Краткий курс математического анализа. Том 1

Итак, в трех случаях, когда α, λ или α + λ являются целыми числами, интеграл (21.7) сводится к интегралу от рациональных функций.

начальном интеграле (21.4) является целым числом, то этот интеграл сводится к интегралу от рациональных функций и, следовательно, выражается через элементарные функции.

Русский математик П. Л. Чебышев 1) показал, что ни в каком другом случае рациональных показателей α, β и γ интеграл (21.4) не выражается через элементарные функции.

§ 22. Интегрирование некоторых трансцендентных функций

1) П. Л. Чебышев (1821–1894) — русский математик.

9 Л. Д. Кудрявцев

Например,

т. е. получился интеграл от рациональной дроби (k и l могут быть отрицательными).

Если m и n — четные числа, то полезна подстановка u = tg x — см. пример 2 в п. 22.1.

Если оба показателя m и n неотрицательные и четные, то, приме-

× cos βx dx вычисляются, если их подынтегральные выражения преобразовать по формулам

sin αx cos βx = 12 [sin(α + β)x + sin(α − β)x], sin αx sin βx = 12 [cos(α − β)x − cos(α + β)x], cos αx cos βx = 12 [cos(α + β)x + cos(α − β)x].

Например,

sin x cos 2x dx = 12 sin 3x dx − 12 sin x dx = −16 cos 3x + 12 cos x + C.

9*

от рациональных функций и, следовательно, также выражающиеся через элементарные функции. Например,

В заключение подчеркнем, что далеко не всякий интеграл от элементарной функции выражается через элементарные функции. Среди таких интегралов встречаются интегралы, которые находят большое применение в различных разделах математики. К числу их относятся,

например, вероятностный интеграл e−x2 dx, интегральный логарифм

§23. Определенный интеграл

23.1.Определенный интеграл Римана 1). Напомним, что множество τ = {xk}kk==k0τ точек отрезка [a, b] таких, что

a = x0 < x1 < ... < xkτ −1 < xkτ = b,

называется разбиением отрезка [a, b], a R, b R.

Точки xk называются точками разбиения τ , отрезки [xk−1, xk ] —

содержится в разбиении τ . В этом случае каждый отрезок [xk−1, xk ]

разбиения содержится в некотором отрезке [xj−1, xj ] разбиения τ , j = 1, 2, ..., kτ .

Разбиение τ , вписанное в разбиение τ , называется также разбиением, следующим за разбиением τ , и пишут τ τ. В этом случае говорят также, что разбиение τ предшествует разбиению τ , и пишут

τ τ .

Существенными являются следующие два с в о й с т в а р а з б и е-

н и й о т р е з к а.

1◦. Если τ τ , а τ τ , то τ τ .

1) Б. Риман (1826–1866) — немецкий математик.

262 Гл. 2. Интегральное исчисление функций одной переменной

Действительно, если каждый отрезок разбиения τ содержится в некотором отрезке разбиения τ , а каждый отрезок разбиения τ содержится в некотором отрезке разбиения τ , то каждый отрезок

разбиения τ содержится в соответствующем отрезке разбиения τ.

2◦. Для любых разбиений τ и τ существует такое разбиение τ ,

что τ τ и τ τ .

В самом деле, таким разбиением является, например, разбиение, состоящее из всех точек обоих разбиений τ и τ .

Пусть функция f определена на отрезке [a, b], a < b, и τ = = {xk}kk==k0τ — некоторое разбиение этого отрезка. Всякая сумма στ

вида

στ = στ (f ; ξ1, ..., ξkτ ) def= kτ f (ξk)Δxk ,

k=1

ξk [xk−1, xk], k = 1, 2, ..., kτ ,

называется интегральной суммой Римана функции f.

В случае если функция f неотрицательна, то интегральная сумма στ равна площади фигуры, со- ставленной из прямоугольников с основанием [xk−1, xk] и высотой длины

f (ξk) (рис. 102).

О п р е д е л е н и е 1. Функция f

называется интегрируемой по Риману на отрезке [a, b], если для любой

последовательности разбиений

τn = {x(kn)}kk==k0τn , n = 1, 2, ...,

имеют и притом один и тот же предел.

Этот предел называется интегралом Римана функции f по отрез-

b

ку [a, b]. Его обозначают f (x) dx и пишут

a

b

a

если только lim |τn| = 0.

n→∞

Можно сформулировать определение интеграла Римана и не используя понятия предела последовательности, а, как говорят, на «язы-

ке ε–δ».

О п р е д е л е н и е 2. Число I называется интегралом Римана от функции f на отрезке [a, b], если для любого ε > 0 существует такое

δ > 0, что, каково бы ни было разбиение τ = {xk}kk==k0τ отрезка [a, b], мелкость которого меньше δ : |τ | < δ, и каковы бы ни были точки ξk [xk−1, xk ], k = 1, 2, ..., kτ , выполняется неравенство

|στ (f ; ξ1, ..., ξkτ ) − I| < ε.

Аналогично равносильности определений предела функции в терминах последовательностей и в терминах окрестностей доказывается и равносильность определений 1 и 2 интеграла Римана. Это рекомен-

дуется читателю проделать самостоятельно.

b

В интеграле f (x) dx число a называется нижним, а число b —

a

верхним пределом интегрирования.

В дальнейшем для краткости вместо «функция, интегрируемая по Риману», будем говорить «интегрируемая функция», а вместо «интеграл Римана» — просто «интеграл».

Дополним определение интеграла следующими соглашениями.

a Если функция f задана в точке x = a, то по определению

23.2. Ограниченность интегрируемых функций. Изучение определенного интеграла начнем с исследования необходимых, а затем и достаточных условий интегрируемости функций.

жество {στ }, |τ | < δ (число δ > 0 было выбрано выше), что противоречит неравенству (23.2).

З а м е ч а н и е. Условие ограниченности функции, являясь необходимым условием интегрируемости функции по Риману, не является достаточным условием для этого. В самом деле, рассмотрим, напри-

Каковы бы ни были отрезок [a, b] и его разбиение τ = {xk }kk==k0τ , выбрав все точки ξk [xk−1, xk ] рациональными, в силу условия f (ξk) = 1, k = 1, 2, ..., kτ , получим

а выбрав точки ξk иррациональными, в силу условия f (ξk) = 0, k = = 1, 2, ..., kτ , будем иметь

Поэтому интегральные суммы στ функции Дирихле заведомо не имеют предела при |τ | → 0.

Тем самым функция Дирихле дает пример функции, ограниченной на любом отрезке, но неинтегрируемой на нем.

23.3. Верхние и нижние суммы Дарбу 1). Пусть функция f

Сумма Sτ , называется верхней, а сумма sτ — нижней суммой Дарбу функции f. Очевидно, что в случае, когда функция f ограничена, то нижние mk и верхние Mk грани (23.5) конечны, и потому суммы Дарбу (23.6) при любом разбиении принимают конечные значения. В дальнейшем будем предполагать, что функция f ограниченна — это естественно, так как нас будут интересовать свойства интеграла от функции f , а он, согласно теореме 1, может существовать только в том случае, когда функция ограниченна.

1) Г. Дарбу (1842–1917) — французский математик.

266 Гл. 2. Интегральное исчисление функций одной переменной

Из того, что выполняется неравенство mk Mk, k = 1, 2, ..., kτ ,

является объединением некоторых отрезков разбиения τ . Обозначим

ку jk нижняя грань значений функции может только увеличиваться.

j