Краткий курс математического анализа. Том 1

прямоугольникам, лежащим в квадрате, площади которых образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию 12 , 14 , 18 , ..., сум-

ма которой равна 1, т. е. площади квадрата Q: 12 + 14 + 18 + ... = 1.

Естественно, что площадь бесконечной фигуры P равна (как это можно доказать) площади квадрата Q, т. е. положительной конечной величине.

Заметим, что бесконечная фигура P лежит над осью x и под графиком «ступенчатой» (кусочно-постоянной) функции, изображенной на рис. 106.

Нетрудно получить и бесконечное множество конечной площади, ограниченное графиком непрерывной на полуинтервале (0, 1] функции, положительной полуосью оси y, отрезком 0 x 1, y = 0, оси x. Чтобы получить график такой функции, достаточно, например, соединить прямолинейными отрезками правые концы ступенек графика функции, изображенной на рис. 106. В результате получится функция, график которой изображен на рис. 107.

Отметим, что эта функция, будучи неограниченной, неинтегрируема по Риману.

27.3. Понятие объема. Пусть в трехмерном пространстве R3 фиксирована декартова прямоугольная система координат x, y, z. Аналогично разбиению плоскости на квадраты ранга k = 0, 1, 2, ...

можно произвести разбиение пространства R3 на кубы с помощью плоскостей, параллельных координатным плоскостям и отстоящих

Множество вида (28.1) называется криволинейной трапецией, порожденной графиком функции f (рис. 108).

Обозначим соответственно через pτ и Pτ замкнутые прямоугольники, составленные из всех прямоугольников вида

Из (28.3) следует, что для любого разбиения τ выполняется включение pτ P Pτ , а следовательно (см. теорему в п. 27.1),

как прямоугольники Pτ ,k, соответственно pτ ,k, не имеют общих внутренних точек, то в силу (28.6)

302 Гл. 2. Интегральное исчисление функций одной переменной

Множества pτ ,k и Pτ ,k представляют собой круговые секторы с углом ϕk и радиусами соответственно mk и Mk , а pτ и Pτ — ступенчатые фигуры, составленные из указанных секторов и соответственно содержащиеся в множестве P и содержащие его: pτ P Pτ . Из этих

Согласно формуле для площади сектора

28.3. Вычисление длины кривой. Применение определенного интеграла к задачам вычисления площадей множеств было основано на его равенстве пределу интегральных сумм. Приведем теперь пример приме-

нения определенного интеграла, который основан на формуле Ньютона–Лейбница, позволяющий найти значение функции,

если известна ее производная. Пусть Γ — кривая, заданная своим

непрерывно дифференцируемым векторным представлением r = r(t), a t b; тогда она спрямляема, и если s = s(t) — ее переменная длина дуги, отсчитываемая

от начала, то функция s(t) дифференцируема и s (t) = |r (t)|.

По формуле Ньютона–Лейбница для длины S = s(b) кривой имеем формулу

Если r(t) = (x(t), y(t), z(t)), то

b

a

В случае, когда кривая Γ является графиком функции y = f (x), a x b, для ее длины S в силу (28.18) справедлива формула

П р и м е р. Вычислим длину астроиды

x = a cos3 t, y = a sin3 t

304 Гл. 2. Интегральное исчисление функций одной переменной

(рис. 114). В силу симметричности астроиды относительно координатных осей ее длина S равна учетверенной длине ее части, лежащей в первом координатном угле, т. е. соответствующей изменению параметра на отрезке [0, π/2].

Заметив, что

x = −3a cos2 t sin t, y = 3a sin2 t cos t,

согласно формуле (28.18), в которой надо положить z = 0, получим

28.4. Площадь поверхности вращения. Пусть на отрезке

[a, b] задана неотрицательная функция y = f (x): f (x) 0, a x b.

Множество, получающееся вращением графика функции f (x) вокруг оси Ox, называется поверхностью вращения (этого графика).

Определим ее площадь. Пусть τ = {xk }kk==k0τ — какое-либо разбиение отрезка [a, b]. Впишем в график функции f ломаную λτ , соответствующую разбиению τ , т. е. ломаную с вершинами в точках (xk, yk ),

и (xk, yk ) (будем называть его k-м звеном ломаной λτ ) при вращении

его вокруг оси x описывает боковую поверхность усеченного конуса (в частности, при yk−1 = yk — боковую поверхность цилиндра, а при yk−1 = 0 или yk = 0 — боковую поверхность конуса), площадь которой равна

π(yk−1 + yk ) x2k + yk2 , (28.21)

где yk−1 и yk — соответственно радиусы оснований усеченного ко-

получающейся от вращения ломаной λτ вокруг оси Ox, выражается формулой

Если существует предел lim Lτ , то он называется площадью по-

|τ |→0

верхности вращения, образованной вращением графика функции вокруг оси x. Таким образом, обозначив через L площадь указанной поверхности вращения, будем иметь

Пусть теперь функция f непрерывно дифференцируема на отрезке [a, b]; тогда для площади поверхности L можно получить удобную для вычислений формулу в виде некоторого интеграла.

Те о р е м а 2. Если функция f непрерывно дифференцируема и неотрицательна на отрезке [a, b], то для площади поверхности вращения, образованной вращением графика функции f вокруг оси Ox, имеет место формула

L = 2π f (x) 1 + f 2(x) dx.

a

Функция f непрерывно дифференцируема на отрезке [a, b], т. е. ее производная непрерывна, и, следовательно, ограничена на этом отрезке. Это означает, что существует такая постоянная c > 0, что для всех точек x [a, b] выполняется неравенство