Краткий курс математического анализа. Том 1

348 Гл. 3. Ряды

Те о р е м а 7 (признак Даламбера). Пусть для ряда

неравенство un < qun−1. Применяя это неравенство последовательно для n = n0 + 1, n0 + 2, ..., получим

un0+1 < qun0 ,

un0+2 < qun0+1 < q2un0 ,

. . . . . . . . . . .

un0+k < qk un0 ,

. . . . . . . . . . .

Пусть теперь l > 1; тогда в силу условия (30.28) существует такой

номер n0, что для всех n > n0 выполняется неравенство un > 1,

un−1

а поэтому и неравенство un > un−1. Применяя его последовательно для n = n0 + 1, n0 + 2, ..., получим

un+1 > un > ... > un0+1 > un0 > 0.

Поэтому последовательность членов ряда (30.27) не стремится к нулю, откуда и следует его расходимость.

Те о р е м а 8 (признак Коши). Пусть для ряда

Пусть сначала l < 1. Выберем число q так, чтобы l < q < 1. Тогда в силу условия (30.30) существует такой номер n0, что для всех

и ряд (30.29).

Если l > 1, то в силу условия (30.30) существует такой номер n0,

√

что при n > n0 выполняется неравенство n un > 1, т. е. un > 1, и, следовательно, последовательность членов ряда (30.29) не стремится к нулю, поэтому этот ряд расходится.

(см. пример 4 в п. 13.2). Таким образом, при применении признаков Даламбера и Коши соответствующие пределы равны единице, т. е. при помощи этих признаков нельзя определить, сходятся или расходятся рассматриваемые ряды. Среди них есть как сходящиеся при α > 1,

30.5. Знакочередующиеся ряды.

Те о р е м а 9 (Лейбниц). Если последовательность {un} убывает

истремится к нулю, т. е.

в силу чего члены ряда (30.32) поочередно то 0, то 0.

Ряды вида (30.32) при un > 0 называются знакочередующимися.

Частичные суммы с четными номерами ряда (30.32) возрастают и неотрицательны. В самом деле,

s2n+2 = (u1 − u2) + (u3 − u4) + ... + (u2n+1 − u2n+2) =

= s2n + (u2n+1 − u2n+2) s2n 0, n = 2, 3, ..., (30.35)

ибо в силу убывания последовательности {un} значения всех выражений, стоящих в круглых скобках, неотрицательны. Кроме того, последовательность {s2n} ограничена сверху:

s2n = u1 − (u2 − u3) − ... − (u2n−2 − u2n−1) − u2n u1, (30.36)

Поскольку последовательность {s2n} возрастает и ограничена сверху, то она имеет конечный предел

Покажем, что тот же предел имеет и последовательность частичных сумм с нечетными номерами. Действительно,

s2n+1 = s2n + u2n+1,

Из (30.37), (30.39) следует, что последовательность {sn} всех частичных сумм ряда (30.32) имеет конечный предел s, т. е. этот ряд сходится, и s является его суммой.

Докажем неравенство (30.33). Имеем

s − sn = ∞ (−1)n+k+1un+k = (−1)n ∞ (−1)k+1un+k ,

где в правой части стоит ряд ∞ (−1)k+1un+k . Применив к нему нера-

k=1

венство (30.38), получим

0 ∞ (−1)k+1un+k un+1, k=1

поэтому

|s − sn| = ∞ (−1)k+1un+k un+1.

k=1

З а м е ч а н и е. Выше (см. следствие теоремы 6 в п. 30.4) было

∞ ∞

n=1 n=1

их члены эквивалентны: un vn, n → ∞ (см. (30.22)), то они одновременно сходятся или расходятся. Для не знакопостоянных рядов аналогичное утверждение уже не имеет места. Например, если

352 Гл. 3. Ряды

к членам ряда бесконечно малые более высокого порядка по сравнению с членами ряда, можно изменить сходимость ряда: из сходящегося ряда получить расходящийся.

30.6. Абсолютно сходящиеся ряды.

О п р е д е л е н и е 3. Ряд

n=1

называется абсолютно сходящимся, если ряд, членами которого являются абсолютные величины членов данного ряда, т. е.

n=1

сходится.

Те о р е м а 10 (критерий Коши абсолютной сходимости ряда). Для того чтобы ряд (30.40) абсолютно сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовало такое n0, что для всех номеров n > n0 и всех p = 0, 1, ... выполнялось бы неравенство

p

|un+k | < ε.

k=0

Это сразу следует из определения абсолютно сходящегося ряда и критерия Коши сходимости ряда (теорема 4 из п. 30.3).

Те о р е м а 11. Если ряд абсолютно сходится, то он сходится.

Это следует из неравенства

В самом деле, в силу критерия Коши абсолютной сходимости ряда (30.40) для любого ε > 0 существует такое n0, что для всех n > n0 и всех p 0 правая часть неравенства (30.42) меньше ε. Следовательно, и левая часть этого неравенства окажется меньше ε, т. е. для ряда

354 Гл. 3. Ряды

Зафиксируем произвольно ε > 0. В силу абсолютной сходимости ряда (30.40) существует такой номер n0, что

Выберем номер m0 так, чтобы частичная сумма sm0 ряда (30.43) содержала в качестве своих слагаемых все члены ряда (30.40), входящие в сумму sn0 . Для всякого m > m0 положим

В силу выбора номера m0 слагаемыми суммы sm0 являются члены ряда (30.40) с номерами, большими n0. Поскольку абсолютная величина суммы sm не превышает абсолютных величин ее слагаемых, то

Второе утверждение — абсолютная сходимость ряда (30.43) — следует из уже доказанного первого утверждения, если его применить

к ряду

∞

|un|. (30.48)

n=1

В самом деле, если ряд (30.40) абсолютно сходится, то сходится ряд (30.48), причем он, очевидно, сходится абсолютно, так как его члены неотрицательны. Поэтому согласно доказанному сходится и любой ряд, получающийся перестановкой членов ряда (30.48), в частности,