Краткий курс математического анализа. Том 1

в неравенстве (24.9) к верхним граням по всевозможным x [xk−1, xk ] и x [xk−1, xk ], получим

ωk (f g) A[ωk(f ) + ωk (g)], k = 1, 2, ..., kτ ;

здесь ωk (·), как обычно, — колебание соответствующей функции на отрезке [xk−1, xk ]. Отсюда

В силу интегрируемости функций f и g на отрезке [a, b] имеем (см. (23.21))

откуда в силу того же критерия (23.21) и вытекает интегрируемость произведения f g.

6◦. И н т е г р и р о в а н и е ч а с т н о г о и н т е г р и р уе м ы х ф у н к- ц и й. Если функции f и g интегрируемы на некотором отрезке и абсолютная величина функции g ограничена на нем снизу положи-

грируема. Пусть функция g интегрируема на отрезке [a, b] и существу-

ет такая постоянная c > 0, что для всех точек x [a, b] выполняется неравенство |g(x)| c. Тогда для любых точек x, x [a, b] имеем

Если τ = {xk}kk==k0τ — разбиение отрезка [a, b] и точки x, x содержатся в одном и том же отрезке [xk−1, xk], k = 1, 2, ..., kτ , разбиения τ , то переходя к верхним граням в полученном неравенстве, будем иметь

В силу интегрируемости функции g правая часть неравенства стремится к нулю при |τ | → 0. Поэтому стремится к нулю и его левая

278 Гл. 2. Интегральное исчисление функций одной переменной

a

Из неравенства (24.11) следует, что для любых интегральных сумм στ (f ) и στ (g) соответственно функций f и g выполняется неравенство

к пределу при |τ | → 0, получим неравенство (24.12).

Неравенство (24.13) следует из неравенства (24.12) при g(x) ≡ 0.

8◦. Если функция f интегрируема и неотрицательна на отрезке [a, b], существует точка x0 [a, b], в которой функция f непрерывна, и f (x0) > 0, то

b

f (x) dx > 0.

a

Если функция f непрерывна в точке x0 [a, b] и f (x0) > 0, то из

очевидного неравенства f (x0) > f (x0) > 0 согласно «лемме о сохра-

2

нении знака» (см. следствие из следствия 2◦ в п. 6.7) следует, что

существует такой отрезок [α, β], что x0 [α, β] [a, b], α < β, и для всех точек x [α, β] выполняется неравенство

280 Гл. 2. Интегральное исчисление функций одной переменной

Заметим, что если не предполагать, что a < b (см. п. 23.1), то вместо неравенства (24.16) следует писать

x

непрерывны на этом отрезке.

С л е д с т в и е. Если функция f интегрируема на отрезке [a, b], то

b−ε b

Функция f , будучи интегрируемой на отрезке [a, b], ограничена на нем, поэтому существует такая постоянная c > 0, что для всех x [a, b] выполняется неравенство

а в случае g(x) 0 — неравенство

mg(x) f (x)g(x) M g(x).

284 Гл. 2. Интегральное исчисление функций одной переменной

Докажем следствие.

Если функция f непрерывна на отрезке [a, b], то согласно теореме Вейерштрасса она достигает своих наибольшего и наменьшего значений в некоторых точках α и β этого отрезка:

выполняется условие (24.27) теоремы и, следовательно, существует такое число μ,

для которого выполняется равенство (24.28).

Всилу условий (24.37), (24.38), согласно теореме Больцано–Коши

опромежуточных значениях непрерывной функции, на отрезке [a, b]

существует точка ξ, для которой имеет место равенство f (ξ) = μ, а поэтому и равенство (24.29). Покажем, что, более того, точку ξ всегда можно выбрать так, что она будет лежать на интервале (a, b).

поэтому равенство (24.29) выполняется при любом выборе точки ξ

(a, b).

Пусть теперь

b

a

и для определенности g(x) 0 во всех точках x отрезка [a, b], а сле-

довательно,

b

a

(Случай g(x) 0, a x b, сводится к рассматриваемому заменой функции g(x) на функцию −g(x): применив к неотрицательной функции g(x) формулу (24.29) и умножив обе части равенства на −1, получим и в этом случае формулу (24.29).)

Из выполнения условий (24.39) и (24.40) следует, что

b

a

Всилу неравенства (24.38) возможны три случая: m < μ < M ,

μ= M и μ = m. Если m < μ < M , то из условий (24.37) согласно тео-

реме Больцано–Коши о промежуточных значениях непрерывной на

отрезке функции следует, что между точками α и β, а следовательно, на интервале (a, b) существует такая точка ξ, что f (ξ) = μ.

Если же μ = M , то равенство (24.28) примет вид

a

Из неравенства (24.41) в силу следствия из свойства 10◦ определенного интеграла (см. п. 24.1) существует такое ε > 0, что

b−ε

a+ε

Если бы на интервале (a, b) не существовала точка ξ, в которой f (ξ) = M , то непрерывная функция M − f (x) была бы положительной во всех точках отрезка [a + ε, b − ε], а следовательно, и в точке x0[a + ε, b − ε], в которой она принимает наименьшее значение на этом отрезке; т. е., если