Краткий курс математического анализа. Том 1

Действительно, из того, что у функции в точке существует производная, следует, что функция определена в некоторой окрестности этой точки, а так как эта точка является точкой локального экстремума, то ее окрестность можно выбрать так, что сужение на выбранную окрестность функции примет в рассматриваемой точке наибольшее или наименьшее значение. Из теоремы Ферма, примененной к указанному сужению функции, следует, что если в указанной точке производная существует, то она равна нулю.

З а м е ч а н и е 2. Напомним, что под производной всегда понимается конечная производная, если специально не оговорено, что допускаются и бесконечные производные (см. п. 10.1). Из комментариев к теореме Ферма (замечание 1 в п. 12.1) следует, что в точке локального экстремума может существовать знаконеопределенная бесконечная производная, но не может существовать бесконечная производная определенного знака. Может случиться, что в точке локального экстремума вообще не существует производной — ни конечной, ни бесконечной (см. рис. 77).

Отметим, что условия равенства нулю производной или ее несуществования в данной точке, будучи необходимыми условиями экстремума, не являются достаточными условиями для наличия экстремума в этой точке. Например, у функции f (x) = x3 производная f (x) = 3x2 в точке x = 0 равна нулю, а экстремума в этой точке нет (рис. 82).

О п р е д е л е н и е 2. Если функция определена в некоторой окрест-

ности точки x0 и в этой точке производная функции либо существует и равна нулю, либо не существует, то точка x0 называется критической точкой этой функции.

Критические точки функции, в которых производная функции равна нулю, называются также и стационарными точками.

Теорема 2 означает, что все точки локального экстремума функции находятся среди множества ее критических точек.

О п р е д е л е н и е 3. Точка x0 называется точкой возрастания

(убывания) функции f , если у x0 существует такая окрестность U (x0), что при x X ∩ U (x0), x < x0, выполняется неравенство f (x) f (x0) (соответственно f (x) f (x0)), а при x > x0 — неравенство f (x) f (x0) (соответственно f (x) f (x0)).

Если при x = x0 выполняется, кроме того, неравенство f (x) =

= f (x0), то точка x0 называется точкой строгого возрастания (строгого убывания) функции f.

Точки строгого экстремума, точки строгого возрастания и убыва-

198 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

В точке строгого максимума приращение функции в некоторой окрестности этой точки имеет отрицательное значение при x = 0, в точке строгого минимума — положительное, в точке строгого возрастания при x < 0 — отрицательное, при x > 0 — положительное, а в точке строгого убывания — положительное при x < 0 и отрицательное при x > 0 (рис. 83). Конечно, здесь всегда предполагается, что

приращение аргумента x таково, что точка x0 + x принадлежит области определения X функции f.

Таким образом, при переходе через точку строгого экстремума x0 (т. е. при изменении знака приращения аргумента x) приращение функции не меняет знака, а при переходе через точки строгого возрастания и убывания меняет знак.

Нетрудно сформулировать в терминах знака производной в точке достаточные условия того, что эта точка является точкой строгого возрастания или убывания (в этом случае согласно определению производной функция заведомо определена в некоторой окрестности рассматриваемой точки).

Л е м м а. Если в точке конечная или бесконечная производная положительна (соответственно отрицательна), то эта точка является точкой строгого возрастания (строгого убывания) функции.

Если функция f имеет в точке x0 положительную производную

также и y > 0, т. е. точка x0 является точкой строгого возрастания. Аналогично рассматривается случай f (x0) < 0.

Таким образом, если в точке x0 существует не равная нулю производная (конечная или определенного знака бесконечная), то эта точка является либо точкой строгого возрастания, либо точкой строгого убывания, а следовательно, не может быть точкой экстремума. Тем

самым мы еще раз доказали, что если в точке экстремума существует конечная или определенного знака бесконечная производная, то она равна нулю (см. теорему 1 в п. 12.1).

Отметим, что доказанная лемма дает лишь достаточные, но не необходимые условия для точек строгого возрастания и строгого убывания функций, имеющих в этих точках конечные или бесконечные производные. Это видно уже на примере функции f (x) = x3, у которой точка x = 0 является точкой строгого возрастания, а производная в ней равна нулю: f (0) = 0 (см. рис. 82).

З а м е ч а н и е 3. Аналогично лемме нетрудно доказать, что если в точке производная, конечная или бесконечная, неотрицательна (неположительна), то эта точка является точкой возрастания (соответственно убывания) функции, но, вообще говоря, нестрогого.

Отметим, что у функции, равной тождественно постоянной на множестве ее задания, все точки этого множества являются как точками экстремума, так и точками возрастания и убывания функции.

Все это делает целесообразным введение понятий как точек экстремума, точек возрастания и убывания функции, так и точек строгого экстремума, точек строгого возрастания и строгого убывания функции.

Те о р е м а 3. Пусть функция непрерывна в некоторой окрестности точки x0, дифференцируема в ее проколотой окрестности и производная функции с каждой стороны от точки x0 в рассматриваемой окрестности сохраняет один и тот же знак.

Для того чтобы функция в точке x0 имела строгий максимум (строгий минимум), необходимо и достаточно, чтобы при переходе через нее производная меняла знак с плюса на минус (соответственно с минуса на плюс).

Для того чтобы точка x0 была точкой строгого возрастания (строгого убывания) функции, необходимо и достаточно, чтобы производная с обеих сторон от рассматриваемой точки была положительной (отрицательной).

Таким образом, образно говоря, в условиях теоремы точка является точкой строгого максимума (строгого минимума) функции тогда и только тогда, когда в этой точке строгое возрастание (строгое убывание) функции сменяется ее строгим убыванием (соответственно строгим возрастанием). Подобным образом точка является точкой строгого возрастания (строгого убывания) функции тогда и только тогда, когда с обеих сторон от этой точки функция строго возрастает (соответственно строго убывает) (см. теорему 1).

Пусть функция f непрерывна в окрестности U (x0) точки x0, диф-

◦

ференцируема в проколотой окрестности U (x0) и производная сохра-

◦

няет постоянный знак во всех точках проколотой окрестности U (x0),

200 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

◦

лежащих с каждой стороны от точки x0. Для любой точки x U (x0), согласно формуле Лагранжа, имеем y = f (ξ)Δx, где точка ξ лежит

Поэтому если производная f (x) меняет знак с плюса на минус при

знака при переходе через точку x0 и является отрицательным. Это означает, что точка x0 является точкой строгого локального максимума.

Аналогично, из формулы (15.9) следует, что если производная f (x) меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку x0,

и положительно. Это означает, что точка x0 является точкой строгого локального минимума.

Если производная f (x) не меняет знака при переходе через точ-

меняет знака при переходе через эту точку и его знак совпадает со

◦

знаком производной. Поэтому если f (x) > 0, x U (x0), то y < 0 при

x < 0 и y > 0 при x > 0, т. е. точка x0 является точкой строгого

◦

возрастания, а если f (x) < 0, x U (x0), то аналогично получаем, что точка x0 является точкой строгого убывания.

Мы доказали, что каждое из рассмотренных условий о знаке производной с разных сторон от точки x0 является достаточным условием соответственно для строгого локального максимума, строгого локального минимума, строгого возрастания или убывания функции в точке. Поскольку были рассмотрены все возможные случаи знаков производной с каждой стороны от точки x0, то все сформулированные условия являются не только достаточными, но и необходимыми для соответствующих утверждений (рис. 84).

Следует обратить внимание на то, что рассмотренным здесь случаем, когда производная с каждой стороны от данной точки не меняет своего знака (а поэтому можно говорить об изменении знака производной при переходе через точку), не исчерпываются возможные ситуации даже для дифференцируемых функций: может случиться, что для сколь угодно малой окрестности по одну из сторон от точки x0 или по обе стороны производная меняет знак. В этих точках приходится применять другие методы для исследования функций на экстремум. Таким образом, в более широком классе функций, дифференцируемых в окрестности рассматриваемой точки, кроме, быть может, самой этой точки, условие изменения знака производной в данной точке является лишь достаточным условием экстремума.

Докажем еще одни достаточные условия для точек строгого экстремума и точек строгого возрастания (строгого убывания) в терминах производных любого порядка в данной точке. Эти условия для точек строгого возрастания и убывания обобщают условия, указанные в приведенной выше лемме. Для задачи же об экстремумах они представляют собой принципиально новый подход к отысканию точек

Тогда если n = 2m, m N, т. е. n — четное число, то функция f имеет в точке x0 строгий экстремум, а именно строгий максимум при f (2m)(x0) < 0 и строгий минимум при f (2m)(x0) > 0.

Если же n = 2m − 1, m N, т. е. n — нечетное число, то функция f не имеет в точке x0 экстремума; в этом случае при f (2m−1)(x0) > 0 точка x0 является точкой строгого возрастания функции f , а при f (2m−1)(x0) < 0 — ее точкой строгого убывания.

Предпошлем доказательству одно простое замечание: если β(x) = = o(α(x)), x → x0, где функции α и β заданы в некоторой окрестности точки x0 R, то существует такая окрестность U (x0) этой точки, что при x U (x0) справедливо неравенство

202 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Напишем формулу Тейлора порядка n для функции f в окрестности точки x0 (см. п. 14.1).

В силу условий (15.10) будем иметь

т. е. второй член правой части равенства (15.14) является бесконечно малым по сравнению с первым. Поэтому, согласно (15.11), существует такая окрестность U (x0) точки x0, что при x U (x0) для функции o(Δxn) в формуле (15.14) выполняется неравенство

Если же n = 2k − 1, то x возводится в нечетную степень, и по-

Если f (x0) = 0, а f (x0) > 0, то точка x0 является точкой строгого минимума, а если f (x0) = 0, f (x0) < 0

(рис. 85), то — точкой строгого максимума.

Подчеркнем, что все условия экстремума, полученные в этом параграфе, относились к внутренним точкам промежутка, на котором была определена функция. На концах промежутка требуется проводить

отдельные исследования и при применении методов дифференциального исчисления использовать в концевых точках понятие односторонних производных (см. п. 10.1).

15.3. Выпуклость и точки перегиба. Пусть функция f зада-

на на интервале (a, b) и a < x1 < x2 < b. Проведем прямую через точки A = (x1, f (x1)) и B = (x2, f (x2)), лежащие на графике функции f.

Уравнение этой прямой можно записать в виде

Обозначим правую часть этого уравнения через l(x), тогда оно

запишется в виде

y = l(x).

О п р е д е л е н и е 4. Функция f называется выпуклой вверх на интервале (a, b), если, каковы бы ни были точки x1 и x2, a < x1 < x2 < b,

для любой точки x интервала (x1, x2) выполняется неравенство

Если же для всех точек x (x1, x2) выполняется противоположное неравенство

(15.17)

то функция f называется выпуклой вниз на интервале (a, b).

Это означает, что любая точка хорды AB (т. е. отрезка прямой (15.15) с концами в точках A и B), например, в случае выпуклости вниз расположена не ниже точки графика функ- ции f , соответствующей то-

му же значению аргумента (рис. 86).

Заметим, что функция f выпукла вверх тогда и толь-

ко тогда, когда функция −f выпукла вниз.

Если вместо неравенств (15.16) и (15.17) выполняют-

ся строгие неравенства l(x) < f (x) и l(x) > f (x), a < x1 < x < x2 < b, то функция f называется строго выпуклой вверх, соответственно строго

выпуклой вниз на интервале (a, b). В этом случае любая точка хорды AB, кроме ее концов, лежит ниже (выше) соответствующей точки графика функции.

Всякий интервал, на котором функция (строго) выпукла вверх, соответственно (строго) выпукла вниз, называется интервалом (строгой) выпуклости вверх, соответственно вниз этой функции.

204Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Те о р е м а 5 (достаточные условия строгой выпуклости). Если вторая производная функции отрицательна (положительна) во всех точках некоторого интервала, то функция строго выпукла вверх (соответственно строго выпукла вниз) на этом интервале.

Если a < x1 < x < x2 < b, то

= [f (x2) − f (x)](x − x1) − [f (x) − f (x1)](x2 − x) . x2 − x1

Применив к разностям значений функций, стоящим в квадратных скобках, теорему о среднем Лагранжа (п. 12.2), получим

l(x) − f (x) = f (η)(x2 − x)(x − x1) − f (ξ)(x − x1)(x2 − x) = x2 − x1

= [f (η) − f (ξ)](x2 − x)(x − x1) , x2 − x

где x1 < ξ < x < η < x2. Применим теперь теорему о среднем Лагранжа к разности значений производной f (η) − f (ξ); тогда будем иметь

Здесь знак правой части равенства совпадает со знаком f (ζ) (все остальные сомножители положительны). Поэтому если f < 0 на

(a, b), то l(x) < f (x), т. е. функция f строго выпукла вверх; если же f > 0 на (a, b), то l(x) > f (x), т. е. функция f строго выпукла вниз.

Отметим, что условие постоянства знака второй производной, являясь достаточным условием строгой выпуклости вверх или вниз, не является необходимым: на интервалах строгой выпуклости вверх или вниз вторая производная может обращаться в нуль. Например, функция y = x4 строго выпукла вниз на всей числовой прямой, однако

еевторая производная y = 12x2 обращается в нуль при x = 0.

За м е ч а н и е 4. Из доказательства теоремы 5 видно, что если условие положительности второй производной на интервале заменить условием ее неотрицательности, то функция будет выпукла вниз на этом интервале. Соответственно, если вторая производная неположительна на интервале, то функция выпукла вверх на этом интервале.

Покажем, что расположение графика дважды дифференцируемой функции относительно касательной к этому графику также зависит от знака второй производной.

Те о р е м а 6. Пусть функция f имеет во всех точках x интервала (a, b) положительную (отрицательную) вторую производную f (x) > 0 (соответственно f (x) < 0). Тогда, какова бы ни была

точка x0 (a, b), все точки (x, f (x)), x (a, b), графика функции f лежат выше (соответственно ниже) касательной к этому графику

в точке (x0, f (x0)), кроме самой точки касания (x0, f (x0)), которая лежит на касательной.

Если у функции f существует вторая производная в точке x0, то в этой точке существует конечная первая производная, а следовательно, график функции имеет в точке (x0, f (x0)) наклонную касательную

Применив к разности f (x) − f (x0) теорему о среднем Лагранжа, получим

f (x) − L(x) = f (ξ)(x − x0) − f (x0)(x − x0) = [f (ξ) − f (x0)](x − x0),

где a < x0 < b, a < x < b, а ξ лежит между x0 и x.

Применив еще раз теорему Лагранжа, но уже к разности производных f (ξ) − f (x0), будем иметь

где точка η лежит между ξ и x0. Поскольку точка ξ лежит между точками x и x0, то точки ξ и x расположены по одну сторону от точки x0, и поэтому (ξ − x0)(x − x0) > 0. В силу этого знак разности f (x) − L(x) при x = x0 совпадает со знаком второй производной f (η). Следовательно, если на интервале (a, b) вторая производная положительна, то f (x) > L(x), т. е. график функции f лежит над касательной, а если вторая производная отрицательна, то f (x) < L(x), т. е. график функции лежит под касательной y = L(x), x (a, b), x = x0.

Оп р е д е л е н и е 5. Пусть функция f дифференцируема при x =

=x0 и пусть y = L(x) — уравнение наклонной касательной к графику функции f в точке (x0, f (x0)) (см. (15.18)). Если разность f (x) − L(x)

меняет знак при переходе через точку x0, то

x0 называется точкой перегиба функции f.

Если x0 — точка перегиба функции, то точка (x0, f (x0)) называется точкой перегиба графика функции f . В точке (x0, f (x0))

график функции f переходит с одной стороны наклонной касательной (15.18) на дру-

гую сторону (рис. 87).

П р и м е р. Рассмотрим функцию f (x) = = x3. Поскольку f (x) = 6x, то f (x) < 0

для всех x < 0 и f (x) > 0 для всех x > 0.

Следовательно (теорема 5), функция f (x) = x3 выпукла вверх на бесконечном интервале (−∞, 0) и выпукла вниз на (0, +∞) (см. рис. 82). Уравнение касательной к ее графику в точке (0, 0) имеет вид y = 0. Поэтому поскольку при x < 0 выполняется неравенство f (x) < 0,