2.4. Логико-математический уровень описания систем - у4

Логико-математическая интерпретация алгебраического уровня описания достигается путем идентификации значений ис­тинности и ложности и их модальностей на отрезке [0,1], как универсуме.

Для положительной двухзначной логики без модальностей - это крайние точки отрезка: 0 - ложно, 1- истинно.

При этом значения аргументов и функции определяются на одном и том же множестве {0,1}.

А

X

лгебраические структуры, отвечающие подобным функци­ям, имеют вид направленных системq=f(x).

{q}  x1	q1	q2	q3	q4
0	0	0	1	1
1	0	1	0	1

x1	x2	q1	q2	…	q16
0	0	0	0		1
0	1	0	0		1	…
1	0	0	0		1
1	1	0	1		1

Логическая операция в общем случае записывается, как ча­стный случай алгебраической:

: N_k; N_k = {0,1,2,3,…,k-1},

где k-значность логики, определяется мощностьюN_K.

Для двузначной логики N₂ = {0;1}, т.е. мощность множества = 2, или из уравненияk-1=1, следовательно k=2.

Логическая интерпретация определяет систему отношений элементов множества N_k к областям истинности и ложности. Кроме положительной, различают отрицательную и смешанные типы логик.

Если ввести десятичный эквивалент двоичных наборов и использовать его для упорядоченного описания номеров наборов аргументов и номеров функций, то алгебраической базой описания логического пространства являются алгебраические выраже­ния вида:

: N_m,

где n- число аргументов;

N_n - число наборов аргументов;

N_m - число логических функций.

Для двухзначной логики имеем:

N_n{0,2,4,8, …q};q= 2ⁿ; N_m= {0,2,4,8,16,32 ...,r};r= 2^q.

Для k - значной логикиq= kⁿ иr= k^q.

Таким образом, формально между допустимыми множества­ми значений N_n иN_m длядвухзначной логики имеется степенная зависимость вида

n	0	1	2	3	4	5
Nn	0	2	4	8	16	32
Nm	2	4	16	256	65536	…….

Для идентификации функций при n= 4 по десятичным но­мерам удобно использовать модель логического пространства в виде карты Карно:

	XY		00			01				11					10
ZS
		0			4				12					8
00			20			24				212					28
				1				16				4096					256
		1			5				13					9
01			21			25				213					29
				2				32				8192					512
		3			7				15					11
11			23			27				215					211
				8			128				32768						2048
		2			6				14					10
10			22			26				214					210
				4				64			16384					1024

Теоретико-множественные и алгебраические операции при описании функции на логико-математическом уровне конкрети­зируются в наборе логических операций:

R┐┐┐

Задачи и упражнения

1. Составьте алгебраические системы для следующих логи­ческих операций: отрицание(┐), дизъюнкция(), конъюнкция(), импликация(), эквиваленция(. Как называются подобные таб­лицы в математической логике?

2. Для одной из ячеек системы высказываний таблицы Жукова, определяющей краткий план работ в саду и огороде, по­стройте логические формулы, введя соответствующую систему обозначений для множества правильных высказываний.

Сколько ячеек может содержать таблица Жукова? Введите для таблицы Жукова понятие "алгебраическая структура и опера­ция".

3. Номер логической функции задан десятичным числом k из множества {0,.....65531}. Задайтесь числом k. Определите соот­ветствующую этому числу логическую функцию. Воспользуйтесь картой Карно.

4. Составьте таблицу отношений N^приN= {0;1}

опр

и N²N.

Покажите, что логическая интерпретация определяет мно­жество булевых функций от одной или 2-х переменных соответст­венно.

5. Определите изоморфизм диаграмм Эйлера, Венна, куби­ческого графа на примере одной из логических функций.

6. Полные наборы функций определяют изоморфные фор­мы их описания. Покажите изоморфизм логических систем на примерах наборов функций Пирса - Вебба (стрелка Пирса) и функции Шеффера (штрих Шеффера).

7. Определите системное свойство следующих наборов ло­гических функций: {константа 0, отрицание, конъюнкция, дизъ­юнкция}; {отрицание, конъюнкция}; {отрицание, дизъюнкция}; {стрелка Пирса}; {штрих Шеффера}.

8. Определите систему соответствий логических операций, производимых на уровне множеств (У2), и на уровне моделей ма­тематической логики (У4).

9. Известны 11 элементарных логических функций, опреде­ляемых логической формулой и кортежами свойств: (₁;₂;₃;₄;₅);