Краткий курс математического анализа. Том 1

308 Гл. 2. Интегральное исчисление функций одной переменной

Обозначим через qτ и Qτ тела, образованные вращением вокруг оси x ступенчатых фигур pτ и Pτ (см. (28.6)), соответствующих некоторому разбиению τ отрезка [a, b]. Из включения pτ p Pτ следует включение qτ Q Qτ , a следователь-

Объемы μqτ и μQτ равны суммам объемов составляющих их цилиндров, обра-

(рис. 116). Из этих равенств видно, что μqτ и μQτ являются соответственно нижними и верхними суммами Дарбу функции πf 2(x), поэтому

a

П р и м е р. Найдем объем тела, получающегося от вращения вокруг оси x одной арки синусоиды y = sin x:

28.6.Теоремы Гульдина. Центры тяжести плоских фигур

иих моменты относительно осей. Пусть Γ — график неотрица-

тельной непрерывно дифференцируемой на отрезке [a, b] функции f , τ = {xk }kk==k0τ — разбиение этого отрезка, а λτ — ломаная, соответствующая этому разбиению и вписанная в кривую Γ. Будем кривую Γ и ломаные λτ рассматривать как материальные кривые, т. е. как имеющие массу. Будем предполагать, что их линейные плотности равны единице. Это означает, что массы их частей совпадают с длинами этих частей.

являющейся, очевидно, интегральной суммой функции y 1 + y 2 , y = = f (x), и потому имеющей своим пределом при |τ | → 0 интеграл

Каждое слагаемое f (ξk)Δ(λτ )k суммы (28.37) является произведением массы Δ(λτ )k k-го звена ломаной λτ на некоторое среднее расстояние f (ξk) этого звена от оси x, т. е. f (ξk)Δ(λτ )k является приближенным значением момента k-го звена ломаной λτ относительно оси x, а вся сумма (28.37) представляет собой приближенное значение момента этой ломаной относительно той же оси. Предел этих приближенных значений моментов ломаных λτ при |τ | → 0 равен моменту Mx кривой Γ относительно оси x. Поскольку сумма (28.37) при |τ | → 0 стремится к интегралу (28.38), то

Этот момент равен моменту относительно оси x материальной точки, масса которой равна массе кривой Γ (в данном случае совпадающей с ее длиной S), помещенной в центр тяжести (x0, y0) этой кривой. Момент относительно оси x материальной точки массы S, находящейся в точке (x0, y0), равен Sy0. В силу сказанного он совпадает с моментом

Используя формулу (28.39), это равенство можно записать в виде

является площадью L поверхности вращения (см. п. 28.4), получим, что

Если кривая Γ не удовлетворяет условиям, при которых получена формула (28.39), то можно попытаться разбить кривую Γ на конечное число кривых, каждая из которых уже удовлетворяет указанным условиям, и воспользоваться тем, что момент относительно оси объединения тел равен сумме их моментов.

Перейдем ко второй теореме Гульдина.

Пусть функции f и g непрерывны на отрезке [a, b], 0 g(x) f (x),

Момент прямоугольника Pτ ,k относительно оси x равен произведению ор-

динаты его центра тяжести (28.45) на

его массу, т. е. в данном случае на площадь [f (ξk) − g(ξk)]Δxk. Таким образом, этот момент равен

12 [f 2(ξk) − g2(ξk)]Δxk .

Для момента же Mτ ступенчатой фигуры Pτ , равного сумме моментов составляющих его прямоугольников Pτ ,k, имеем формулу

kτ

Mτ = 12 [f 2(ξk) − g2(ξk)]Δxk . (28.46)

k=1

312 Гл. 2. Интегральное исчисление функций одной переменной

Момент Mx самой фигуры P относительно оси x равен пределу моментов Mτ ступенчатых фигур при |τ | → 0:

Сумма, стоящая в правой части равенства (28.46), представляет

a

Таким образом, из (28.47) и (28.48) следует, что момент Mx фигуры P относительно оси x равен интегралу, стоящему в правой части формулы (28.48):

a

Момент фигуры относительно оси равен моменту материальной точки, масса которой равна массе фигуры и которая помещена в центр тяжести фигуры.

Поэтому если (x0, y0) — центр тяжести фигуры P , то, так как ее масса в данном случае совпадает с ее площадью S, получим

В правой части этого равенства стоит разность объемов тел, полученных вращением вокруг оси x криволинейных трапеций, порожденных графиками соответственно функций f и g (п. 28.5), т. е. объем V тела, получающегося вращением фигуры P вокруг оси x:

Таким образом, доказана следующая Те о р е м а 2 (вторая теорема Гульдина). Объем тела, получен-

ного вращением плоской фигуры вокруг оси, равен площади фигуры, умноженной на длину окружности, описываемой центром тяжести фигуры.

Здесь под плоской фигурой понимается множество P рассмотренного выше типа (см. (28.44)), а под ее вращением — вращение этой фигуры вокруг оси, лежащей с фигурой в одной плоскости и не пересекающей ее.

П р и м е р. Найдем объем V тора, рассмотренного в качестве примера применения первой теоремы Гульдина. Поскольку площадь вращаемой фигуры (в данном случае круга) равна πr2, то в силу

формулы (28.51)

V = πr2 · 2πa = 2π2r2a.

Отметим в заключение, что для координаты x0 центра тяжести фигуры P имеет место формула (аналогичная формуле (28.50))

где момент My фигуры P находится по формуле, аналогичной формуле (28.49).

Из формул (28.50) и (28.52) получаются следующие формулы для координат центра тяжести (x0, y0) фигуры P :

x0 = My /S, y0 = Mx/S.

§29. Несобственные интегралы

29.1.Определение несобственных интегралов. Пусть

функция f определена на конечном или бесконечном полуинтервале [a, b), −∞ < a < b +∞, и для любого числа η [a, b) интегрируема

на отрезке [a, η].

η

О п р е д е л е н и е 1. Функция F (η) = f (x) dx верхнего предела

a

интегрирования, a η < b, называется несобственным интегралом

и обозначается

b

f (x) dx.

интеграл f (x) dx называется сходящимся, а если этот предел не

a

существует, то — расходящимся.

В случае когда несобственный интеграл сходится, говорят также, что он существует, а если расходится, то не существует.

314 Гл. 2. Интегральное исчисление функций одной переменной

и для краткости также называется несобственным интегралом (иногда — его значением).

Подчеркнем, что здесь возможны два случая: когда b — конечное число и когда b равно бесконечности (рис. 119).

образом, интеграл Римана является частным случаем несобственного интеграла.

При условии конечности b определение 1 содержательно, только если функция f неограничена в любой окрестности точки b (см. рис. 119): если функция f ограничена на полуинтервале [a, b) и для любого η [a, b] она интегрируема по Риману на отрезке [a, η], то

b

нетрудно убедиться, что несобственный интеграл f (x) dx существует

a

и совпадает с интегралом Римана функции f , произвольно доопределенной в точке x = b (почему?).

Таким образом понятие несобственного интеграла содержательно (в том смысле, что оно является новым понятием) лишь в том случае, когда график неинтегрируемой функции неограничен. В случае неограниченного промежутка, по которому ведется интегрирование, это обусловливается во всяком случае уже неограниченностью

указанного промежутка, а в случае конечности этого промежутка неограниченностью подынтегральной функции.

Для отличия интеграла Римана от несобственного интеграла интеграл Римана называют иногда собственным интегралом.

b

Геометрический смысл несобственного интеграла f (x) dx от неот-

a

рицательной функции f состоит в том, что он, подобно собственному интегралу, равен площади криволинейной трапеции

P = {(x, y) : a x < b, 0 y f (x)},

порожденной графиком функции f , причем эта трапеция (как в случае неограниченной функции f и конечного промежутка [a, b), так и в случае бесконечного промежутка [a, b)) всегда является (в отличие от того, что имело место для собственного интеграла) н е о г р а н и ч е н- н ы м м н о ж е с т в о м.

Если a < c < b, то из равенства

сразу видно, что несобственный интеграл (29.1) существует в том

Если функция f определена на полуинтервале (a, b], −∞ a <

< b < +∞, и при любом ξ (a, b] интегрируема по Риману на отрезке

b

[ξ, b], то аналогично формуле (29.1) несобственный интеграл f (x) dx

определяется как функция F (ξ) = f (x) dx нижнего предела интегри-

ξ

рования, a < ξ b.