Краткий курс математического анализа. Том 1

стичных сумм {sn} имеет конечный предел, а тогда, согласно лемме 4, и последовательность средних арифметических {σn} членов последовательности {sn} имеет тот же предел

lim σn = lim sn.

n→∞ n→∞

§31. Функциональные последовательности и ряды

31.1.Сходимость функциональных последовательностей

ирядов. Пусть на некотором множестве X (произвольной природы) задана последовательность функций

принимающих числовые значения (вообще говоря, комплексные,

в частности, только действительные). Элементы множества X будем называть точками.

Последовательность (31.1) называется ограниченной на множестве X, если существует такое число c > 0, что для всех n = 1, 2, ...

и всех точек x X выполняется неравенство

|fn(x)| c.

Последовательность (31.1) называется сходящейся на множестве X, если при любом фиксированном x X числовая

последовательность {fn(x)} сходится.

Если последовательность (31.1) сходится на множестве X, то функция f , определенная при каждом x X равенством

f (x) def= lim fn(x),

n→∞

называется пределом последовательности (31.1).

Пусть на множестве X задана последовательность числовых функ-

n=1

на множестве X, а функции un(x), n = 1, 2, ..., — его членами. Аналогично случаю числовых рядов сумма

k=1

Ряд (31.2) называется сходящимся на множестве X, если последовательность {sn(x)} его частичных сумм сходится на этом множестве. При этом предел частичных сумм

lim sn(x) = s(x), x X,

n→∞

называется суммой ряда (31.2). В этом случае пишут

s(x) = ∞ un(x)

n=1

и говорят, что функция s(x) раскладывается в ряд (31.2).

Если ряд (31.2) при любом фиксированном x X сходится абсолютно, то он называется абсолютно сходящимся на множестве X.

Исследуем абсолютную сходимость этого ряда при фиксированном z с помощью признака Даламбера:

Таким образом, при любом z C ряд (31.3) абсолютно, а следовательно, и просто сходится; иначе говоря, ряд (31.3) сходится, и притом абсолютно, на всей комплексной плоскости.

2. Рассмотрим ряд

При x = 0 все его члены обращаются в нуль и, следовательно, его сумма s(x) также равна нулю:

s(0) = 0. (31.5)

При x = 0 ряд (31.4) представляет собой сумму членов бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем

Из формул (31.5) и (31.6) следует, что ряд (31.4) сходится на всей

оказывается разрывной в точке x = 0 функцией (см. рис. 60), хотя все его члены, очевидно, непрерывны на всей числовой оси.

Этот пример показывает, что сумма сходящегося и даже абсолютно сходящегося на некотором множестве ряда (члены ряда (31.4) неотрицательны, и потому ясно, что он абсолютно сходится), все члены которого непрерывны, может оказаться разрывной функцией. Таким образом, на сходящиеся и даже на абсолютно сходящиеся ряды функций не переносится свойство конечных сумм: сумма конечной совокупности непрерывных на некотором множестве функций также непрерывна на нем. Для того чтобы описать ряды функций, на которые переносится это свойство, введем понятие равномерно сходящихся рядов.

31.2. Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов.

О п р е д е л е н и е 1. Функциональная последовательность (31.1) называется равномерно сходящейся к функции f на множестве X,

если для любого ε > 0 существует такой номер n0, что для всех точек x X и всех номеров n > n0 выполняется неравенство

ществует, вообще говоря, свой номер n0 = n0(ε, x), для которого при n > n0 выполняется неравенство

|fn(x) − f (x)| < ε,

и может оказаться, что для всех точек x X невозможно подобрать общий номер n0, обладающий указан-

ным свойством.

Равномерная же сходимость последовательности {fn} к функции f означает, что, какое бы число ε > 0

ни задать, можно подобрать такой номер n0, что в любой точке x X значение функции fn будет отличаться от значения функции f меньше, чем на ε (рис. 124).

Л е м м а 1. Для того чтобы последовательность {fn} равномерно сходилась на X к функции f , необходимо и достаточно, чтобы

Значение этой леммы состоит в том, что она сводит понятие рав-

номерной сходимости п о с л е д о в а т е л ь н о с т и ф у н к ц и й {fn} к понятию сходимости числовой последовательности

(«числовой» в широком смысле этого слова: конечное число членов указанной последовательности может обратиться в +∞). В силу этого обстоятельства условие (31.8) часто бывает удобно использовать для выяснения, сходится ли равномерно интересующая нас конкретная последовательность функций.

1. Пусть

fn f.

X

Зададим произвольно ε > 0. Тогда существует такой номер n0, что для всех n > n0 и всех x X выполняется неравенство |fn(x) − f (x)| < ε, а следовательно, для всех n > n0 — неравенство

sup |fn(x) − f (x)| ε.

x X

Это и означает выполнение условия (31.8).

2. Пусть выполнено условие (31.8). Зададим произвольно ε > 0. Тогда в силу определения предела числовой последовательности существует такой номер n0, что для всех n > n0 выполняется неравен-

ство

sup |fn(x) − f (x)| < ε,

X

а следовательно, для всех n > n0 и всех x X — неравенство

|fn(x) − f (x)| < ε.

Это означает, что

fn f.

X

С л е д с т в и е. Если существует стремящаяся к нулю последова-

тельность {αn}:

lim αn = 0,

n→∞

такая, что для всех x X выполняется неравенство

то последовательность {fn(x)} равномерно сходится к функции f (x) на множестве X.

3. Последовательность fn(x) = xn, n = 1, 2, ..., сходится и на отрезке [0, 1], но уже к разрывной функции

f (x) = lim xn = 0, если 0 x < 1, n→∞ 1, если x = 1.

Поскольку последовательность {xn} не сходится равномерно на полуинтервале [0, 1), то она не сходится равномерно и на отрезке [0, 1]. Это следует из того, что если неравенство (31.7) не выполняется на каком-то множестве X (в данном случае на [0, 1)), то оно, очевидно, не выполняется и на всяком множестве, содержащем в себе X.

Рассмотренная последовательность является еще одним примером сходящейся последовательности непрерывных функций, предел которой уже не является непрерывной функцией (первым примером такого рода у нас была последовательность частичных сумм ряда (31.4)). Ниже будет показано, что если потребовать, чтобы последовательность не только сходилась, но и равномерно сходилась, то подобная ситуация будет уже невозможной (теоремы 7 и 7 ).

Те о р е м а 1 (критерий Коши равномерной сходимости последовательности). Для того чтобы последовательность fn равномерно сходилась на множестве X к некоторой функции, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовал такой номер n0, что для всех x X, всех n > n0 и всех p = 0, 1, ... выполнялось неравенство

В символической записи это условие выглядит следующим образом:

1. Пусть

fn f.

X

Зафиксируем произвольно ε > 0. Для него в силу (31.7) существует такой номер n0, что для всех n > n0 и всех x X выполняется неравенство

Поэтому для всех точек x X, всех номеров n > n0 и всех p = 0, 1, 2, ...

имеем

|fn+p(x) − fn(x)| = |[fn+p(x) − f (x)] + [f (x) − fn(x)]|

|fn+p(x) − f (x)| + |fn(x) − f (x)| < 2ε + 2ε = ε,

т.е. выполняется условие (31.10).

2.Пусть выполняется условие (31.10); тогда в каждой точке x X последовательность {fn(X)} удовлетворяет критерию Коши сходимо-

сти числовых последовательностей и, следовательно, сходится. Обозначим предел последовательности {fn} на множестве X через f :

Перейдя к пределу в последнем неравенстве (31.10) при p → ∞, в силу (31.11) получим, что для всех номеров n > n0 и всех точек x X выполняется неравенство |f (x) − fn(x)| ε.

Это и означает равномерную сходимость последовательности функций {fn} к функции f на множестве X.

n=1

называется равномерно сходящимся на множестве x, если на x равномерно сходится последовательность его частичных сумм.

Очевидно, что ряд, равномерно сходящийся на множестве X, сходится на этом множестве. Пусть

Это условие равносильно условию

s(x) − sn(x) 0.

X

Поэтому условие (31.13) равномерной сходимости на множестве X ряда равносильно условию

Иначе говоря, равномерная сходимость ряда на множестве X означает равномерную сходимость на X к нулю последовательности его остатков. Отсюда в силу леммы получаем, что для того чтобы ряд (31.12) равномерно сходился на множестве X, необходимо и достаточно, чтобы

некотором множестве, то и любая их конечная линейная комбинация равномерно сходится на этом множестве (см. замечание 1).

Те о р е м а 2 (необходимое условие равномерной сходимости ряда).

Если ряд (31.12) равномерно сходится на множестве X, то последовательность его членов равномерно стремится к нулю на этом множестве.

В самом деле,

В случае равномерной сходимости на множестве X ряда (31.12) после-

Отметим, что согласно лемме 1 для того, чтобы было выполнено условие (31.17), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

Те о р е м а 3 (критерий Коши равномерной сходимости ряда). Для того чтобы ряд (31.12) равномерно сходился на множестве X, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовал такой номер n0, что для всех n > n0, всех p = 0, 1, 2, ... и всех x X выполнялось неравенство

|un(x) + un+1(x) + ... + un+p(x)| < ε.

В силу равенства

un(x) + un+1(x) + ... + un+p(x) = sn+p(x) − sn−1(x),

где sn(x) — частичные суммы рассматриваемого ряда, критерий Коши равномерной сходимости рядов сразу следует из критерия Коши равномерной сходимости последовательностей.

З а м е ч а н и е 3. В дальнейшем нам понадобится следующее простое свойство равномерно сходящихся рядов.

376 Гл. 3. Ряды

Если ряд (31.12) равномерно сходится на множестве X, а функция f ограничена на этом множестве, то ряд ∞ f (x)un(x) также

n=1

равномерно сходится на X.

Действительно, ограниченность функции f означает, что существует такая постоянная c > 0, что для всех x X выполняется неравенство |f (x)| c. Поэтому для любых целых n 1, p 0 и любой точки x X имеет место неравенство

|f (x)un(x) + f (x)un+1(x) + ... + f (x)un+p(x)| =

=|f (x)||un(x) + un+1(x) + ... + un+p(x)|

c|un(x) + un+1(x) + ... + un+p(x)|.

Из этого неравенства следует, что ряд ∞ f (x)un(x) удовлетворяет

n=1

на множестве X критерию Коши равномерной сходимости ряда, ибо этому критерию удовлетворяет исходный ряд (31.12).

Те о р е м а 4 (признак Вейерштрасса). Если числовой ряд

то ряд (31.12) абсолютно и равномерно сходится на множестве X.

Абсолютная сходимость ряда (31.12) в каждой точке x множества X следует, согласно признаку сравнения (теорема 6 в п. 30.4), из неравенства (31.20) и сходимости ряда (31.19).