|
Контрольные вопросы |
417 |
20. |
Какое характеристическое свойство множества натуральных чи- |
|
сел лежит в основе метода математической индукции? |
21. |
Что называется модулем действительного числа? |
22. |
В чем заключается неравенство треугольника? |
|
|
|
23. |
Проверить, что |x| = max (−x, x). |
|
|
|
24. |
Показать, что max (x, 0) = (x + |x|)/2, min (x, 0) = (x − |x|)/2. |
25. |
Проверить, что |a + b|/(1 + |a + b|) |a|/(1 + |a|) + |b|/(1 + |b|). |
26. |
Что называется расширенным множеством действительных |
|
чисел? |
|
|
|
27. |
Как определяются промежутки расширенной числовой прямой? |
|
Что называется концевыми точками промежутков? Внутренни- |
|
ми точками промежутков? |
|
|
|
28. |
Как определяются ε-окрестности точек расширенной числовой |
|
прямой? |
|
|
|
29. |
Что понимается под комплексными числами? Что называется |
|
действительной и мнимой частями комплексного числа? |
30. |
Как определяются арифметические операции над комплексны- |
|
ми числами? |
|
|
|
31. |
Что называется множеством комплексных чисел? |
32. |
В чем заключается векторная интерпретация комплексных чи- |
|
сел? Что называется модулем комплексного числа? |
33. |
Как определяется аргумент комплексного числа? |
34. |
В чем заключается тригонометрическая форма записи ком- |
|
плексных чисел? |
|
|
|
35. |
Как выглядят операции умножения и деления комплексных чи- |
|
сел в тригонометрической форме записи? |
|
|
|
36. |
В чем заключается формула Муавра? |
|
|
|
37. |
Что называется корнем n-й степени из комплексного числа? |
|
Сколько различных значений может принимать |
n |
|
|
|
√z ? |
38.Как определяется число, комплексно сопряженное с данным числом? Какими свойствами обладает операция комплексного сопряжения?
39.Как вводятся комплексные числа через упорядоченные пары действительных чисел?
40.Что называется перестановкой конечного множества элементов?
41.Какая формула связывает число всех перестановок из k элементов с числом всех перестановок из k − 1 элементов? Чему равно число всевозможных перестановок из n элементов?
42.Что называется сочетанием из n элементов по m?
43.Какие формулы имеют место для чисел всех сочетаний?
44.Как можно находить числа Cnk с помощью треугольника Паскаля?
45.В чем заключается формула бинома Ньютона?
46.Какие формулы для чисел Cnk следуют из формулы бинома Ньютона?
§3
47.Как определяются арифметические операции над числовыми функциями?
48.Что означает, что функция, заданная на некотором множестве, имеет период T ?
49.Что называется графиком функции?
50.Какие функции относятся к основным элементарным функциям?
51.Какие функции называются элементарными?
52.Как определяется многочлен степени n N? Что понимается под степенью нулевого многочлена? Что называется рациональной функцией?
53.Как определяется иррациональная функция? Трансцендентная функция?
54.Когда равны два многочлена в комплексной области?
55.Что называется частным и остатком от деления многочленов
P (z) и Q(z)?
56.Что называется корнем многочлена P (z)?
57.Докажите теорему Безу. В чем состоит критерий того, что z = z0 является корнем многочлена P (z)?
58.Как определяется кратность корня многочлена P (z)? Когда корень многочлена называется простым, кратным?
59.Доказать, что если z0 — корень кратности k многочлена Pn(z), то z0 — корень кратности k для многочлена P n(z) с комплексно сопряженными коэффициентами. Что можно сказать о комплексных корнях многочлена с действительными коэффициентами?
60.Как можно записать многочлен, если известны все его корни
иих кратности?
61. Как можно записать разложение на множители многочлена
с действительными коэффициентами?
62.Какие рациональные дроби называются правильными, неправильными?
63.Как можно представить правильную рациональную дробь, если известен корень кратности k знаменателя?
64.Как можно представить правильную рациональную дробь, если известны корни знаменателя?
65.Как можно представить правильную рациональную дробь с действительными коэффициентами, если известен корень кратности m знаменателя?
66.Какое представление имеет место для правильной рациональной дроби с действительными коэффициентами, если известны корни знаменателя?
67.Какие рациональные дроби называются элементарными?
§4
68.Что означает, что множество ограничено сверху (снизу)? Ограничено?
69.Что означает, что множество не ограничено сверху (снизу)? Не является ограниченным?
70.Может ли множество, содержащее k элементов (k N), быть неограниченным?
71.Для каких множеств определяется верхняя (нижняя) грань?
72.Что называется верхней гранью множества?
73.Что называется нижней гранью множества?
74. Найти sup E, inf E, если E = {−1}, E = {0, 1}, E = {−1 + + 1/n, 1 − 1/n, n = 0, 1, 2, ...}. Есть ли у этих множеств наименьший и наибольший элементы?
75.Найти inf {x > 0: sin (1/x) = 0}, sup {x : sin (1/x) = 0}.
76.Может ли непустое ограниченное множество не иметь нижнюю (верхнюю) грань?
77.Перечислите свойства sup и inf .
78.В чем состоит принцип Архимеда?
79.Что означает, что система отрезков образует вложенную систему?
80.Как связаны между собой концы вложенной системы отрезков?
81.Что означает, что длины отрезков данной системы отрезков стремятся к нулю?
82.В чем заключается принцип вложенных отрезков?
83.Что означает, что два множества равномощны?
84.Что означает, что множество конечно?
85.Когда равномощны два конечных множества?
86.Какие множества называются бесконечными?
87.Может ли подмножество множества быть равномощным всему множеству?
88.Что называется последовательностью элементов данного множества? n-м членом последовательности, значением n-го члена последовательности?
89.Какому множеству равномощно множество членов последовательности?
90.Что означает, что множество счетно? Что элементы счетного множества можно перенумеровать?
91.Что можно сказать о бесконечных подмножествах бесконечных множеств?
92.Равномощны ли множества рациональных и натуральных чисел?
93.Что означает, что множество несчетно?
94.Будет ли счетным множество точек невырожденного отрезка? Множество действительных чисел?
§5
95.Что означает, что данное число является пределом данной последовательности?
96.Что означает, что последовательность имеет предел (сходится)?
97.Что означает, что данное число не является пределом рассматриваемой последовательности?
98.Что означает, что данная последовательность не имеет предела (расходится)?
99.Что означает, что последовательность ограничена (не ограничена)?
100.Какое утверждение верно: 1) каждая ограниченная последовательность имеет предел; 2) всякая сходящаяся последовательность ограничена?
101.На ε–n-языке доказать расходимость последовательности xn =
=(−1)n.
102.Какое утверждение верно: 1) каждая неограниченная последовательность является бесконечно большой; 2) любая бесконечно большая последовательность не ограничена?
103.Есть ли среди перечисленных последовательностей бесконечно большие, неограниченные последовательности:
xn = n(1 + (−1)n), yn = n(1 + (−2)n)?
104.Может ли сумма сходящейся и расходящейся последовательностей быть сходящейся последовательностью?
105.Может ли сумма расходящихся последовательностей быть сходящейся последовательностью?
106.Может ли произведение сходящейся последовательности на расходящуюся сходиться?
107.Может ли произведение расходящихся последовательностей сходиться?
108.Доказать, что последовательности {xn} и {λxn} при любом λ = 0 сходятся или расходятся одновременно.
109.Что называется подпоследовательностью данной последовательности?
110.Может ли сходящаяся последовательность иметь расходящуюся подпоследовательность? Что называется частичными пределами последовательности?
111.Какая подпоследовательность имеется у ограниченной последовательности?
112.Может ли неограниченная последовательность иметь сходящуюся подпоследовательность? Может ли бесконечно большая последовательность иметь сходящуюся подпоследовательность?
113.Что означает, что последовательность является последовательностью Коши (фундаментальной последовательностью)?
|
Контрольные вопросы |
421 |
114. |
Может ли бесконечно большая последовательность быть после- |
|
довательностью Коши? |
|
115. |
Что можно сказать о фундаментальной последовательности, |
|
у которой имеется сходящаяся подпоследовательность? |
|
116. |
В чем заключается критерий Коши сходимости числовой после- |
|
довательности? |
|
|
|
117. |
Сходится ли последовательность xn = 1 + 1/2 + ... + 1/n? |
118. |
Что означает, что последовательность комплексных чисел {zn} |
|
имеет своим пределом комплексное число {z0}? |
{Re zn} |
119. |
Как связаны сходимости последовательностей {zn}, |
120. |
и {Im zn}? |
|
|
|
Что означает, что последовательность комплексных чисел огра- |
|
ничена? |
|
|
|
121. |
Что означает, что последовательность комплексных чисел имеет |
|
бесконечный предел? |
|
|
|
|
|
§ 6 |
|
122. |
Что означает, что точка a является пределом функции f при |
|
x → x0 в терминах пределов последовательностей? Что означает, |
|
что точка a не является пределом функции f при x → x0? |
123. |
Что означает, что функция имеет в точке x0 конечный предел? |
|
Что означает, что функция не имеет конечного предела в точ- |
124. |
ке x0? |
|
|
|
Как определяются точки прикосновения множества? |
|
125. |
Когда точка x0 = ∞(−∞, +∞) является точкой прикосновения |
|
множества? |
|
|
|
126. |
Обязаны ли конечные точки прикосновения данного множества |
|
принадлежать ему? |
|
|
|
127. |
Привести эквивалентное окрестностное определение точек при- |
|
косновения множества. |
|
128. |
Существует ли lim sin |
1 |
? |
|
|
|
|
0 |
x |
|
|
x→ |
|
|
|
129.Что называется пределом функции по множеству?
130.Существует ли в точке x0 = 0 предел функции Дирихле?
131.Что называется проколотыми ε-окрестностями точки x0?
132.Верно ли, что определение предела последовательности является частным случаем определения предела функции?
133.Что можно сказать о значении предела функции в точке x0 (если он существует), принадлежащей области определения функции?
134.Что означает, что функция непрерывна в данной точке?
135.Какое условие в определении предела функции можно отбросить?
136.Что означает, что точка a является пределом функции f при x → x0 через окрестности?
137.Что означает, что точка a не является пределом функции f при x → x0?
138.Эквивалентны ли определения предела функции?
139.Когда функция имеет предел по объединению множеств?
140.Как определяются односторонние пределы функции?
141.Какие пределы обозначаются символами f (x0 − 0) и f (x0 + 0)?
142.В чем заключается критерий существования предела функции через односторонние пределы?
143.Что означает, что функция непрерывна слева (справа) в данной точке?
144.Какое из утверждений верно: а) если функция ограничена на X ∩ U (x0), где U (x0) — некоторая окрестность точки x0, то
функция имеет конечный предел в точке x0; б) если функция
имеет конечный предел в точке x0, то функция ограничена на X ∩ U (x0), где U (x0) — некоторая окрестность точки x0?
145.В чем состоит лемма о сохранении знака?
146.Как связаны арифметические действия над функциями и операция предельного перехода?
147.Может ли сумма двух функций, одна из которых имеет предел в данной точке, а другая — нет, иметь предел в этой точке? Если обе функции не имеют предела в данной точке, то что можно сказать о пределе их суммы?
148.В чем заключается критерий существования предела функции через бесконечно малые функции?
149.Какими свойствами обладают бесконечно малые функции?
150.Может ли произведение двух функций, одна из которых имеет предел в данной точке, а другая — нет, иметь предел в этой точке? Если обе функции не имеют предела в данной точке, то что можно сказать о пределе их произведения?
151.Как можно записать условие непрерывности функции в данной точке?
152.Как записывается условие непрерывности функции в точке x0
через сужение функции на проколотую окрестность этой точки? Через пределы f (x0 − 0) и f (x0 + 0)?
153.Как определяются изолированные точки множества?
154.Как определяется предельная точка множества?
155.Как соотносятся между собой изолированные, предельные точки множества и точки прикосновения?
156.Может ли функция не иметь предела в изолированной точке своей области определения?
157.Как определяются точки разрыва функции?
158.Как классифицируются точки разрыва функции?
|
159. Какой тип разрыва имеют функции |
1 |
, sin |
1 |
, |
tg x |
, sgn x в точ- |
|
x |
x |
sin x |
|
ке x0 = 0? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
160.Что понимается под верхней (нижней) гранью функции f на данном множестве?
161.Что можно сказать о пределах монотонной на интервале функции в концевых точках интервала, во внутренних точках интервала?
162.В чем заключается критерий Коши существования предела функции в точке?
163.Когда композиция двух функций имеет предел в данной точке? Непрерывна в данной точке?
164.Что можно сказать о непрерывности композиции двух функций, если: а) обе функции разрывны в соответствующих точках; б) одна из функций разрывна, а другая непрерывна?
165.Как определяется предел и непрерывность функций комплексной переменной?
166.Как связаны предел и непрерывность функций комплексной переменной с пределом и непрерывностью ее действительной
имнимой частей?
167.Что означает, что функция комплексной переменной ограничена на некотором множестве?
§7
168.Что означает, что функция непрерывна на множестве?
169.В чем заключается теорема Вейерштрасса? Справедливо ли аналогичное утверждение для интервалов?
170.Что можно сказать о промежуточных значениях непрерывной на отрезке функции? Что является непрерывным образом отрезка?
171.Что можно сказать про обратную функцию к строго монотонной функции?
172.Что можно сказать про обратную функцию к строго монотонной
инепрерывной функции?
173.Может ли функция, обратная к непрерывной функции, быть разрывной?
§8
174.Где непрерывен многочлен? Рациональная функция?
175.Какими свойствами обладает степень ar, a > 0, с рациональными показателями r?
176.Как определяется ax, a > 0, для действительных значений x? Какими свойствами обладает функция ax?
177.Как определяется логарифмическая функция? Какими свойствами она обладает?
178.Какое неравенство связывает функции sin x и x?
179.Можно ли утверждать, что любая элементарная функция непрерывна в области своего определения?
x→x0
§ 9
180. Какие пределы называются замечательными?
181. Что означает, что одна функция ограничена относительно другой в окрестности данной точки? Когда это условие может быть записано через отношение функций?
182. Что означает, что одна функция является бесконечно малой относительно другой при x → x0? Когда это условие может быть записано через отношение функций?
183. Что означает, что две функции эквивалентны (асимптотически равны) при x → x0? Когда это условие может быть записано через отношение функций?
184. В чем состоит критерий эквивалентности двух функций?
185. Верно ли, что пределы lim f (x)/g(x) и lim f1(x)/g1(x), где
x→x0
f (x) f1(x) и g(x) g1(x) при x → x0, существуют или не существуют одновременно?
§10
186.Как определяется производная функции в точке? Чему равна производная функции в данной точке, если функция постоянна
внекоторой окрестности этой точки?
187.Что означает, что у функции производная бесконечна в данной точке? Привести пример функции с бесконечной производной.
188.Как определяются односторонние производные в точке? Как связаны наличие у функции производной и наличие односторонних производных?
189.Привести пример функции, у которой в точке существуют соответственно конечные или бесконечные односторонние производные, не совпадающие между собой.
190.Что означает, что функция дифференцируема в точке?
191.Что называется дифференциалом функции в точке?
192.Как связаны наличие производной и дифференцируемость?
193. В чем состоит линеаризация функции, дифференцируемой
вданной точке?
194.Как связаны непрерывность и дифференцируемость в данной точке?
195.В чем заключается геометрический смысл производной и дифференциала?
196.В чем заключается физический смысл производной и дифференциала?
197.Как связаны арифметические действия над функциями и операция взятия производной?
198.Может ли сумма двух функций, одна из которых имеет производную в данной точке, а другая — нет, быть дифференцируемой
вэтой точке?
199.Может ли произведение двух функций, одна из которых имеет производную в данной точке, а другая — нет, быть дифференцируемой в этой точке?
200.Если f D(a), то всегда ли f −1 D(f (a))?
201.В чем заключается цепное правило? Может ли функция f (g(t)) иметь производную в точке t = α, если существует g (α), но функция f не имеет производной в точке g(α), либо если функция g не имеет производной в точке t = α, а функция f дифференцируема в точке g(α)?
202.Может ли композиция не дифференцируемых функций быть дифференцируемой?
203.В чем состоит свойство инвариантности формы дифференциала?
204.Как определяется производная комплекснозначной функции действительной переменной?
§11
205.Как определяются производные старших порядков?
206.Как определяются дифференциалы старших порядков?
207.Как выглядит формула для производной n-го порядка для суммы и произведения двух функций?
208.Найти производную второго порядка сложной функции z =
=z(y(x)).
209.Найти в общем виде вторую производную обратной функции. Какие условия достаточны для существования этой производной?
210.Что означает, что функция задана параметрически?
211.Как вычисляются производные функций, заданных параметрически?
§12
212.Как определяется точка локального минимума (максимума)? Локального экстремума?
213.В чем заключается необходимое условие наличия экстремума у функции? Является ли это условие достаточным?
214.Остается ли верной теорема Ферма, если функция принимает экстремальное значение в концевой точке отрезка?
215.В чем состоит теорема Ролля? Каков ее геометрический смысл?
216.Привести примеры функций, показывающие, что нарушение по крайней мере одного из условий теоремы Ролля ведет к ее невыполнению.
217.В чем заключается теорема Лагранжа? Каков ее геометрический смысл?
218.Пусть функция f дифференцируема на всей числовой прямой
и ее производная f (x) не превосходит 10. Может ли выполняться неравенство f 12 − f (0) 6?
219.Что можно сказать о производной функции в точке, если функция непрерывна в некоторой окрестности этой точки и дифференцируема в проколотой окрестности?
220.Сформулировать и доказать необходимое и достаточное условие постоянства на промежутке функции, дифференцируемой на нем.
221.В чем состоит теорема Коши?
§13
222.Как выглядит правило Лопиталя раскрытия неопределенности 0/0, если функции дифференцируемы в точке, в которой берется предел?
223.В чем состоит правило Лопиталя раскрытия неопределенности 0/0 в общем случае?
224.В чем состоит правило Лопиталя раскрытия неопределенности ∞/∞?
225.Можно ли пользоваться правилом Лопиталя при вычислении пределов, когда независимая переменная стремится к ∞?
226. Расположить в порядке роста при x → +∞ функции x12, ln99 x
и e0,1x.
§14
227.Что называется многочленом Тейлора порядка n функции в данной точке x0?
228.Как связаны коэффициенты многочленов Тейлора функции f
иее производной f ?
229.Что можно сказать о значении многочлена Тейлора и его производных в точке x0?
230.Что называется формулой Тейлора порядка n в точке x0? Что называется остаточным членом формулы Тейлора?
231.В чем состоит формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано?
232.В чем состоит формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа?
233.Привести разложения по формуле Тейлора семи основных элементарных функций.
§15
234.Как связан характер монотонности дифференцируемой функции с ее производной?
235.Может ли производная строго монотонной и дифференцируемой на интервале функции обращаться в нуль в некоторых точках этого интервала?
236.Как определяются точки строгого (нестрогого) локального максимума (минимума) данной функции? Точки строгого (нестрогого) локального экстремума?
