EMPiV

ЭМПиВ

Ответы на экзаменационные вопросы

10.6.2013

Оглавление

2. ВЕКТОРЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ

Напряженность электрического поля Е определяют как силу, с которой электрическое поле действует на точечный положительный единичный заряд: Е = F/q. Заряд q должен быть достаточно малым, чтобы можно было пренебречь изменением распределения зарядов, создающих исследуемое поле. Поэтому

Символ q →0 означает, что уменьшается величина заряда и размеры объекта, на котором распределен заряд.

В системе СИ [Е] = Н/Кл = В∙А∙с/(м∙А∙с) = В/м.

Физически смысл: Под действием электрического поля вещество поляризуется. В результате появляется дополнительное электрическое поле, которое налагается на первичное. При этом суммарное электрическое поле оказывается отличным от того, каким оно было бы в вакууме.

Вектор поляризованности Р-предел отношения суммарного дипольного момента вещества в объеме V к величине этого объема при V→0:

Вектор P (Кл/м2).

При не очень сильном внешнем поле величину индуцированного дипольного момента можно считать пропорциональной напряженности электрического поля:

χ- диэлектрическая восприимчивость среды, характеризует средубезразмерный.

где ε = ε о(1+χ) .Вектор D -векторэлектрической индукции, а параметр ε - абсолютной диэлектрической проницаемостью среды. D (Кл/м2) Так как диэлектрическая восприимчивость вакуума равнанулю(χ= 0), то электрическую постоянную ε 0 можно рассматривать как абсолютную диэлектрическую проницаемость вакуума(Ф/м). Относительная диэлектрическая проницаемость среды ε r,ε =ε0 εr (1.6)ε r=1+ χ

Рассмотрим электрическое поле, создаваемое точечным зарядом Q, расположенным в безграничной среде, где ε -скалярная постоянная (ε = const). Среда однородная и изотропная по отношению к электрическому полю. Согласно закону Кулона сила, с которой точечный заряд Q в рассматриваемом

случае действует на точечный заряд q,

где r- расстояние между зарядами Q и q, а r0-единичный вектор, направленный вдоль Q к q (рис. 1.2). 1.1 Следует, что напряженность электрического поля,

создаваемого точечным зарядом Q, Переходя к вектору D на основе равенства (1.5), замечаем, что вектор D в однородных изотропных средах не зависит от ε.Следовательно, при ε = const и одинаковом распределении свободных зарядов вектор D имеет одинаковые

4 значения в разных средах, т.е. не зависит от "связанных" зарядов вещества. Под действием электрического поля в среде, обладающей проводимостью,

возникает электрический ток (ток проводимости), распределение которого удобно характеризовать вектором плотности тока проводимости

где i0-единичный вектор, показывающий направление тока (направление движения положительных зарядов) в рассматриваемой точке М; S-плоская площадка, содержащая точку М, расположенная перпендикулярно вектору i0, а Δ/-ток проводимости, протекающий через ∆S. Вектор j также вектором объемной плотности тока проводимости. Как видно из (1.8), вектор j (А/м 2).

-закон Ома в дифференциальной форме. Коэффициент пропорциональности ζ -

удельная проводимость среды (См/м).

Векторы магнитного поля

Сила, с которой электромагнитное поле воздействует наточечный электрический заряд, зависит не только от местоположения и величины заряда, но и от скорости его движения. Эту силу обычно раскладывают на две: электрическую и магнитную.

Магнитная сила FM зависит от величины и направления скорости v движения

В-вектор магнитной индукции, характеризующий силовое воздействие магнитного поля. Магнитная индукция численно равна силе, с которой магнитное поле действует на единичный точечный положительный заряд, движущийся с единичной скоростью перпендикулярно линиям вектора В (Тл) или (Вб/м2).

Размерность следует, из (1.11): [В] = [F]/([q] [v]) = Нс/(Клм) = (В∙А∙с2/м)/(А∙с∙м) = В∙с/м2 = Вб/м2 = Тл.

где lo-единичный вектор, направление которого совпадает с направлением тока, т.е. с направлением движения положительных зарядов в проводнике. Отметим, что формула (1.13) является следствием формулы (1.11).

Намагниченность среды характеризуется вектором намагниченности М, который определяют как предел отношения суммарного магнитного момента вещества в объеме V к величине этого объема при \/→0:

Вектор М (А/м).

где μ0- магнитной постоянной μ0 = 4-10-7 Гн/м.

Вектор Н - вектор напряженности магнитного поля (А/м).

При не очень сильном внешнем магнитном поле можно считать, что

Безразмерный коэффициент χт- магнитная восприимчивостью среды. Подставляя формулу (1.16) в (1.15), получаем

Наряду с абсолютной магнитной проницаемостью среды р вводят

также относительную магнитную проницаемость μr

Очевидно, что Отметим важное свойство вектора Н. В средах, в которых μ -скалярная

постоянная (однородными и изотропными по отношению к магнитному полю), вектор Н не зависит от μ. Поэтому при одинаковых источниках магнитного поля значения вектора Н в разных однородных изотропных средах будут одинаковы.

6

Уравнение (1.31) применительно к контуру конечных размеров. Оно представляет собой первое уравнение Максвелла в интегральной форме.

Для перехода к дифференциальной форме воспользуемся теоремой Стокса (П.20). Заменяя в уравнении (1.31) циркуляцию вектора Н интегралом от rot H по поверхности S, получаем

Так как S-произвольная поверхность, то равенство (1.32) возможно только в том

случае, если Равенство (1.33) называют первым уравнением Максвелла. Векторное уравнение

(1.33) эквивалентно трем скалярным уравнениям, которые в декартовой системе

координат х, у, z имеют вид

Второе уравнение Максвелла

Второе уравнение Максвелла является обобщением закона индукции Фарадея, который формулируется: если замкнутый контур Г пронизывается переменным магнитным потоком Ф, то в контуре возникает ЭДС, равная скорости изменения

этого потока: Знак минус в правой части формулы (1.34) означает, что возникающая в контуре ЭДС всегда как бы стремится воспрепятствовать изменению потока, пронизывающего данный контур"правило Ленца".

Максвелл предположил, что это уравнение будет справедливо и в том случае, когда рассматриваемый контур представляет собой замкнутую линию, проведенную в непроводящей среде.

Электродвижущая сила, наводимая в этом контуре

а магнитный поток Ф связан с вектором В соотношением

где dS = nodS; п0-орт нормали к поверхности S, образующий правовинтовую систему с обходом контура Г (рис.1.6). Подставляя (1.35) и (1.36) в (1.34),

получаем

второе уравнение Максвелла в интегральной формедля контура конечных размеров. Максвеллом это уравнение было сформулировано также в дифференциальной форме.

8 Предположим, что контур Г неподвижен и не изменяется со временем. В этом случае производную по времени в правой части уравнения (1.37) можно внести

под знак интеграла. Преобразовывая левую часть равенства (1.37) по теореме

Стокса, имеем

Так как S-произвольная поверхность, соотношение (1.38) возможно только в том

случае, если Равенство (1.38) называют вторым уравнением Максвелла. Переходя к

декартовой системе координат х, у, z, получаем три скалярных уравнения:

Третье и четвертое уравнения Максвелла

Третье уравнение Максвелла является обобщением закона Гаусса на случай переменных процессов. Закон Гаусса связывает поток вектора электрического смещения через произвольную замкнутую поверхность S с зарядомQ, сосредоточенным внутри этой поверхности:

где dS = nodS; n0 - орт внешней нормали к поверхности S.

Заряд Q может быть произвольно распределен внутри поверхности S. Поэтому в

общем случае

где ρ-объемная плотность зарядов; V- объем, ограниченный поверхностью S. Объемная плотность зарядов

где ΔQ - заряд, сосредоточенный в объеме ΔV. Размерность (Кл/м3). Подставляя (1.41) в (1.40), получаем

-третье уравнение Максвелла в интегральной форме. Для перехода к диффе-

ренциальной форме преобразуем левую часть этого уравнения по теореме

Остроградскогo—Гаусса (П. 19)

Это равенство должно выполняться при произвольном объеме V, что возможно в случае, если