20162.51 Mб726Криминология Малков В. Д..doc
#
27.11.2019524.29 Кб69Курс лекций Интернет-технологии.doc