Краткий курс математического анализа. Том 1

следствия из леммы 1 имеем

rn(x) 0.

X

Это и означает, что ряд (31.12) равномерно сходится на множестве X.

П р и м е р ы. 4. В п. 31.1 было показано, что ряд

∞ zn

n=0 n!

(31.21)

сходится при любом z C, в частности, для любого r > 0 сходится ряд

Однако ряд (31.21) не сходится равномерно на всей комплексной плоскости C. Это следует из того, что последовательность членов ряда (31.21) не стремится равномерно к нулю на C, ибо при любом n = 1, 2, ... имеет место равенство

sup zn = +∞,

C n!

и потому условие (31.18) заведомо не выполнено.

Итак, ряд (31.21) равномерно сходится в круге Kr сколь угодно большого радиуса r, но не сходится равномерно на всей плоскости C. Это означает, что если обозначить через s(z) и sn(z) соответственно сумму и частичные суммы ряда (31.21), то для любого ε > 0 при заданном круге Kr можно так выбрать номер n0, что для всех n > n0 и всех z Kr будет выполняться неравенство |s(z) − sn(z)| < ε. Номер n0 зависит не только от ε, но и от r, т. е. n0 = n0(ε, r), причем при неограниченном возрастании радиуса r номер n0 также неограниченно

возрастает: lim n0(ε, r) = +∞ (если бы это было не так, то ряд (31.21)

r→∞

сходился бы равномерно на всей комплексной плоскости), т. е. невозможно выбрать такой номер n0, чтобы при всех n > n0 неравенство |s(z) − sn(z)| < ε выполнялось для всех z C.

∞

5. Ряд zn, z C, сходится в открытом круге K = {z : |z| < 1}

n=0

и при любом r, 0 r < 1, сходится равномерно в замкнутом круге

378 Гл. 3. Ряды

Kr = {z : |z| r}. Это следует, например, из признака сходимости Вейерштрасса, так как при |z| r имеем |zn| = |z|n rn и ряд ∞ rn

n=0

сходится. В круге K заданный ряд не сходится равномерно, так как

lim sup |zn| = lim sup |z|n = lim 1 = 1 и, следовательно, в круге K

n→∞ |z|<1 n→∞ |z|<1 n→∞

1 − 2r cos ϕ + r2

0 r < 1, −∞ < ϕ < +∞.

Приравняв действительную и мнимую части этого равенства, получим

При фиксированном r, 0 r < 1, эти ряды как функции переменной ϕ абсолютно и равномерно сходятся на множестве R всех действительных чисел. Это следует, например, из признака равномерной сходимости Вейерштрасса, так как |rn cos nϕ| rn, |rn sin nϕ| rn, и при

0 r < 1 ряд ∞ rn сходится.

n=0

31.3. Специальные признаки равномерной сходимости рядов. Для рядов функций справедливы признаки равномерной сходимости, аналогичные признакам Дирихле и Абеля сходимости числовых рядов.

Те о р е м а 5 (признак Дирихле–Харди 1)). Если последовательность функций an(x) R, n = 1, 2, ..., равномерно стремится на множестве X к нулю, т. е.

1) Г. Харди (1877–1947) — английский математик.

сти {an(x)} существует такая постоянная A > 0, что для всех x X и всех n = 1, 2, ... выполняется неравенство

В силу же равномерной сходимости ряда (31.23) для произвольно фиксированного ε > 0 существует такой номер n0, что для всех x X, всех n > n0 и всех p = 0, 1, 2, ... имеет место неравенство

В результате, согласно неравенству Абеля (30.75), для всех x X, всех n > n0 и всех p = 0, 1, 2... будет выполняться неравенство

т. е. снова ряд (31.24) удовлетворяет на множестве X критерию Коши равномерной сходимости ряда.

П р и м е р. В п. 30.8 было показано, что ряд

сходится на всей числовой оси R. Там же было показано, что

Поэтому если положить an = 1/n, bn(x) = sin nx, n = 1, 2, ..., то последовательность {an} будет монотонной и, как всякая сходящаяся числовая последовательность, может рассматриваться как равномерно сходящаяся, например, на R. Последовательность {bn(x)} ограниченна на любом отрезке [a, b], не содержащем точек вида x = 2πm, m = 0, ±1, ±2, ..., так как для любой точки x такого отрезка

382 Гл. 3. Ряды

для всех точек x X, удовлетворяющих условию x U (x0; δ), выполняется неравенство

|s(x) − s(x0)| = |[s(x) − sn(x)] + [sn(x) − sn(x0)] + [sn(x0) − s(x0)]|

Действительно, в силу непрерывности функций s(x) и un(x) в точке x0 имеем lim s(x) = s(x0), lim un(x) = un(x0), n = 1, 2, ..., поэтому

Заметим, что в теореме 7 условие равномерной сходимости ряда на множестве нельзя заменить условием только его сходимости на этом множестве. Это показывает пример 2 в п. 31.1: ряд (31.4) сходится на всей числовой прямой, его члены являются непрерывными на ней функциями, а сумма ряда — разрывная в точке x = 0 функция.

Выше отмечалось, что изучение рядов равносильно изучению последовательностей (п. 30.1), поэтому каждое предложение о рядах можно перефразировать в соответствующее предложение о последовательностях.

равносильна следующей теореме.

Те о р е м а 7 . Если последовательность функций равномерно сходится на некотором множестве и в некоторой точке множества все члены последовательности непрерывны, то и предельная функция последовательности непрерывна в этой точке.

Заметим, что если

fn f

X

т. е. при сделанных предложениях предельные переходы при n → ∞ и при x → x0 перестановочны.

Ясно, что условие равномерной сходимости в теореме 7 существенно: если последовательность непрерывных функций лишь сходится на некотором числовом множестве, то ее предельная функция может не быть непрерывной на этом множестве. Примерами таких последовательностей являются последовательность частичных сумм ряда (31.4) (см. пример 2 в п. 31.1) и последовательность степеней {xn} на отрезке [0, 1] (см. пример 3 в п. 31.2).

Ясно также, что условие равномерной сходимости последовательности непрерывных функций, будучи достаточным условием непрерывности предельной функции, не является необходимым, так как последовательность непрерывных функций может сходиться неравномерно к непрерывной функции. Примером такой последовательности является та же последовательность степеней {xn}, но рассматриваемая на полуинтервале [0, 1) (см. пример 2 в п. 31.2): она сходится, но не равномерно к непрерывной на полуинтервале функции, тождественно

равномерно сходится на этом отрезке. Тогда, какова бы ни была

Равенство (31.37) означает, что в условиях теоремы ряд (31.35) можно почленно интегрировать.

что, согласно лемме 1, означает, что последовательность {σn(x)} равномерно на отрезке [a, b] сходится к функции σ(x), т. е. что ряд (31.36) равномерно сходится на указанном отрезке и что его сумма равна

σ(x) = ∞ x un(t) dt.

n=1 x0

Последнее равенство в силу (31.39) можно записать в виде

что согласно (31.38) равносильно равенству (31.37).

Перефразировка теоремы 8 в терминах последовательностей имеет следующий вид.

Те о р е м а 8 . Если последовательность непрерывных на отрезке [a, b] функций fn(x) R, n = 1, 2, ..., равномерно сходится на этом

отрезке к функции f (x), то, какова бы ни была точка x0 [a, b],

x

последовательность fn(t) dt сходится равномерно на отрезке [a, b]

xx0

к функции f (t) dt.

x0

Из этой теоремы следует, в частности, что

т. е. что в данном случае можно переходить к пределу под знаком интеграла, или, коротко: в рассматриваемом случае предел интегралов равен интегралу от предела.

З а м е ч а н и е. Условия равномерной сходимости в теореме 8 являются существенными. Подтвердим это примером.

Функции fn(x), 0 x 1, зададим для наглядности графически

13 Л. Д. Кудрявцев