- •Теория систем Методологические основы
- •Введение
- •Глава 1. Наука о системах. Исходные понятия
- •1.1. Системный подход и анализ
- •1.2. Система. Уровни абстрагирования – конкретизации
- •1.3. Категории объекта и субъекта
- •1.4. Из истории возникновения теории систем. Системная парадигма
- •Глава 2. Отождествление объекта наблюдений с системой
- •2.1. Система на знаково-лингвистическом уровне - у1
- •2.2. Теоретико-множественный уровень описания системы - у2
- •2.3. Абстрактно - алгебраический уровень описания - у3
- •2.4. Логико-математический уровень описания систем - у4
- •0(A2;a3);1(a1;a3);(a1;a2;a5);(x1Lx2)(a3;a4);(x1Vx2)(a3;a4); (x1x2)(a1;a3;a4;a5);(x1x2)(a1;a3;a5);(x1x2)(a2;a3;a4;a5); (x1x2)(2;3;5);(x1/x2) (все свойства); (x1x2) (все свойства).
- •Глава 3. Топология и топологические уровни описания объекта – у5
- •3.1. Пространства и пространственно -подобные отношения
- •3.1.1. Метрические пространства(гильбертово пространство)
- •3.1.2. Топологические пространства
- •3.1.3. Линейные пространства
- •3.1.4. Евклидово пространство. Нормирование
- •3.2. Пространство, как система базирования
- •4. Информационный уровень конкретизации систем – у6
- •4.1. Информация как степень неопределенности
- •4.2. Свойства меры нечеткости
- •5. Динамический уровень описания систем у7
- •5. 1. Общая динамическая система
- •5.2. Автоматы как динамические системы
- •6. Эмпирические системы
- •6.1. Исходная система
- •6.2. Система данных
- •6.3. Системы порождения. Основные понятия
- •6.4. Маска и адресные уравнения
- •Глава 7. Системы с поведением. Имитация функции выбора
- •7. 1 .Трафарет и маска выборки
- •7.2. Выборочные переменные для упорядоченных множеств
- •7.3. Системы с нечеткими функциями выбора
- •Глава 8. Эпистемология эмпирических систем
- •8.1. Эпистемология основных уровней эмпирических систем
- •8.2. Структура, структуризация, метаоперация
- •8.3. К задаче перечисления методологических типов систем
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Приложения
- •П.1. Прессдуктор, как пример сложной физической системы
- •П.2. "Учебный процесс в вузе", как объект наблюдений
- •П.3. Примеры рациональных систем
- •П.4. Фрагмент таблицы случайных чисел с равновероятным законом распределения
- •П.5. Вероятности появления отдельных букв в тексте на русском языке
- •П.6. Топология расположения символов на клавиатуре для пишущей машинки и пульте управления компьютером
- •Теория систем методологические основы
- •119454, Москва, пр. Вернадского, 78
4.2. Свойства меры нечеткости
Мера нечеткости была предложена как функция для решения общей задачи
H:P[0,] ,
где H- шенноновская энтропия,
P– множество всех распределений вероятностей, которые могут быть определены на конечных множествах альтернативных (взаимно-исключающих) выходах:
P= 0 для детерминированного случая;
иначе P; подобно множеству точек отрезка [0,1], любая из которых может быть принята за разделительную для выделения отрезкаPi.
P1P2PiPn
[0;1]
Сравнение по нечеткости множеств альтернатив разбиения универсума [0,1] на части целого {[Pi]} определяется в общем виде функциейH:
.
Это единственная известная функция, удовлетворяющая системе из пяти аксиом:
К() = (1;2;3;4;5)H,
где
1H - симметричность: нечеткость инвариантна относительно перестановки вероятностей;
2H - расширяемость: нечеткость не меняется при добавлении к рассматриваемомумножеству выходов с нулевой вероятностью;
3H -квазиаддитивность: нечеткость совместного распределения вероятностей не более суммы нечеткостей соответствующих безусловных распределений его компонентов;
4H - аддитивность: для распределения вероятностей любых 2-х независимых множеств выходов нечеткость совместного распределения вероятностей равна сумме нечеткостей отдельных распределений вероятностей;
5H - непрерывность: нечеткость это непрерывная функция на всех своих аргументах.
Функция f(х) определяет нечеткость (в частности, вероятность) для конечного множества альтернативх X.
Коэффициенты "a" и "b" вH являютсяконституэнтами: значение "а" используется на практике в качестве нормирующего коэффициента, значение "b" (основание логарифма) определяет единицу измерения при передаче информации (бит... дит...).
Нормализующее свойство меры нечеткости иллюстрируется нечеткостью 2-х равновероятных исходов, когдаH = 1.
Чтобы нормализовать для произвольного множества исходов при наихудшем равновероятном случае альтернатив значение H нормируют по величине
ld X, гдеX- мощность (число) альтернатив;
Значения нормы сведены в таблицу.
X |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
ld X |
0 |
1 |
1.58 |
2 |
2.32 |
2.58 |
2.8 |
3 |
3.16 |
3.32 |
Упражнения
1. Система имеет два взаимоисключающих выхода на множестве альтернатив {0;1}. Определить норму.
2. Повторить для X= {3,4,5}.
3. Определить энтропию и нормализовать ее для следующих механизмов случайного выбора (МСВ).
а.
МСВ |
X1 |
X2 |
МСВ-R1 |
0.1 |
0.9 |
МСВ-R2 |
0.3 |
0.7 |
МСВ-R3 |
0.5 |
0.5 |
б.
X |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
P1 |
0.6 |
0.3 |
0.09 |
0.01 |
- |
P2 |
0.37 |
0.37 |
0.19 |
0.06 |
0.01 |
в.
T |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
P |
0.01 |
0.06 |
0.24 |
0.38 |
0.24 |
0.06 |
0.01 |
4. В приложении 5 приведены вероятности появления букв в русском языке, а также один из возможных вариантов МСВ для имитационного моделирования процесса появления букв. “Переведите” на русский язык фрагмент таблицы случайных чисел (см. П.4), предварительно группируя числа в виде четырехзначных последовательностей.
5. Определите нечеткость преобразования последовательности символов “Основы теории систем “, используя данные приложения 6.
6. В приложении 6 приведена топология пишущей машинки с разметкой по частоте отдельных символов (см.П5).
а. Определите систему двухбуквенных сочетаний, используя отношение соседства на клавиатуре.
б. Оцените соответствие найденных соседств фонетическому строю русских слов. Приведите конкретные примеры в подтверждение типовых буквосочетаний и оцените удобство их печатания в данной топологии расположения символов: при печатании одним пальцем и при многопальцевой системе.
7. В приложении 7 приведена топология клавиатуры персонального компьютера (ПК). Определите системы соответствий между топологиями пишущей машинки и ПК. Какое лингвистическое и программно-математическое обеспечение потребуется для решения подобной задачи?