Краткий курс математического анализа. Том 1

тельные члены, взятые в том же порядке, в котором они расположены в ряде (30.59). Очевидно, u−n > 0, n = 1, 2, ...

Если одно из множеств {u−n } или {u+n } окажется конечным, то, отбросив в ряде (30.59) соответствующее конечное число первых членов (от чего сходимость ряда не нарушится), получим остаток ряда, члены которого будут неотрицательны или неположительны и, следовательно, во втором случае неотрицательны после умножения всех членов на −1. И в том, и в другом случае, если исходный ряд сходится, то он очевидным образом абсолютно сходится. Таким образом, если ряд (30.59) условно сходится, то оба множества {u+n } и {u−n } бесконечны, т. е. являются последовательностями. Рассмотрим ряды

∞

n=1

Согласно определению члены этих рядов u+n и u−n неотрицательны, поэтому если они расходятся, то

Ле м м а 2. Если ряд (30.59) условно сходится, то оба ряда (30.60)

и(30.61) расходятся.

Положим

Поскольку все слагаемые последних трех сумм s$n, s+n и s−n неотрицательны, то последовательности этих сумм возрастают и, следовательно, имеют конечные или бесконечные пределы.

Суммы sn и s$n можно представить в виде

(для заданного ряда m и k зависят от n = k + m); при этом условие стремления n к бесконечности равносильно стремлению к бесконечности каждого из индексов m и k. Действительно, если бы при n → ∞ номера m = m(n) (соответственно k = k(n)) не стремились к бесконечности, то это означало бы, что в ряде (30.59) имеется лишь конечное число неотрицательных (соответственно отрицательных) членов, а в этом случае ряд (30.59) абсолютно сходился бы, что противоречило бы его условной сходимости. То, что при k → ∞ (соответственно при m → ∞) имеет место n → ∞, очевидно в силу равенства n = k + m.

В силу сходимости ряда (30.59) последовательность {sn} сходится. Если бы сходилась одна из последовательностей {s+k } или {s−m} (т. е.

сходился бы один из рядов (30.60) или (30.61)), то из равенства (30.62) следовало бы, что сходится и другая, а тогда в силу равенства (30.63) оказалось бы, что сходится последовательность {s$n}. Это же означает абсолютную сходимость ряда (30.59), что противоречит сделанному предположению. Поэтому ряды (30.60) и (30.61) расходятся.

Те о р е м а 15 (Риман). Если ряд с действительными членами условно сходится, то, каково бы ни было действительное число s, можно так переставить члены этого ряда, что сумма получившегося ряда будет равна s.

Пусть члены ряда (30.59) — действительные числа, и пусть произвольно задано число s. Рассмотрим ряды (30.60) и (30.61) Наберем из (30.60) подряд столько членов, чтобы их сумма превышала s и чтобы сумма меньшего числа этих членов была не больше s. Точнее, обозначим через n1 наименьшее натуральное число, при котором выполняется условие

Возможность выбора такого числа n1 следует из расходимости ряда (30.60).

Наберем теперь из (30.61) подряд столько членов, чтобы, вычтя их сумму из суммы уже набранных из ряда (30.60) членов, получить значение, меньшее s, и чтобы меньшее число указанных членов ряда (30.61) не обладало этим свойством. Точнее, обозначим через n2 такое наименьшее натуральное число n2, что

Существование такого числа n2 следует из расходимости ряда (30.61). Далее обозначим через n3 > n1 такое наименьшее натуральное

число, что

u+1 + ... + u+n1 − u−1 − ... − u−n2 + u+n1+1 + ... + u+n3 > s, и если n3 > n1 + 1, то

u+1 + ... + u+n1 − u−1 − ... − u−n2 + u+n1+1 + ... + u+n3−1 s.

Очевидно, всегда n3 > n1. Продолжая этот процесс, т. е. набирая соответствующие суммы членов поочередно то из ряда (30.60), то из ряда (30.61), получим ряд

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

n1 < n3 < ... < n2k+1 < ..., n2 < n4 < ... < n2(k+1) < ..., k = 0, 1, 2, ...

Их этих неравенств следует, что частичная сумма вида snm +nm+1 отличается от числа s не более чем на абсолютную величину последнего ее члена, т. е. для всех m = 1, 2, ... имеют место неравенства

где u±nm+1 является абсолютной величиной последнего слагаемого суммы snm +nm+1 (член u±nm+1 может принадлежать как ряду (30.60), так и ряду (30.61), поэтому в качестве верхнего индекса написано ±).

По условию ряд (30.59) сходится, следовательно,

Для любой же частичной суммы sn ряда (30.68) в силу его построения существует такое m, что nm−1 + nm sn < nm + nm+1 и, следовательно, выполняется либо неравенство

snm−1+nm sn snm +nm+1 ,

либо

snm−1+nm sn snm +nm+1 .

Поэтому из равенства (30.71) и того, что условия n → ∞ и m → ∞ равносильны, следует, что и последовательность всех частичных сумм sn ряда (30.68) имеет своим пределом число s:

lim sn = s,

n→∞

т. е. число s является суммой ряда (30.68).

Теорема Римана показывает, что одно из основных свойств конечных сумм чисел — независимость их суммы от порядка слагаемых (коммутативность сложения) — не переносится на сходящиеся ряды, т. е. на бесконечные суммы: если ряд сходится, но не абсолютно, то его сумма зависит от порядка слагаемых.

Отметим, что и ассоциативный закон сложения непосредственно не переносится на ряды; так, например, ряд

1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ... + (−1)n+1 + ...

расходится, а ряды

(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + ... + (1 − 1) + ..., 1 − (1 − 1) − (1 − 1) − ... − (1 − 1) − ...,

полученные из него указанным объединением его членов, сходятся; при этом сумма первого ряда равна 0, а второго 1.

30.8. Признаки Дирихле и Абеля сходимости рядов. Рас-

жащее Абелю и часто весьма полезное при исследовании сходимости

рядов.

Пусть aj C, bj C, Bj = b1 + ... + bj , j = 1, 2, ..., n, и, следовательно, b1 = B1, bj = Bj − Bj−1, j = 2, 3, ..., n. Тогда

a1b1 + a2b2 + ... + anbn = a1B1 + a2(B2 − B1) + ... + an(Bn − Bn−1) = = (a1 − a2)B1 + (a2 − a3)B2 + ... + (an−1 − an)B(n−1) + anBn,

или, используя знак суммирования,

З а м е ч а н и е . Подчеркнем, что в признаках Дирихле и Абеля числа an — действительные, а числа bn, n = 1, 2, ..., могут быть существенно комплексными.

чены. Отсюда в силу признака Дирихле следует, что при α = 2mπ, m = 0, ±1, ..., ряд (30.82) сходится. Он сходится, очевидно, и при α = 2mπ, m = 0, ±1, ..., так как в этом случае все члены его обращаются в нуль.

сходится по признаку Абеля, ибо сходится ряд (30.82), а последова-

тельность cos πn ограниченна и монотонна.

30.9. Исследование сходимости рядов методом выделения главной части ряда. Для того чтобы выяснить, сходится или рас-

формулы Тейлора члены ряда un по степеням nα при подходящем показателе α > 0, т. е. представить un в виде (см. п. 14.2)