Краткий курс математического анализа. Том 1

Пусть теперь τ1 и τ2 — два произвольных разбиения отрезка [a, b]. Возьмем какое-либо разбиение τ , вписанное в разбиения τ1 и τ2, т. е. τ τ1 и τ τ2. Тогда неравенство (23.9) вытекает из следующей цепочки неравенств:

sτ1 sτ Sτ Sτ2 .

(23.12) (23.7) (23.13)

2◦. Нижняя (верхняя) сумма Дарбу является нижней (верхней) гранью интегральных сумм Римана, соответствующих данно-

= [xk−1, xk], k = 1, 2, ..., kτ . Тогда в силу того, что нижняя грань

арифметической суммы числовых множеств равна сумме нижних граней этих множеств, и того, что положительный постоянный множитель можно внести под знак нижней грани (п. 4.3), получим

т. е. равенство (23.14) доказано. Аналогично доказывается равенство (23.15).

3◦. Имеет место равенство

k=1

где ωk (f ) — колебание функции f на отрезке [xk−1, xk] разбиения τ , k = 1, 2, ..., kτ (см. п. 7.4).

Формула (23.16) следует из того, что для любого множества XRn справедливо равенство

sup(X − X) = sup (x − x) = sup X − inf X,

x,x X

268 Гл. 2. Интегральное исчисление функций одной переменной

т. е. разность верхней и нижней граней двух множеств (в данном случае одного и того же) равна верхней грани разности этих множеств (п. 4.3). В самом деле, так как

При заданной на отрезке [a, b] ограниченной функции f верхние и нижние суммы Дарбу являются функциями, заданными на множестве {τ } всех разбиений отрезка [a, b]. Для таких функций можно определить их предел по аналогии с понятием предела интегральных сумм Римана.

Пусть на множестве {τ } всех разбиений τ отрезка [a, b] задана

функция F : τ → F (τ ) R.

О п р е д е л е н и е 3. Число A назовем пределом функции F (τ ) при

Определение предела (23.17) можно сформулировать и на «языке

ε–δ».

О п р е д е л е н и е 4. Число A называется пределом функции F (x) при |τ | → 0, если для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для всех разбиений τ отрезка [a, b], имеющих мелкость |τ | < δ, выполняется неравенство

Поскольку определения предела (23.17) так же, как и определения предела интегральных сумм (23.1), могут быть сформулированы в терминах пределов последовательностей, то на эти пределы переносятся обычные свойства пределов, в частности возможность предельного перехода в неравенствах.

В смысле предела (23.17) мы и будем в дальнейшем говорить

23.4. Нижний и верхний интегралы. Пусть функция f ограничена на отрезке [a, b]. Рассмотрим верхнюю грань I всевозможных

ее нижних сумм Дарбу и нижнюю грань I всевозможных верхних сумм Дарбу:

Число I называется нижним, а число I — верхним интегралом функции f. Из неравенства (23.9) следует, что если функция f огра-

ничена на отрезке [a, b], то ее нижний и верхний интегралы конечны и для них выполняется неравенство

В самом деле, перейдя в левой части неравенства (23.9) к верхней

грани по разбиениям τ1, получим, что для любого разбиения τ2 вы-

полняется неравенство I Sτ2 . Перейдя здесь к нижней грани по τ2, получим I I .

Интегралы I и I понадобятся нам ниже при доказательстве критерия интегрируемости функции.

23.5. Необходимые и достаточные условия интегрируемости функций.

Те о р е м а 2. Для того чтобы ограниченная на некотором отрезке функция была интегрируема на нем, необходимо и достаточно, чтобы разность верхних и нижних сумм Дарбу стремилась к нулю, когда мелкость разбиений отрезка стремится к нулю:

С л е д с т в и е. Для того чтобы ограниченная на отрезке [a, b] функция f была на нем интегрируема, необходимо и достаточно,

где τ = {xk }kk==k0τ — разбиение отрезка [a, b], а ωk (f ) — колебание функции f на отрезке [xk−1, xk], k = 1, 2, ..., kτ .

Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть ограниченная на отрезке [a, b] функ-

b

στ = στ (f ; ξ1, ..., ξkτ ) выполняется неравенство |στ − I| < ε, а следовательно, и неравенство

было показано, что при выполнении этого условия верхний I и ниж-

Аэто равносильно существованию пределов (23.25).

23.6.Интегрируемость непрерывных и монотонных функ-

ций.

Те о р е м а 4. Функция, непрерывная на отрезке, интегрируема на нем.

Если функция f непрерывна на отрезке [a, b], то она, во-первых, ограничена на нем, а во-вторых, равномерно непрерывна. Последнее означает, что для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для всех точек x [a, b] и x [a, b] таких, что |x − x| < δ, выполняется неравенство |f (x ) − f (x)| < ε.

Возьмем для отрезка [a, b] какое-либо разбиение τ = {xk }kk==k0τ мелкости |τ | < δ. Тогда для любых двух точек x и x , принадлежащих

одному и тому же отрезку разбиения τ , x [xk−1, xk ], x [xk−1, xk ], имеет место неравенство |x − x| xk − xk−1 = xk |τ | < δ, а поэтому и неравенство |f (x ) − f (x)| < ε. Отсюда следует, что колеба-

ние ωk (f ) функции f на отрезке [xk−1, xk ] удовлетворяет неравенству

Поскольку ε было произвольным положительным числом, то нера-

Те о р е м а 5. Функция, монотонная на отрезке, интегрируема на нем.

Пусть для определенности функция f возрастает на отрезке [a, b]. Тогда, в частности, для любого x [a, b] выполняется неравенство

f (a) f (x) f (b),

274 Гл. 2. Интегральное исчисление функций одной переменной

на неотрицательные слагаемые вида ωk (f )Δxk, соответствующие отрезкам [xk−1, xk ] разбиения τ , лежащим вне отрезка [a , b ], получим

тому же следствию теоремы 2 п. 23.5, и означает интегрируемость функции f на отрезке [a , b ].

Если τac и τcb — разбиения соответственно отрезков [a, c] и [c, b], то объединение этих разбиений τ = τac τcb является разбиением отрезка [a, b], причем

Пусть στac и στcb — какие-либо интегральные суммы Римана функции f , соответствующие разбиениям τac и τcb; тогда

— интегральная сумма Римана функции f на отрезке [a, b]. Согласно свойству 2◦ из интегрируемости функции f на отрезке

[a, b] следует ее интегрируемость на отрезках [a, c] и [c, b]. Следова-

Поэтому, перейдя к пределу в равенстве (24.7) при условии |τ | → 0 (при этом в силу (24.6) |τac| → 0 и |τcb → 0), получим формулу (24.5).

a

(см. п. 23.1) формула (24.5) остается в силе и при c b, если только функция f интегрируема на отрезке [a, c].

З а м е ч а н и е 2. Если функция f интегрируема на отрезках [a, c] и [c, b], то она интегрируема и на отрезке [a, b], а следовательно, для нее в силу свойства 3◦ имеет место формула (24.5).

Действительно, если функция f интегрируема на отрезках [a, c] и [c, b], то она ограничена на них, а поэтому ограничена и на отрезке [a, b]. Далее, всякое разбиение τ отрезка [a, b], не содержащее точки x = c, добавлением этой точки превращается в разбиение τ , которое является объединением разбиений τac и τcb соответственно отрезков [a, c] и [c, b]. Если точка x = c входит в разбиение τ , то положим τ = τ. Тогда |τ | |τ |. Рассмотрим такие интегральные суммы στ и στ , что у них на отрезках разбиений τ и τ , не содержащих точки x = c, выбраны одинаковые точки, в которых берутся значения функции f. Эти суммы отличаются друг от друга не более чем на три слагаемых.

lim στ b = f (x) dx, то существует и предел

|τ |→0 c

c

cb

lim στ = f (x) dx + f (x) dx,

|τ |→0

ac

то существует и равный ему предел

т.е. функция f интегрируема на отрезке [a, b].

За м е ч а н и е 3. Из свойства аддитивности интеграла и из теоремы 4 п. 23.6 следует интегрируемость так называемых кусочнонепрерывных на отрезке функций.