Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

МИРЭА - Российский технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Краткий курс математического анализа. Том 1

.pdf

Скачиваний:

752

Добавлен:

10.05.2015

Размер:

5.57 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 4526 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 > Следующая >>>


	§ 19. Определение и свойства неопределенного интеграла			247
6.		dx	= tg x + C.
6.		cos2 x	= tg x + C.
		cos2 x
7.		dx	= −ctg x + C.

		sin2 x

8.sh x dx = ch x + C.

9.ch x dx = sh x + C.

10.

= th x + C.

ch 2x

11.

= −cth x + C.

sh 2x

12.

arctg

+ C = −

arcctg

+ C.

x2 + a2

13.

x − a

+ C.

x2 − a2

x + a

14.

= arcsin

C =

− arccos

+ C,

|x| < a.

− x

15.2

= ln |x + x2 ± a2 | + C (если

под корнем стоит

x2 ± a2

−

Само собой разумеется, что если знаменатель подынтегральной функции обращается в нуль в некоторой точке, то написанные формулы будут справедливы лишь для тех промежутков, в которых не происходит обращение в нуль указанного знаменателя.

19.4. Формула замены переменной. Познакомимся в заключение этого параграфа с двумя свойствами неопределенного интеграла, весьма полезными, в частности, для вычисления интегралов.

Пусть функции f (x) и ϕ(t) заданы соответственно на промежутках

x и	t, причем функция ϕ отображает промежуток	t на промежу-
ток	x, т. е.
	ϕ(Δt) = x,	(19.12)

и, следовательно, имеет смысл сложная функция f (ϕ(t)), t

Пусть, кроме того, функция ϕ(t) дифференцируема на промежут-

ке t и ее производная не меняет знака на t, т. е. для всех t t имеет место либо неравенство ϕ (t) > 0, либо ϕ (t) < 0, а следовательно (см. п. 1.15.1), функция ϕ(t) строго монотонна на промежутке t. Тогда (см. п. 1.7.3) у функции ϕ(t) существует обратная однозначная функция ϕ−1(x), определенная на промежутке x.

248Гл. 2. Интегральное исчисление функций одной переменной

Вформулируемой ниже теореме будем предполагать, что все перечисленные условия выполняются.

Те о р е м а 1. Существование на промежутке			x интеграла
	f (x) dx		(19.13)
и существование на промежутке t интеграла
	f (ϕ(t))ϕ (t) dt		(19.14)
равносильны, и имеет место формула

f (x) dx =	f (ϕ(t))ϕ (t) dt) t=ϕ−1(x).		(19.15)
Эта формула называется формулой замены		переменной в неопре-

деленном интеграле: переменная x заменяется переменной t по формуле x = ϕ(t).

Если в формуле (19.15) в обеих частях равенства перейти к переменной t по формуле x = ϕ(t), то, меняя местами левую и правую

части равенства, получим

f (ϕ(t))ϕ (t) dt =	f (x) dx x=ϕ(t).		(19.16)
Иначе говоря, сделав сначала подстановку		ϕ(t) = x, а затем взяв

интеграл или сначала взяв интеграл, а потом сделав указанную под-

становку, получим один и тот же результат.

Формула (19.16) обычно называется формулой интегрирования подстановкой. Эту формулу можно записать также в виде


f (ϕ(t)) dϕ(t) =	f (x) dx x=ϕ(t).
Ее применение к вычислению интегралов состоит		в том, что вместо

интеграла f (ϕ(t)) dϕ(t) вычисляется интеграл f (x) dx, а затем по-

лагается x = ϕ(t). Формула замены переменной (19.15) и, соответственно, формула интегрирования подстановкой (19.16) применяются тогда, когда интегралы, стоящие в их правых частях, в каком-то смысле проще интегралов, стоящих в их левых частях. Ниже, после доказательства теоремы, это будет пояснено на примерах.

Докажем сначала, что существование интегралов (19.13) и (19.14) равносильно, т. е. что равносильно существование первообразных у функции f (x) на промежутке x и функции f (ϕ(t))ϕ (t) на промежутке t.

§ 19. Определение и свойства неопределенного интеграла

249

Пусть у функции f (x) на промежутке x существует первообраз-
ная F (x), т. е.
dF (x)	= f (x), x x.	(19.17)
dx

В силу условия (19.12) имеет смысл сложная функция F (ϕ(t)). Покажем, что она является на промежутке t первообразной функции

f (ϕ(t))

dϕ(t)

. Действительно, по правилу дифференцирования слож-

ных функций имеем

dF (x)

dϕ(t)

19 18

dt F (ϕ(t)) =

x=ϕ(t) dt

(

)

(19.17) f (ϕ(t))

dϕ(t)

Наоборот, пусть теперь

функция

f (ϕ(t))

имеет первообраз-

ную. Обозначим ее Φ(t):

dΦ(t)

= f (ϕ(t)) dϕ(t) .

(19.19)

В силу условий, которым удовлетворяет функция ϕ, обратная к ней

функция ϕ−1 дифференцируема во всех точках

промежутка

и имеет место формула (см. п. 10.6)

−1

, x x.

(19.20)

dϕdx(x) = dϕ(t)

t=ϕ− (x)

Покажем, что функция Φ(ϕ− (x)) является на промежутке

первообразной для функции f (x). В самом деле,

dΦ(t)

dϕ−1(x)

dx Φ(ϕ− (x)) =

t=ϕ−1(x)

(19.19)

= f (x).

f (ϕ(t))

dϕ− (x)

dϕ(t)

t=ϕ−1(x) dt

t=ϕ−1(x)

(19.19)

dx (19.20)

Итак, интегралы (19.13) и

(19.14) одновременно

существуют или

нет. При этом

f (x) dx

= F (x) + C,

(19.21)

(19.17)

f (ϕ(t))ϕ (t) dt

F (ϕ(t)) + C,

(19.22)

(19.18)

а так как

F (ϕ(t)) t=ϕ−1(x) = F (x),

(19.23)

то

f (x) dx = F (x) + C = F (ϕ(t))

+ C =

f (ϕ(t))ϕ (t) dt

(19.21)

(19.23)

t=ϕ−1(x)

250Гл. 2. Интегральное исчисление функций одной переменной

Пр и м е р ы. 1◦. Вычислим с помощью формулы замены переменной (19.13) интеграл

dx, −1 x 1.

1 − x2

Сделав замену переменной x = sin t, −

получим

t 1

1 − sin2 t cos t dt =

cos2 t dt =

cos 2t

1 − x2 dx =

dt =

dt +

cos 2t dt =

sin 2t + C =

sin t cos t + C =

(arcsin x + x

) + C.

1 − x2

Аналогично вычисляется и интеграл

√

dx, только здесь

1 + x2

целесообразно положить x = sh t:

ch 2t

1 + x2 dx =

1 + sh 2t ch t dt = ch 2t dt =

=2t + 14 sh 2t + C = 12 (t + sh t ch t) + C.

Вполученном выражении надо вернуться к переменной x. Имеем sh t = x, ch t = √1 + sh 2t = √1 + x2 . Переменную же t найдем из

уравнения x = sh t, т. е. из уравнения x = et − e−t . Из него следует,

2xy

1 = 0 и,

что

y = et удовлетворяет квадратному уравнению y2

−

= x + √1

−

следовательно,

(другой корень указанного квадрат-

ного уравнения отрицателен, а e

принимает только положительные

значения), откуда t = ln (x +

√

1 + x2

В результате окончательно получим

1 + x2 dx = 2 (ln (x + 1 + x2 ) + x 1 + x2 ) + C.

2◦. Вычисление интегралов с помощью формулы подстановки

(19.16) целесообразно, например, применять к интегралам вида

ϕ (x) dx. Применив в них подстановку ϕ(x) = u, получим

ϕ(x)

ϕ (x)	dϕ(x)	du


ϕ(x) dx =	ϕ(x) =	u

	= ln \|ϕ(x)\| + C.
u=ϕ(x) = (ln \|u\| + C) u=ϕ(x)

К такому типу интегралов относится интеграл

tg x dx =	sin x dx	= −	d cos x	= − ln \| cos x\| + C.

	cos x		cos x

§ 20. Интегрирование рациональных дробей

251

Иногда, прежде чем применить метод интегрирования подстановкой, приходится проделать некоторые преобразования подынтегральной функции:

1 dx

d tg

= ln

+ C.

sin x

2 sin

cos

2 cos2

19.5. Формула интегрирования по частям.

Те о р е м а 2. Если функции u(x) и v(x) дифференцируемы на некотором промежутке и на этом промежутке существует интеграл

v du, то на нем существует и интеграл	u dv, причем
u dv = uv − v du.	(19.24)

Эта формула называется формулой интегрирования по частям

неопределенного интеграла.

Пусть функции u и v дифференцируемы на промежутке ; тогда по правилу дифференцирования произведения d(uv) = v du + u dv,

и потому	(19.25)
u dv = d(uv) − v du.

Интеграл от каждого слагаемого правой части существует: интеграл v du существует по условию, а по свойству 1◦ из п. 1.19.2 имеем

	d(uv) = uv + C.					(19.26)
Поэтому, согласно свойству 3◦		из п. 1.19.2, существует и интеграл
u dv, причем
u dv =	d(uv)	−	v du	=	v du	,
(19.25)	d(uv)	−		(19.26) uv −	v du

где постоянная интегрирования C (см. (19.26)) отнесена к интегралу v du. Формула (19.24) доказана.

П р и м е р. Для вычисления интеграла

x ln x dx положим u = ln x,

dv = x dx; тогда du =

v =

и, следовательно,

x dx = x2 ln x −

21 + C.

x ln x dx = ln x d x2

= x 2ln x − 21

§ 20. Интегрирование рациональных дробей

20.1. Интегрирование элементарных рациональных дробей. В этом параграфе будут рассматриваться рациональные дроби, у которых в числителе и знаменателе стоят многочлены с дей-

252 Гл. 2. Интегральное исчисление функций одной переменной

ствительными коэффициентами. Будет всегда предполагаться, что коэффициент у старшего члена многочлена, стоящего в знаменателе, равен 1 (этого, очевидно, всегда можно достичь, поделив числитель и знаменатель дроби на указанный коэффициент).

Будут изложены методы, с помощью которых можно вычислить, т. е. выразить через элементарные функции, интегралы от рациональных дробей.

Рассмотрим сначала элементарные дроби вида

. Если n >

(x − a)n

> 1, то

dx = A (x

−

a)−nd(x

−

a) = A(x − a)−n+1

+ C =

(x − a)n

−n + 1

= −

+ C. (20.1)

Если n = 1, то

(n − 1)(x − a)n−1

= A ln |x − a| + C.

(20.2)

x − a

Вычислим теперь интеграл от элементарной дроби вида

Bx + D

− q < 0,

n = 1, 2, ...

(x2 + px + q)n

Заметив, что

− 4

= x +

+ 2

px + q

= x +

+ a

def

где a2

= q −

> 0,

и положив

t = x +

будем иметь

B t

+ D

Bx + D

dx =

− 2

dt =

x +

2 2

(x + px + q)

+ q − p4

+ a

)

+ D

t dt

= B

−

(t2 + a2)n

Таким образом, вычисление интеграла

Bx + D

n dx сводится

(x + px + q)

к вычислению интегралов, стоящих в правой части получившегося равенства.

Если n = 1, то

t dt

d(t2 + a2)

ln (t2 + a2) + C,

(20.3)

t2 + a2

arctg

+ C.

(20.4)

t2 + a2

§ 20. Интегрирование рациональных дробей

253

Если же n > 1, то

t dt

(t2 + a2)−n d(t2 + a2) = −

+ C.

(n −

n−1

+ a )

)(t

+ a )

(20.5)

def

Для интеграла In

, n > 1,

выведем с помощью ин-

)

+ a

тегрирования по частям рекуррентную формулу, т. е. выразим In через In−1:

In =

t2 + a2 − t2

dt =

(t2 + a2)n

t dt

= a2

(t2 + a2)n−1 − a2

t (t2

+ a2)n

(20.5)

In−1 − a2 −2(n − 1)(t2 + a2)n−1 + 2(n − 1)

(t2 + a2)n−1 =

(20.5) a2

In−1 +

−

In−1,

1 2

n−1

(n −

)

т. е.

a (n −

)(t

+ a )

In−1,

In =

−

n = 2, 3, ...

(20.6)

2a2(n − 1)(t2 + a2)n−1

2(n − 1)

Так как интеграл I1 уже вычислен (см. (20.4)), по формуле (20.6) можно последовательно вычислить I2, I3 и т. д.

Таким образом, интеграл от любой элементарной дроби находится

вявном виде и является элементарной функцией.

20.2.Общий случай. Любую рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби, а всякая правильная рациональная дробь раскладывается в сумму элементарных рациональных дробей (см. п. 1.3.5), поэтому задача интегрирования рациональных дробей сводится к интегрированию многочленов и элементарных рациональных дробей, т. е. функций, от ко-

торых мы уже умеем вычислять интегралы. Имеет место следующая Те о р е м а 1. Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором ее знаменатель не обращается в нуль, существует и выражается через элементарные функции, являющиеся линейной комбинацией композиций рациональ-

ных дробей, логарифмов и арктангенсов.

Для доказательства достаточно, поделив числитель на знамена-

тель, данную рациональную дробь	P (x)	представить в виде	P (x)	=
	Q(x)		Q(x)

= S(x) + R(x) , где S(x) и R(x) — многочлены, причем степень много-

Q(x)

члена R(x) меньше степени многочлена Q(x), т. е. R(x) — правильная

Q(x)

рациональная дробь. Разложив ее согласно теореме 2 из п. 1.3.5 на

254 Гл. 2. Интегральное исчисление функций одной переменной

элементарные, получим, что всякая рациональная дробь является либо многочленом, либо суммой многочлена и конечного числа элементарных рациональных дробей. Интеграл от каждого слагаемого этой суммы (см. п. 1.19.3 и п. 1.20.1) имеет вид, указанный в теореме. Следует отметить, что при применении описанного метода интегрирования рациональных дробей на практике он приводит к окончательному результату, т. е. к элементарной функции, только в том случае, когда удается найти все корни знаменателя интегрируемой

рациональной дроби.

§ 21. Интегрирование некоторых иррациональностей

21.1. Рациональные функции от функций. Функции вида

m1 m2	mn
2		ak1k2...kn u1k1 u2k2 ... unkn
P (u1, u2, ..., un) =	...	ak1k2...kn u1k1 u2k2 ... unkn
k1=0 k =0	kn =0
называются многочленами, а функции		P (u1, u2	, ..., un)	, где P и Q —
называются многочленами, а функции		Q(u1, u2	, ..., un )	, где P и Q —
		Q(u1, u2	, ..., un )

многочлены, называются рациональными дробями (или рациональными функциями) от переменных u1, u2, ..., un.

Композиция рациональных дробей P (u1, u2, ..., un ) с функциями

Q(u1, u2, ..., un u1 = f1(x), u2 = f2(x), ..., un = fn(x), т. е. функции вида

P (f1(x), f2(x), ..., fn(x)) , Q(f1(x), f2(x), ..., fn(x))

называются рациональными функциями от функций f1(x), f2(x), ..., fn(x) и обозначаются R(f1(x), f2(x), ..., fn(x)).

Например, R(sin x, cos x) ≡

sin2 x + cos x

— рациональная функция

cos2 x

−

sin x

√x +

√x2

от sin x и cos x, а R(√x , √x ) ≡

√3

— рациональная функция

от √x и √x .

ax + b r1

21.2. Интегралы вида

R x,

, ...,

ax + b

dx.

cx + d

ax + b

Рассмотрим интеграл R x,

, ...,

dx.

cx + d

Будем предполагать, что числа r1, ..., rn рациональны и записаны

с одним и тем же знаменателем: ri =

m — натуральное число,

целые, i = 1, 2, ..., n, и что определитель

d не равен 0. Если

бы

что λ

+ μ

c d = 0, то существовали бы такие числа

λ, μ,

= 0

§ 21. Интегрирование некоторых иррациональностей

255

и λa + μc = 0, λb + μd = 0, a тогда, например, при λ = 0 имело бы

место равенство

ax + b

= λax + λb

= −μcx − μd =

−

cx + d

λ(cx + d)

и, следовательно, функция R x,

ax + b

r1 , ...,

ax + b rn

была бы

cx + d

просто рациональной функцией.

Сделаем в рассматриваемом интеграле замену переменной

tm =

ax + b

(21.1)

cx + d

откуда

b def

x =

dt −m

= ρ(t).

(21.2)

a − ct

Здесь ρ(t) — рациональная функция, поэтому ρ (t) — также рациональная функция. Поскольку

dx = ρ

(t) dt,

ax + b

= (tm)pj /m = tpj , j = 1, 2,

, n,

cx + d

...

(21.1)

то

R x,

ax + b

, ...,

ax + b

dx =

cx + d

R(ρ(t), tp1 , ..., tpn )ρ (t) dt =

R (t) dt,

где R (t) = R(ρ(t), tp1 , ..., tpn )ρ (t) — рациональная функция. Таким образом, замена переменной (21.1) сводит интеграл

R x,	ax + b	r1	ax + b	rn
			, ..., cx + d		dx	(21.3)
	cx + d

кинтегралу от рациональной функции.

Крассмотренному типу интегралов относятся интегралы вида

R(x, (ax + b)r1 , ..., (ax + b)rn ) dx,

a = 0,

в частности интегралы

R(x, xr1 , ..., xrn ) dx.

П р и м е р.

Сделаем согласно формуле (21.1) замену пе-

1 + √

ременной t2 = x, t > 0,

откуда dx = 2t dt и, следовательно,

1 + √x = 2

1 + t = 2

1 + t−

dt = 2

dt −

1 + t =

t dt

(1 + t)

√

= 2(t − ln |1 + t|) + C =

− ln (1 +

)) + C.

256 Гл. 2. Интегральное исчисление функций одной переменной

К интегралам вида (21.3) иногда удается свести интегралы других

типов, например, интегралы вида

R(x,

x2 + px + q ) dx, когда квад-

ратный трехчлен x2 + px + q

имеет

действительные корни. В самом

деле, если x2 + px + q = (x − a)(x − b),

то

R(x,

) =

)

+ px + q ) = R(x

(x − a)(x − b x a

x a

1/2

| − | x − b

1 x − b

= R x,

x b

−

= R

−

где R1 — рациональная функция. Поэтому

1 x − b

R(x,

) dx = R

x − a

1/2

x2 + px + q

ив правой части получился интеграл типа (21.3).

21.3.Интегралы от дифференциального бинома. Рассмотрим интеграл вида

(a + bxβ )αxγ dx;

(21.4)

его подынтегральное выражение называется дифференциальным биномом. Будем рассматривать случаи, когда α, β и γ являются раци-

ональными, а a и b — произвольными действительными числами. Сделаем в интеграле (21.4) замену переменной

		x = t1/β ,			(21.5)
тогда dx =	1	t1/β−1 dt и, следовательно,
тогда dx =		t1/β−1 dt и, следовательно,
	β
		(a + bxβ )αxγ dx =	1	(a + bt)αt(γ+1)/β−1 dt.	(21.6)
		(a + bxβ )αxγ dx =	β	(a + bt)αt(γ+1)/β−1 dt.	(21.6)
			β

Таким образом, интеграл (21.4) с помощью подстановки (21.5) сводится к интегралу вида

(a + bt)αtλ dt,

(21.7)

где α и λ — рациональные числа, λ = γ +β 1 − 1.

Рассмотрим три случая.

1.α — ц е л о е ч и с л о. Пусть λ = m/n, где m и n > 0 — целые числа. Согласно результатам п. 21.1 подстановка u = t1/n сводит интеграл (21.7) к интегралу от рациональной дроби.

2.λ — ц е л о е ч и с л о. Пусть теперь α = m/n, где m и n > 0 — целые числа. Тогда согласно тому же п. 21.1 интеграл (21.7) приво-

дится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки u = (a + bt)1/n.

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 4526 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.08.2019218.11 Кб3контрольная работа №3 по ВМ(2011).doc
#
24.09.2019317.95 Кб15Копия Т Ф К П.doc
#
10.05.20151.13 Mб10КР по ТПР Чекменёв А.С..docx
#
10.05.2015649.22 Кб77КР_Ромашин_РС110_2012_1.doc
#
24.09.2019131.07 Кб5КРАТКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ОСНОВНЫХ АХОВ.doc
#
10.05.20155.57 Mб752Краткий курс математического анализа. Том 1.pdf
#
10.05.20154.49 Mб329Краткий курс математического анализа. Том 2.pdf
#
10.05.20151.56 Mб90краткое сожержание курса БЖД.doc
#
16.11.201929.92 Кб28кризис.docx
#
16.03.20162.51 Mб726Криминология Малков В. Д..doc
#
27.11.2019524.29 Кб69Курс лекций Интернет-технологии.doc