- •Теория систем Методологические основы
- •Введение
- •Глава 1. Наука о системах. Исходные понятия
- •1.1. Системный подход и анализ
- •1.2. Система. Уровни абстрагирования – конкретизации
- •1.3. Категории объекта и субъекта
- •1.4. Из истории возникновения теории систем. Системная парадигма
- •Глава 2. Отождествление объекта наблюдений с системой
- •2.1. Система на знаково-лингвистическом уровне - у1
- •2.2. Теоретико-множественный уровень описания системы - у2
- •2.3. Абстрактно - алгебраический уровень описания - у3
- •2.4. Логико-математический уровень описания систем - у4
- •0(A2;a3);1(a1;a3);(a1;a2;a5);(x1Lx2)(a3;a4);(x1Vx2)(a3;a4); (x1x2)(a1;a3;a4;a5);(x1x2)(a1;a3;a5);(x1x2)(a2;a3;a4;a5); (x1x2)(2;3;5);(x1/x2) (все свойства); (x1x2) (все свойства).
- •Глава 3. Топология и топологические уровни описания объекта – у5
- •3.1. Пространства и пространственно -подобные отношения
- •3.1.1. Метрические пространства(гильбертово пространство)
- •3.1.2. Топологические пространства
- •3.1.3. Линейные пространства
- •3.1.4. Евклидово пространство. Нормирование
- •3.2. Пространство, как система базирования
- •4. Информационный уровень конкретизации систем – у6
- •4.1. Информация как степень неопределенности
- •4.2. Свойства меры нечеткости
- •5. Динамический уровень описания систем у7
- •5. 1. Общая динамическая система
- •5.2. Автоматы как динамические системы
- •6. Эмпирические системы
- •6.1. Исходная система
- •6.2. Система данных
- •6.3. Системы порождения. Основные понятия
- •6.4. Маска и адресные уравнения
- •Глава 7. Системы с поведением. Имитация функции выбора
- •7. 1 .Трафарет и маска выборки
- •7.2. Выборочные переменные для упорядоченных множеств
- •7.3. Системы с нечеткими функциями выбора
- •Глава 8. Эпистемология эмпирических систем
- •8.1. Эпистемология основных уровней эмпирических систем
- •8.2. Структура, структуризация, метаоперация
- •8.3. К задаче перечисления методологических типов систем
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Приложения
- •П.1. Прессдуктор, как пример сложной физической системы
- •П.2. "Учебный процесс в вузе", как объект наблюдений
- •П.3. Примеры рациональных систем
- •П.4. Фрагмент таблицы случайных чисел с равновероятным законом распределения
- •П.5. Вероятности появления отдельных букв в тексте на русском языке
- •П.6. Топология расположения символов на клавиатуре для пишущей машинки и пульте управления компьютером
- •Теория систем методологические основы
- •119454, Москва, пр. Вернадского, 78
8.2. Структура, структуризация, метаоперация
Структурность окружающего мира проявляется в единстве прерывности и непрерывности. Структурные уровни материальных систем простираются от элементарных частиц и полей до галактик и систем галактик, от отдельных молекул и живых клеток до организмов и их сообществ.
Структурапредметной области (объекта наблюдений) определяется совокупностью устойчивых связей его элементов, обеспечивающих целостность и тождественность самому себе, т.е. то, что обеспечивает сохранение основных свойств при различных внешних и внутренних изменениях [5].
Задача структуризации состоит в определении элементов структуры и их отношений, сохраняющих системные свойства, присущие объекту (предметной области).
Граф, как система элементов (вершин) и их отношений (ребер), является наиболее абстрактной формой представления каркаса структуры предметной области.
Размеченный и означенный граф служит моделью предметной области.
Для примера рассмотрим граф-схему представления рациональной системы, на основе которой субъект может моделировать поведение эмпирической системы наблюдений в задаче о двух сигналах. Рациональная система открыта для расширения и приведена в приложении П.3.
Рациональные системы в приложении П3 представляют собой набор формул {Фi}, связанных отношением "выводимости" или "следования". Каждая Фi, тоже система по определению, элементами которой являются аргументы, а отношения определяются алгебраическими и реляционными операциями.
Система Фiможет быть представлена как ненаправленная (предикатная форма записи вида Фi 0) или направленная (функциональная форма записи, частный случай предикатной формы).
Например, для реляционной операции поиска максимума имеем:
Ф1 0:Xi-max{Xi} = 0. (8.1)
x1
x2
max
X
{х1;....хn} - порождающие переменные;
X- порождаемая переменная;
max X - оператор порождения, реляционная операция выбора максимального значения xmax Х.
В случае алгебраической операции, например: у = b0+b1Х, имеем: Ф4= 0у- b0-b1Х = 0.
Y
= f(x)
x
направленная система;
Ф4
ненаправленная.
Конституэнты b0и b1определяются по методу наименьших квадратов (см.П.3).
Рассмотрим структурные блоки системы {Ф0;Ф11} для задачи "Сигнал".
Блок 1 - формирование исходных данных:
Ф0Ф1 Ф0 / Ф1=. Здесь- нормированные значения сигнала, т.е. {xi /xmax} =
Блок 2 - вычисление по формулам Ф2; Ф3; Ф4; Ф11из данных Ф0 или Ф1. Здесь процесс интегрирования заменяется суммированием по методу трапеций.
Блок 3 - тригонометрическая аппроксимация данных рядами Фурье, формулы Ф5, Ф6, Ф7, Ф8, Ф9, Ф10, Ф11.
Блок 4 - определение метахарактеристик объекта от изменения фактора F:
F{F0;F1;F2; …}.
Блоки 1, 2, 3 определены при конкретном значении F.
Структуризация системы на уровне первых трех блоков позволяет перейти к метасистемам блока 4.
Рассмотрим метасистемы Ф2и Ф3для вычисления метапараметров Хэфи Хср. В общем случае для непрерывного сигнала имеем:
(8.2)
Это функционалы, т. е. соответствия между множествами чисел с одной стороны (Хэф; ХсрN) и множествами функций с другой стороны (х(t); х2(t)).
Гомоморфизм системы (8.2) заключается в том, что одно и то же значение (слева) может иметь множество различных функций х(t) (справа).
Другими словами, за счет неоднозначности отображения теряется информация о форме конкретного сигнала х(t).
При этом получается обобщенный параметр слева (метапараметр).
Подобные операции, связанные с невосстановимой потерей информации о форме сигнала х(t), относятся к классу метаопераций, а системы, реализующие гомоморфного типа операции, метасистемами. В данном случае имеем метасистему порождения для поверхности отклика вида:
Хэф =f(F) и Хср =f(F) при однократном эксперименте.
Отметим, что в основе вычислительного процесса для экспериментально полученной кривой х(t), лежат изоморфные преобразования типа оператора:
(8.3)
x(t)
Оператор связывает одно множество функций с другим множеством функций . Введение связанных переменных в виде пределов интегрирования меняет математические свойства операции :
-интегрирование в заданных пределах равносильно определению конкретной площади;
-дифференцирование в заданной точке равносильно определению конкретной касательной;
-арность предикатной формы в логике предикатов снижается на единицу по каждому связанному аргументу;
-ненаправленная форма представления системы трансформируется в направленную.
-и т.п.
Операции, составляющие изоморфизм преобразований, называются операциями структуризации. При структуризации сохраняется переход от конкретного к конкретному в полном объеме. При метаоперации переход от конкретного к конкретному приобретает черты обобщения конкретного по выделенному свойству, выделение эквивалентных классов объектов по заданному свойству.
Если при наличии операции структуризации базис системы остается без изменения, то получающиеся системы называются структурированными. Двойственные по определению системы называются метасистемами.
Для указанных операций и систем введем следующие условные обозначения:
сХ, mХ - однократная структуризация или метаоперация, в результате которой из системы Х{I;D;F} получены структурированная или метасистема (исходная, данных, порождения).
С2Х, М2Х, СМХ, МСХ - двукратное последовательное применение указанных операций.
В принятой системе обозначений пошаговые преобразования (8.3), направленные к вычислению параметров сигнала (8.1), можно определить в виде схемы "С-М" операций над X = {xj}.
При конкретизации операций имеем :
С1- взятие неопределенного интеграла С1Х =Qx;
С1-1 - дифференцирование С1-1Х =Qx;
С2- возведение в квадрат С2Х =Qу;
С2-1- извлечение квадратного корня;
С2-1С2Qу= X; и далее (см. рис. 8.1);
С3- умножение на параметр, в данном случае на Т-1;
С3-1- деление на параметр;
С4- извлечение корня из данных на входе:
С4= С20,5; С4-1= С2;
М1- метаоперация вычисления определенного интеграла на интервале [0;Т].
На рис. 8.1а тип (С или М) операции и ее конкретная форма указаны разметкой дуг. Уровень порождаемой системы и ее конкретное значение показаны разметкой вершины графа.
Упражнения
1. Форма нормированного сигнала х(t) определена на отрезке –1х(t)1, известно значение Хэф.
Требуется построить рациональную систему для определения Хmaxв единицах измерения Хэф.
2. Постройте план для двухфакторного эксперимента в случае F{F0;F1...Fmax} иZn=Rn={R0;R1;...Rmax}.
а. Определите число испытаний по плану и в общем случае при F{0,1,2,3,4,5};R={0,1,3}.
б. Определите объем системы данных, получаемых с фотограмм, на каждой из которых записана система из двух сигналов i1(t) иU2(t) .
3. Постройте граф-схему и матрицу смежности для композиций из операций структуризации и метаоперации для перехода от системы Х к системе Хср.
а. Для непрерывного методологического типа данных х(t)=Х.
б. Для дискретного методологического типа данных {хj}, где хjХ.