Краткий курс математического анализа. Том 1

Те о р е м а 4. Если несобственный интеграл абсолютно сходится, то он и просто сходится.

b

Если интеграл f (x) dx абсолютно сходится, то согласно необхо-

a

димости выполнения условий критерия Коши абсолютной сходимости

В силу достаточности выполнения условий критерия Коши для сходимости интеграла из (29.28) и (29.31) следует сходимость интеграла

b

f (x) dx.

a

Если интеграл от абсолютной величины функции сходится, то она называется абсолютно интегрируемой (в несобственном смысле) на

соответствующем промежутке.

Теорема 4 показывает, что если функция абсолютно интегрируема, то она и просто интегрируема в несобственном смысле. Обратное утверждение неверно. Действительно, рассмотрим интеграл

+∞

0

Прежде всего, если доопределить подынтегральную функцию при

x = 0 единицей, то, поскольку lim sin x = 1, получившаяся функция

x→0 x

будет непрерывной, а следовательно, интегрируемой по Риману на любом отрезке [0, η], η > 0. Поэтому определение (29.1) несобственного

330 Гл. 2. Интегральное исчисление функций одной переменной

интеграла (29.32) имеет смысл. Кроме того, интеграл (29.32) сходится или расходится одновременно с интегралом

+∞

1

Для выяснения сходимости этого интеграла проинтегрируем его по частям: если в результате получатся выражения, имеющие смысл и принимающие конечные значения, то это будет являться обоснованием возможности интегрирования по частям и будет означать сходимость интеграла (29.33). Имеем

Следовательно, интегралы (29.35), а потому и (29.33) сходятся. Покажем теперь, что интеграл (29.33) не сходится абсолютно, т. е.

1

т. е. действительно интеграл (29.33) не сходится абсолютно.

З а м е ч а н и е. Отметим одно простое свойство абсолютно схо-

b

дящихся интегралов. Если интеграл f (x) dx абсолютно сходится,

a

также абсолютно сходится.

В самом деле, произведение интегрируемых по Риману функций также интегрируемо по Риману (свойство 5 в п. 24.1), поэтому функция f (x)g(x) интегрируема на любом отрезке [a, η] [a, b), и, следова-

b

тельно, можно говорить о несобственном интеграле f (x)g(x) dx.

a

332 Гл. 2. Интегральное исчисление функций одной переменной

Из ограниченности функции g(x) следует, что существует такая постоянная c > 0, что для всех x [a, b) выполняется неравенство |g(x)| c, а поэтому и неравенство |f (x)g(x)| c|f (x)|, из которого

b

явствует, что сходимость интеграла |f (x)g(x)| dx вытекает, согласно

признаку сравнения для сходимостиaинтегралов от неотрицательных

b

функций, из сходимости интеграла |f (x)| dx.

a

Определение абсолютно сходящегося интеграла естественным образом обобщается на несобственный интеграл общего вида, определяемый с помощью правильных разбиений промежутка интегрирования (см. п. 29.1), и для него остаются верными аналоги теорем, доказанных выше в этом пункте для абсолютно сходящихся интегралов специального вида (определение 1, п. 29.1).

29.6. Признаки сходимости Дирихле и Абеля.

Те о р е м а 5 (признак Дирихле). Если на полуоси x a:

1)функция f непрерывна и имеет ограниченную первообразную;

2)функция g непрерывно дифференцируема и убывает, стремясь

a

сходится.

Пусть F — ограниченная первообразная функции f на полуоси x a, F (x) = f (x). По условию функция f непрерывна, поэтому функция F непрерывно дифференцируема. Проинтегрируем по ча-

Поскольку по условию функция F ограничена на полуоси x a, то существует такая постоянная c > 0, что для всех x a выполняется

и, следовательно, |F (b)g(b)| c|g(b)|. В силу стремления к нулю функции g при x → +∞ отсюда получаем

b→+∞

b

Докажем теперь, что интеграл F (x)g (x) dx, стоящий в правой ча-

Далее, из того, что функция g при x a, убывая, стремится к нулю, когда x → +∞, следует, что g(x) 0 при x a, в частности,

= c[g(a) − g(b)] cg(a).

(29.46)

b

Таким образом, множество интегралов |F (x)g (x)| dx при всех b a

a

ограничено сверху, а это, согласно лемме п. 29.3, и означает сходи-

солютно, а следовательно, и просто сходится, т. е. существует конечный предел

b +∞

В силу выполнения условий (29.44) и (29.47) из равенства (29.42) следует существование конечного предела

что и означает сходимость интеграла (29.41).

Те о р е м а 6 (признак Абеля). Если на полуоси x a: 1) функция f непрерывна и интеграл

+∞

a

сходится;

334 Гл. 2. Интегральное исчисление функций одной переменной

2) функция g непрерывно дифференцируема, ограничена и моно-

Покажем, что эта теорема вытекает из предыдущей. Прежде всего отметим, что интегралы

сходятся или расходятся одновременно и что в силу монотонности функции g одна из функций g или −g убывает. Пусть для определенности убывает функция g. В силу ее ограниченности и монотонности существует конечный предел

lim g(x) = c,

x→+∞

а так как функция g убывает, то, убывая, стремится к нулю и разность g(x) − c при x → +∞.

Из этого же условия следует, что интеграл F (x) = f (t) dt, x a,

a

окрестности U (+∞) = {x : x > b} бесконечно удаленной точки +∞ (свойство 1◦ из п. 6.7). На отрезке же [a, b] функция F ограничена, ибо она непрерывна. В результате функция F ограничена на всей полупрямой x a. Функция F является первообразной функции f , тем самым функция f имеет ограниченную первообразную при x a.

a

условия признака Дирихле, и потому этот интеграл сходится. В силу доказанного из равенства (29.49) следует сходимость интеграла

+∞

f (x)g(x) dx.

a

a

сходится при всех α > 0. Действительно, функция f (x) = sin x имеет ограниченную первообразную F (x) = − cos x, а функция g(x) = 1/xα, убывая, стремится к нулю.

a

а функция g(x) = arctg x ограниченна и монотонна.

З а м е ч а н и е. Усовершенствовав доказательства теорем 5 и 6, можно показать, что признаки Дирихле и Абеля сходимости интегралов остаются справедливыми, если у функции f условие ее непрерывности заменить условием ее интегрируемости на любом конечном отрезке [a, b], а у функции g отбросить требование ее непрерывной дифференцируемости, оставив все остальные.

29.7. Интегралы от комплекснозначных функций действительного аргумента. Если функция f (x) определена на про-

межутке с концами a и b, −∞ a < b +∞, и ее значениями являются комплексные числа, т. е.

b

то интеграл f (x) dx (собственный или несобственный) определяется

равенством a

Это определение имеет, конечно, смысл только тогда, когда оба

интеграла в правой части равенства существуют.

b

Интеграл f (x) dx называется несобственным, если хотя бы один

ный интеграл f (x) dx называется сходящимся, если сходятся оба

a

336 Гл. 2. Интегральное исчисление функций одной переменной

bb

интеграла u(x) dx, v(x) dx. В этом случае, согласно определению,

aa

имеет место равенство (29.51).

Функция f (x) называется абсолютно интегрируемой, если абсолютно интегрируемы функции u(x) и v(x).

Определение (29.51) сохраняет свойство линейности:

λ1 C, λ2 C.

Ряд свойств интеграла от действительных функций (аддитивность по множествам интегрирования, формула Ньютона–Лейбница, правила замены переменной и интегрирования по частям) также переносится и на случай комплекснозначных функций.

Если f (x) = u(x) + iv(x), причем действительные функции u(x)

b

lim στ = f (x) dx,

|τ |→0

a

|τ | — мелкость разбиения τ.

Отсюда тем же методом, что и для действительных функций, легко показать, что если для функции f существует интеграл Римана, то он существует и для ее абсолютной величины, причем

Предельным переходом справедливость этого неравенства устанавливается и для абсолютно интегрируемых в несобственном смысле комплекснозначных функций.