Краткий курс математического анализа. Том 1

Отсюда следует, что модуль комплексного числа вида eiϕ, ϕ R,

равен 1:

|eiϕ| = cos2 ϕ + sin2 ϕ = 1.

Из формулы (32.63) следует также, что комплексное число z с модулем r и аргументом ϕ, т. е. z = r(cos ϕ + i sin ϕ), можно записать

в виде

Положив здесь r = 1, ϕ = π и, следовательно, z = −1, получим

eiπ = −1

— удивительную формулу, открытую Эйлером, устанавливающую связь между числами −1, π, i и e. Удивительную потому, что эти числа были открыты математиками при изучении весьма далеких друг от друга задач: число −1 появилось тогда, когда было понято, что при введении отрицательных чисел операция вычитания приобретает смысл для любой упорядоченной пары натуральных чисел (кроме того, отрицательные числа оказались удобными при сравнении температур тел с температурой замерзания воды, при измерении высот и низин на земле относительно уровня моря и т. п.); число π является отношением длины окружности к диаметру, мнимая единица i дает возможность решать любое квадратное уравнение с действительными коэффициентами, а число e представляет собой такое основание показательной функции, при котором с ней совпадает ее производная.

Поэтому не удивительно, что в городе Кингстоне в Канаде на фасаде главного здания Королевского университета можно увидеть огромную формулу Эйлера: eπi = −1.

Из формулы (32.63) следует неожиданное, на первый взгляд, свойство функции ez — она оказывается периодической на комплексной плоскости и ее период равен 2πi. Действительно, так как

e2πi = cos 2π + i sin 2π = 1,

(32.63)

то для любого z имеем

ez+2πi = ez · e2πi = ez .

Отсюда следует, что обратная к функции ez функция, обозначаемая ln z и определяемая равенством eln z = z, является в комплексной области многозначной функцией.

Имея для комплексного переменного понятие экспоненциальной функции ez и логарифмической функции ln z, можно для любых комплексных чисел z и w определить степень wz по формуле

wz = ez ln w .

У п р а ж н е н и е. Доказать, что все значения ii являются действительными числами.

Из того, что функция ez имеет период 2πi, вытекает, что функции cos z и sin z остаются периодическими с периодом 2π и для комплексных значений аргумента:

Аналогично sin(z + 2π) = sin z, z C.

З а м е ч а н и е. Понятие функции комплексной переменной бывает полезно использовать и при изучении функций действительного аргумента, принимающих только действительные значения. Покажем это на примере вычисления интеграла eαx sin βx dx. Применив формулу Эйлера

Запишем остаточный член rn(x) этой формулы в виде Лагранжа.

(θ, как всегда, зависит от x и от n).

Вейерштрасса, ибо при |x| q выполняются, очевидно, неравенства

|(−1)nxn| qn, n = 0, 1, 2, ..., а числовой ряд ∞ qn сходится.

n=1

Из равномерной сходимости ряда (32.67) вытекает, что его можно почленно интегрировать от 0 до x (−1, 1) (теорема 8 из п. 31.4). Выполнив это интегрирование, получим

или, записав правую часть с помощью знака суммирования,

ln (1 + x) = ∞ (−1)n+1 xn. n

n=1

При этом, согласно указанной теореме, ряд в правой части этого равенства сходится на интервале (−1, 1), а по признаку Лейбница (теорема 9 из п. 30.5) он сходится и в точке x = 1. Следовательно, согласно второй теореме Абеля (теорема 3 из п. 32.1), сумма ря-

n=1

ln (1 + x) также непрерывна на этом отрезке, а на интервале (−1, 1) совпадает с суммой рассматриваемого ряда, то, устремив x к 1, полу-

n=1

и при x = 1. Таким образом, мы снова пришли к разложению функции ln (1 + x) в степенной ряд на промежутке (−1, 1] (см. (32.66)).

5. Р а з л о ж е н и е в с т е п е н н о й р я д с т е п е н и б и н о м а (1 + x)α. Формула Тейлора для функции (1 + x)α имеет вид

Соответствующий ряд, называемый биномиальным рядом с показателем α, имеет вид

Если α является натуральным числом, то этот ряд содержит лишь конечное число членов, не равных 0, и превращается в известную формулу бинома Ньютона

Будем предполагать, что α не является натуральным числом и что x = 0, тогда все члены ряда (32.69) не равны 0. Исследуем его абсолютную сходимость с помощью признака Даламбера. Положив

Следовательно, ряд (32.69) абсолютно сходится при |x < 1 и, поскольку этот ряд степенной, расходится при |x| > 1.

Докажем, что суммой ряда (32.69) на интервале (−1, 1) является функция (1 + x)α. Для этого исследуем остаточный член rn(x) в формуле Тейлора (32.68), записав его в виде Коши. Поскольку

[(1 + x)α](n+1) = α(α − 1)...(α − n)(1 + x)α−n−1,

то

rn(x) = α(α − 1)...(α − n)(1 + θnx)α−n−1 (1 − θn)nxn+1, n!

Сомножитель an(x) является членом биномиального ряда с показателем α − 1, и так как выше было показано, что любой биномиаль-

412 Гл. 3. Ряды

Радиус сходимости получившегося ряда также равен 1 (см. теорему 3). Таким образом, функция arctg x оказалась разложенной в степенной ряд с радиусом сходимости, равным единице. На первый взгляд, это представляется несколько неожиданным, так как arctg x является бесконечно дифференцируемой на всей числовой оси функцией. Это связано с тем, что производная функции arctg x заведомо не может быть разложена в степенной ряд с радиусом сходимости

1

больше единицы, так как функция 1 + z2 обращается в бесконечность

при z = ±i.

Важно отметить, что разложение (32.74) справедливо и на концах x = ±1 интервала сходимости (−1, 1). Действительно, при x = ±1 ряд,

стоящий в правой части равенства (32.74), сходится в силу признака Лейбница, а тогда его сумма s(x), согласно следствию из второй теоремы Абеля (теорема 3 в п. 32.1), непрерывна на отрезке [−1, 1]. Таким образом, две непрерывные на отрезке [−1, 1] функции arctg x и s(x)

совпадают в силу равенства (32.74) на интервале (−1, 1), а тогда они совпадают при x = ±1, т. е. и при этих значениях x функция arctg x

является суммой ряда, стоящего в правой части равенства (32.74):

При подстановке в разложение функции в ряд какого-либо фиксированного значения переменной получается формула для суммы

соответствующего числового ряда. Так, подставив в ряд (32.75) x = 1 и заметив, что arctg 1 = π4 , получим

π ∞ (−1)n

4n=0 2n + .

7.Р а з л о ж е н и е arcsin x. Заметив, что= 1

разложим (arcsin x) в ряд по формуле разложения степени бинома (см. 32.72)

(arcsin x) = (1 − x2)−1/2 = 1 + ∞ (2n − 1)!! x2n.

n=1

2nn!

Радиус сходимости получившегося ряда, как для всякого биномиаль-

ного ряда, равен единице. Интегрируя получившийся ряд от нуля до x, |x| < 1, получим

в степенной ряд дает возможность легко получить асимптотическую

1) Д. Стирлинг (1692–1770) — шотландский математик.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

§1

1.Что называется суммой, или объединением, двух множеств, системы множеств?

2.Что называется произведением, или пересечением, двух множеств, системы множеств?

3.Что называется разностью двух множеств?

4.Записать с помощью математической символики, что означает, что одно множество содержится в другом.

5.Найти пересечения систем интервалов (−1/n, 1/n), (0, 1/n) и отрезков [−1/n, 1/n], [0, 1/n] (n = 1, 2, ...).

6.Найти объединения систем интервалов (−1 + 1/n, 1 − 1/n) и отрезков [−1 + 1/n, 1 − 1/n] (n = 1, 2, ...).

7.Что понимается под отображением одного множества в другое?

8.Что называется сюръекцией, инъекцией, биекцией?

9.Что называется сужением функции?

10.Что называется образом множества при отображении? Прообразом множества?

11.Что называется многозначной, однозначной функцией?

12.Что называется функцией, обратной к данной?

13.Что называется композицией (суперпозицией) двух функций?

§2

14.Привести свойства операций сложения и умножения действительных чисел.

15.В чем состоит свойство упорядоченности действительных чисел? Как оно связано с арифметическими операциями?

16.В чем состоит свойство плотности действительных чисел?

17.В чем заключается свойство непрерывности действительных чисел?

18.Обладает ли свойством непрерывности множество натуральных чисел? Свойством плотности?

19.Обладает ли свойством непрерывности множество рациональных чисел? Свойством плотности?