- •Теория систем Методологические основы
- •Введение
- •Глава 1. Наука о системах. Исходные понятия
- •1.1. Системный подход и анализ
- •1.2. Система. Уровни абстрагирования – конкретизации
- •1.3. Категории объекта и субъекта
- •1.4. Из истории возникновения теории систем. Системная парадигма
- •Глава 2. Отождествление объекта наблюдений с системой
- •2.1. Система на знаково-лингвистическом уровне - у1
- •2.2. Теоретико-множественный уровень описания системы - у2
- •2.3. Абстрактно - алгебраический уровень описания - у3
- •2.4. Логико-математический уровень описания систем - у4
- •0(A2;a3);1(a1;a3);(a1;a2;a5);(x1Lx2)(a3;a4);(x1Vx2)(a3;a4); (x1x2)(a1;a3;a4;a5);(x1x2)(a1;a3;a5);(x1x2)(a2;a3;a4;a5); (x1x2)(2;3;5);(x1/x2) (все свойства); (x1x2) (все свойства).
- •Глава 3. Топология и топологические уровни описания объекта – у5
- •3.1. Пространства и пространственно -подобные отношения
- •3.1.1. Метрические пространства(гильбертово пространство)
- •3.1.2. Топологические пространства
- •3.1.3. Линейные пространства
- •3.1.4. Евклидово пространство. Нормирование
- •3.2. Пространство, как система базирования
- •4. Информационный уровень конкретизации систем – у6
- •4.1. Информация как степень неопределенности
- •4.2. Свойства меры нечеткости
- •5. Динамический уровень описания систем у7
- •5. 1. Общая динамическая система
- •5.2. Автоматы как динамические системы
- •6. Эмпирические системы
- •6.1. Исходная система
- •6.2. Система данных
- •6.3. Системы порождения. Основные понятия
- •6.4. Маска и адресные уравнения
- •Глава 7. Системы с поведением. Имитация функции выбора
- •7. 1 .Трафарет и маска выборки
- •7.2. Выборочные переменные для упорядоченных множеств
- •7.3. Системы с нечеткими функциями выбора
- •Глава 8. Эпистемология эмпирических систем
- •8.1. Эпистемология основных уровней эмпирических систем
- •8.2. Структура, структуризация, метаоперация
- •8.3. К задаче перечисления методологических типов систем
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Приложения
- •П.1. Прессдуктор, как пример сложной физической системы
- •П.2. "Учебный процесс в вузе", как объект наблюдений
- •П.3. Примеры рациональных систем
- •П.4. Фрагмент таблицы случайных чисел с равновероятным законом распределения
- •П.5. Вероятности появления отдельных букв в тексте на русском языке
- •П.6. Топология расположения символов на клавиатуре для пишущей машинки и пульте управления компьютером
- •Теория систем методологические основы
- •119454, Москва, пр. Вернадского, 78
3.1.4. Евклидово пространство. Нормирование
Является частным случаем линейного пространства над числовым полем, если определена операция вида :S S К.
Применяя нормирование для всех векторов, переходят к нормированным пространствам.
Способы задания нормы:
а) х = x1 + x2 + ... + xn , т.е. суммарная длина всех векторовxi;
б) х=max{xi }) }.
Свойства нормы:
а) х0;х= 0 при х = 0.; 0K;
б) *х =*х ; К; х S;
в) х+yх+y- неравенство треугольника.
Единичный вектор, если х =1.
3.2. Пространство, как система базирования
"Система отсчета (система координат) - это схема правил, описывающих каждый математический объект (точку) некоторого класса (пространства) соответствующим упорядоченным множеством чисел (компонент, координат): х1;х2;…xn (n-размерность пространства)". [18].
Метасистема координат непосредственно не связана с математическим объектом и служит базой для описания объекта наблюдений в среде; она образует групповой базис (базу) объекта наблюдений (Г или G - знак группового базирования). Например, студент -x, учебная группа -У, семестр - z, задание по КПР- s:
G (х,у,z,s...).
Поместить объект наблюдений в пространство означает определить его систему отсчета,ввести понятия меры, расстояния, длины, нормы..., т.е. иметь возможность воспользоваться математическими свойствами различных систем координат.
Преобразование координат допускает две интерпретации: активную (alibi) и пассивную(alias).[18, с.362].
Пусть задан математический объект точкой
x = (х1. . . . хn); x' = Т(х);xa1 xa2 ….xan
где
xb1 xb2 ….xbn .
При активной точке зрения операция Т ставит в соответствие каждому объекту xa одного пространства объектхb другого пространства.
При пассивной точке зрения операция Т вводится как новое описание объекта X в новых координатах.
Активный подход позволяет абстрактные математические отношения представлять числовыми соотношениями. Пассивный приводит к замене системы отсчета, что часто упрощает решение задачи. Это равносильно переходу к новому базису.
Примеры
1 . Переход к логарифмической шкале отсчета.
2. Введение логарифмической мерыК. Шеннона для оценки системной функции выбора.
Множество систем отсчета называется системой мер. Переход от одной системы отсчета к другой связан с преобразованием пассивного типа.
Например, решение задачи матричных игр 2 2 методом линейного программирования (геометрически), в пространстве S- игры, на поверхности отклика или в проекциях [20].
Системы координат, применяемые для физических объектов, включаются в процесс преобразования данных эксперимента.
Схема направленного процесса преобразования исходных данных наблюдений состоит из ряда блоков:
1. Блока формирования исходных данных.
2. Блоков составления систем уравнений: топологических и
компонентных.
3. Блока преобразования уравнений в различных системах координат.
3.1. В однородной системе координат. Получают уравнения сечений и контуров на графе схемымногополюсника.
3.2. В неоднородных и сокращенных системах координат. Получают уравнения переменных состояния.
Примеры применения систем координат на физических объектах разной сложности приведены в литературе [2,с.414 -500].
Задачи и упражнения
1. Определите пространство состояний и переходов, применяемое в системах массового обслуживания для следующих систем в обозначениях по Кендалу: М/М/1/0, М/М/n/m, G/G/3/3. Опишите математические свойства подобных пространств [21,33,68].
2. Известна задача о ханойской башне [20]. Приведите пространство состояний и переходов, описывающее решение этой задачи. Определите метрику и расстояние в данном пространстве.
3. Определите понятия однородной, неоднородной и сокращенной систем координат, применяемых для описания физических систем (см.[2, с.413]).
4. Исследуйте изоморфизм физических систем, построенных на понятиях поперечной и продольной переменных полюсного графа [2, с. 392]. Определите математические свойства введенных переменных и их конкретные формы для различных физических объектов.
5. Известны алгоритмы оптимизации задач, решаемых на сетях и графах [66,67]. Приведите примеры задач и определите их топологию.
6. Множество слов длины n из различных знаков (букв, цифр, пробелов...) при соответствующей метрике образуют метрическое пространство [2, с. 168].
Предложите соответствующую метрику для расстояния (х,у), гдех, у - отдельные слова, например:
- позиции с одинаковыми символами;
- количество позиций с различными символами;
а) проверьте выполнимость аксиом метрического пространства;
б) задайте несколько слов из n символов и найдите расстояние между ними;
в) постройте матрицу расстояний для нескольких кортежей из чисел {0,1} длинойm;
г) проверьте свойства метрики на конкретных примерах.
7. Приведите топологии на множествах из ограниченного числа элементов: 1,2,3,4,5.
8. Покажите, что композиция объектов образует линейное пространство при задании законов композиции.