Краткий курс математического анализа. Том 1

Из рассуждений, проведенных при доказательстве теоремы 9, следует, что если функции fn, n = 1, 2, ..., непрерывно дифференцируемы и последовательность их производных {fn} равномерно сходится на отрезке [a, b], то условия:

1) существует такая точка x0 [a, b], что числовая последовательность {fn(x0)} сходится;

2) fn → f ;

[a,b]

3) fn f

[a,b]

равносильны (то, что из условия 1) следуют условия 2) и 3), было доказано; что из 3) следует 1) — очевидно). Поэтому теорема 9 равносильна следующему утверждению.

Если

то существует производная f и f = ϕ, т. е. в этом случае предел производных равен производной от предела.

В терминах рядов это утверждение (равносильное теореме 9) мож-

равномерно сходятся на отрезке [a, b], то у суммы ряда s(x) существует производная s (x) и s (x) = σ(x).

Эти формулировки отражают сущность условий, при выполнении которых возможно почленное дифференцирование последовательностей и рядов. Но, конечно, на практике очень удобно, что сходимость последовательностей и рядов достаточно проверять лишь в одной точке и не доказывать их равномерную сходимость (конечно, равномерную сходимость последовательностей и рядов производных необходимо установить).

П р и м е р. Рассмотрим функцию

называемую функцией Римана (ряд, стоящий в правой части равенства, сходится при x > 1; см. (30.20)).

сходятся на полуинтервале [α, +∞). Это сразу вытекает в силу признака Вейерштрасса из неравенств

справедливых при фиксированном ε для достаточно больших n, и из

В силу теоремы 9 при любом x > α имеет место равенство

а поскольку α > 1 было выбрано произвольно, то это равенство верно и при любом x > 1.

§32. Степенные ряды

32.1.Радиус сходимости и круг сходимости. Степенным рядом называется ряд вида

n=0

Поэтому, как правило, мы ограничиваемся рассмотрением рядов вида (32.2).

Те о р е м а 1 (первая теорема Абеля). Если степенной ряд (32.2)

сходится при z = z0, то при любом z таком, что |z| < |z0|, ряд (32.2) сходится абсолютно.

С л е д с т в и е. Если ряд (32.2) расходится в точке z0, то в любой точке z такой, что |z| > |z0|, он также расходится.

n=0

390 Гл. 3. Ряды

Следовательно, при z0 = 0 (в случае z0 = 0 утверждение теоремы очевидно и бессодержательно, так как множество таких z, что |z| < 0,

рез X множество всех таких действительных неотрицательных чисел x R, что при z = x ряд (32.2) сходится. Поскольку 0 X, то X = .

Очевидно, 0 R +∞.

Неравенство |z| R задает на комплексной плоскости C замкнутый круг радиуса R с центром в точке z = 0. При R = 0 этот круг вырождается в точку z = 0, а при R = +∞ превращается во всю комплексную плоскость.

О п р е д е л е н и е 1. Число R = sup X (конечное или бесконечное) называется радиусом сходимости ряда (32.2), а круг {z : |z| R} —

его кругом сходимости.

Те о р е м а 2. Пусть R — радиус сходимости ряда (32.2). Тогда если |z| < R, то ряд (32.2) сходится абсолютно, если |z| > R, то ряд (32.2) расходится, а если 0 r < R, то в круге {z : |z| r} ряд (32.2) сходится равномерно.

Если R = 0, то точек z C таких, что |z| < R, нет. Если же 0 < R +∞ и z C таково, что |z| < R, то согласно определению верхней грани из равенства R = sup X следует, что существует такое x X, что |z| < x < R, а так как по определению множества X

n=0

Абеля он абсолютно сходится в точке z.

Если R = +∞, то точек z C таких, что |z| > R, нет.

Если же R < +∞ и z C таково, что |z| > R, то для любой точки x такой, что R < x < |z|, согласно определению R = sup X имеем x X,

а поэтому в силу определения множества X

∞

ряд anxn расходится. Следовательно,

n=0

в силу следствия из теоремы 1 ряд (32.2)

расходится в рассматриваемой точке z. Если теперь

то покажем, что ряд (32.2) сходится равномерно в круге |z| r (рис. 128). Действительно, если |z| r, то

Из неравенства (32.7), согласно вышедоказанному свойству радиу-

са сходимости, вытекает, что ряд (32.2) при z = r абсолютно сходится,

∞

т. е. сходится ряд |anrn|, а тогда в силу признака равномерной

n=0

сходимости Вейерштрасса (п. 31.2) из неравенства (32.8) следует, что ряд (32.2) равномерно сходится в круге {z : |z| r}.

Рассмотрим степенной ряд общего вида ∞ an(z − z0)n. Он сходит-

n=0

ся или расходится в точке z тогда и только тогда, когда соответственно

n=0

Из теоремы 2 следует, что если R является радиусом сходимо-

сти ряда ∞ an(z − z0)n, то при |z − z0| < R этот ряд абсолютно

n=0

сходится, при |z − z0| > R он расходится, а если 0 r < R, то в круге {z : |z − z0| r} ряд равномерно сходится.

Отметим, что из равномерной сходимости ряда (32.1) в любом круге |z − z0| R, где 0 r < R, и непрерывности каждого члена этого ряда следует, что сумма каждого степенного ряда непрерывна внутри его круга сходимости R > 0.

Действительно, для любого z, |z| < R, можно выбрать такое r, что |z| < r < R. В круге |z| r рассматриваемый ряд сходится равномерно, а так как его члены — непрерывные функции, то его сумма также непрерывна на этом круге, в частности в точке z (см. теорему 7

вп. 31.4).

Пр и м е р ы. 1. Рассмотрим ряд

n=0

Для исследования его абсолютной сходимости применим признак Даламбера (п. 30.4):

Следовательно, ряд (32.9) сходится только при z = 0, а потому его радиус сходимости равен нулю: R = 0.

2. Радиус сходимости R ряда

∞ zn

n=0 n!

(32.10)

равен +∞, так как в п. 31.1 было показано, что этот ряд сходится при любом z C.

3. Радиус сходимости суммы бесконечной геометрической прог-

n=1

равен 1, так как ряд (32.11) сходится при |z| < 1 и расходится при |z| > 1 (п. 30.1, 30.2). На границе {z : |z| = 1} круга сходимости имеем |z| = 1 и, следовательно, последовательность членов ряда (32.11) не стремится к нулю, откуда явствует, что во всех точках границы своего круга сходимости ряд (32.11) расходится.

радиус сходимости также равен 1. Действительно, при |z| < 1 выпол-

штрасса, ряд (32.12) равномерно, а следовательно, и просто сходится.

При |z| > 1 имеем lim |zn| = +∞, т. е. не выполняется необходимое

n→∞ n2

условие сходимости ряда (см. теорему 1 из п. 30.1), и, таким образом, ряд (32.12) при |z| > 1 расходится.

Отметим, что во всех точках границы круга сходимости, т. е. при |z| = 1, в силу того же неравенства (32.13) ряд (32.12) сходится.

5. Радиус сходимости R ряда

Поэтому ряд (32.14) сходится при |z| < 1 и расходится при |z| > 1. Таким образом, R = 1.

Вточке z = 1 границы круга сходимости ряд (32.14) превращается

вгармонический ряд и, следовательно, расходится, а при z = −1

получается сходящийся ряд ∞ (−1)n . Итак, у ряда (32.14) на границе n

n=1

круга сходимости имеются как точки, в которых он сходится, так и точки, в которых он расходится.

Разобранные примеры показывают, что существуют степенные ряды, у которых радиус сходимости равен нулю (ряд (32.9)), равен конечному положительному числу (ряд (32.11)) и равен бесконечности (ряд (32.10)). На границе круга сходимости ряд может во всех точках сходиться (ряд (32.12)), а может и сходиться в одних точках и расходиться в других (ряд (32.14)) или расходиться во всех точках (ряд (32.11)).

Функции, раскладывающиеся в степенные ряды, называются аналитическими. Точнее, имеет место следующее

О п р е д е л е н и е 2. Функция f называется аналитической в точке z0, если в некоторой окрестности (см. п. 5.11) этой точки функция f

394 Гл. 3. Ряды

раскладывается в степенной ряд:

f (z) = ∞ an(z − z0)n.

n=0

Поскольку в силу определения окрестности точки все точки, достаточно близкие к данной точке, принадлежат ее окрестности, то радиус сходимости написанного ряда положителен.

Те о р е м а 3 (вторая теорема Абеля). Если R — радиус сходимости степенного ряда (32.2), R < +∞, и этот ряд сходится при z = R, то он сходится равномерно на отрезке [0, R] действительной оси.

С л е д с т в и е. Если ряд (32.2) сходится при z = R, то его сумма непрерывна на отрезке [0, R] действительной оси.

∞

причем, по условию теоремы ряд anRn сходится. Поскольку этот

n=0

ряд числовой, то его сходимость можно рассматривать как равномерную сходимость на отрезке [0, R]. Последовательность

(x/R)n, n = 1, 2, ...,

ограничена на отрезке [0, R], ибо если 0 x R, то

0(x/R)n 1,

имонотонна при любом x [0, R]. Следовательно, в силу признака

равномерной сходимости Абеля (п. 31.3 ) ряд (32.2) равномерно сходится на отрезке [0, R].

Утверждение следствия вытекает из непрерывности каждого члена ряда (32.2) на отрезке [0, R] и доказанной равномерной сходимости этого ряда на указанном отрезке.

Докажем еще одну лемму для степенных рядов в комплексной области, которая будет использована в следующем параграфе.

Таким образом, ряды (32.17) и (32.18), получающиеся из (32.16) соответственно с помощью «формального интегрирования и дифференцирования», имеют те же радиусы сходимости, что и исходный ряд. Интегрирование и дифференцирование названо здесь формальным, поскольку для функций комплексного аргумента эти операции у нас не были определены и они были произведены так, как если бы an и z были действительными числами.

Из неравенства

следует, что если в точке z абсолютно сходится ряд (32.16), то в этой точке абсолютно сходится и ряд (32.17), а это означает, что радиус сходимости R1 ряда (32.17) не меньше радиуса сходимости R ряда (32.16): R1 R. Из неравенства же

|anzn| n|anzn| = |nanzn−1||z|

следует, что если в точке z абсолютно сходится ряд (32.18), то в этой точке абсолютно сходится и ряд (32.16), т. е. R R2.

Запишем абсолютную величину члена ряда (32.18) следующим обра-

сходится (в этом легко убедиться, например, с помощью признака Даламбера). Поэтому последовательность его членов стремится к нулю

396 Гл. 3. Ряды

и, следовательно, ограничена, т. е. существует такая постоянная c > 0, что для всех n = 0, 1, 2, ... выполняется неравенство

n=0

лютная сходимость ряда (32.18). Это и означает выполнение неравенства (32.21).

Из неравенств (32.20) и (32.21) следует, что имеет место равенство (32.19).

З а м е ч а н и е . Лемма 1 очевидным образом переносится на об-

иnan(z − z0)n−1 имеют одинаковые радиусы сходимости.

n=1

32.2. Аналитические функции в действительной области. Рассмотрим теперь аналитические функции, раскладывающиеся в степенной ряд с действительными коэффициентами в некоторой

окрестности точки действительной оси R. Такие функции называются

действительными аналитическими функциями. Это означает, что действительная аналитическая в точке x0 R функция f в некоторой окрестности этой точки на действительной оси представима в виде

n=0

с действительными коэффициентами an, n = 0, 1, 2, ...

Очевидно, что действительные аналитические функции являются частным случаем аналитических функций, и поэтому при изучении их можно использовать свойства степенных рядов в комплексной области. Рассмотрим некоторые свойства действительных аналитических функций. Прежде всего заметим, что для всякого степенного ряда (32.25) с действительными коэффициентами (как и для всякого степенного ряда) существует радиус сходимости R (теорема 2 из п. 32.1).