![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Министерство Российской Федерации
- •4. Математические модели случайных процессов
- •X1(t) x2(t)
- •Равномерное Нормальное (гауссовское) Распределение дискретной случайной величины
- •4.2. Сокращенное описание случайных процессов
- •Некоторые свойства корреляционной функции сп:
- •4.3. Спектральный анализ случайных процессов
- •Свойства энергетических спектров случайных процессов
- •Примеры энергетических спектров некоторых стационарных сп:
- •Контрольные вопросы
- •Рекомендации по проведению экспериментальных исследований случайных процессов
- •5. Прохождение случайных процессов через преобразователи сигналов
- •5.1. Прохождение случайных процессов через безынерционные цепи
- •Функциональное преобразование двух случайных процессов
- •5.2. Прохождение случайных процессов через линейные цепи
- •5.3. Узкополосные случайные процессы
- •Постановка задачи
- •Решение
- •Контрольные вопросы
- •Рекомендации по проведению экспериментальных исследований прохождения случайных процессов через различные фу
- •6. Оптимальный прием дискретных сообщений
- •6.1. Постановка задачи
- •6.2. Критерии качества приема дискретных сообщений
- •6.2.1. Критерий идеального наблюдателя (критерий Котельникова)
- •6.2.2. Критерий максимального правдоподобия
- •6.2.3. Критерий минимального среднего риска (байесовский критерий)
- •6.2.4. Критерий Неймана-Пирсона
- •Контрольные вопросы
- •6.3. Синтез оптимального демодулятора при известном ансамбле сигналов (когерентный прием)
- •6.3.1. Постановка и решение задачи когерентного приема
- •Постановка задачи:
- •6.3.2. Синтез оптимального когерентного демодулятора на согласованных фильтрах
- •Свойства согласованных фильтров
- •6.3.3. Согласованная фильтрация и корреляционный прием некоторых типичных сигналов
- •Прямоугольные видеоимпульсы
- •Прямоугольные радиоимпульсы
- •Сложные двоичные сигналы
- •ПроизвольныеF-финитные сигналы
- •6.3.4. Оптимальный когерентный прием при небелом шуме
- •Контрольные вопросы
- •Рекомендации по проведению экспериментальных исследований оптимального когерентного приема
- •6.4. Потенциальная помехоустойчивость когерентного приема Постановка задачи:
- •6.5. Сравнительный анализ потенциальной помехоустойчивости основных видов цифровой модуляции
- •Контрольные вопросы
- •Рекомендации по проведению экспериментальных исследований
- •6.7. Потенциальная помехоустойчивость некогерентного приема в двоичной системе связи
- •Контрольные вопросы
- •Рекомендации по проведению экспериментальных исследований некогерентного приема
- •Литература
- •Содержание
6.2. Критерии качества приема дискретных сообщений
6.2.1. Критерий идеального наблюдателя (критерий Котельникова)
Этот критерий требует обеспечения минимума средней вероятности ошибочного приема.
Для двоичной системы
,
для m-ичной системы
,
где
–условная
вероятность j-ой
ошибки при передаче
i-го сообщения,
–условная
вероятность любой ошибки при передаче
i-го сообщения,
Р – безусловная вероятность любой ошибки.
Вычислим условную вероятность конкретной ошибки
,
где
–n-мерная
условная плотность вероятности (при
разложении
вn-мерном
евклидовом пространстве по любому
базису), а интеграл, вычисляемый по
векторной переменной
,
очевидно,n-кратный.
Таким образом, критерий Котельникова
приобретает вид
,
(6.1)
где
находится
варьированием областей
.
Минимуму средней вероятности ошибок соответствует максимум средней вероятности правильного приема (иная эквивалентная форма записи критерия Котельникова)
.
(6.2)
Учитывая,
что демодулятор должен реализовать
критерий (6.1) или (6.2), принимая решение
на основе анализа единственной реализации
на интервале
0 – Т,
рассмотрим апостериорную вероятность
вида
,
т.е. вероятность того, что при приеме
сигнала
передавалось сообщениеbi
. Очевидно, что максимум средней
вероятности правильного приема будет
достигнут, если всякую реализацию
принятого колебания z(t)
относить к той области
,
для которой апостериорная вероятность
максимальна, т.е. решение в пользу
принимается при совместном выполнении
совокупности неравенств
.
Иначе говоря, критерий Котельникова требует максимизации апостериорной (обратной) вероятности и его можно записать в виде
.
(6.3)
Для выполнения анализа (6.3) воспользуемся известной формулой Байеса
.
Тогда
,
а выражение (6.3) принимает вид
(6.4)
(безусловная
плотность вероятности
здесь исключена, т. к. она не зависит отi
и, следовательно, не влияет на решение).
В развернутом виде критерий (6.4) можно записать в виде системы из m-1 неравенств
,
или
.
Условную
плотность вероятности
,
рассматриваемую при известном после
приема векторе
как функцию аргументаbi,
называют функцией
правдоподобия
гипотезы о передаче сообщения bi,
а
-отношением
правдоподобия
двух гипотез о передаче сообщений bi
и bj.
С учетом этого критерий Котельникова
можно записать в виде:
если
,
то решение
.
(6.5)
Рассмотренный критерий Котельникова обладает следующими особенностями:
требует знания априорных безусловных вероятностей отдельных сообщений
;
безразличен к виду ошибок
(все виды ошибок одинаково нежелательны), что приводит к росту ошибок при приеме менее вероятных сообщений, а они являются более информативными.
6.2.2. Критерий максимального правдоподобия
Полагая, что все передаваемые сообщения равновероятны
,
из (6.5) получим
если
,
то решение
.
Удобно
помимо гипотез о передаче сообщений bi
(i
= 1, 2,…, m)
ввести еще одну «нулевую» гипотезу о
том, что никакое сообщение (сигнал) не
передавалось, т. е. принятое колебание
является реализацией только помехи
.
Обозначим отношение правдоподобия
,
тогда правило решения можно записать в виде
если
,
при всех
,
то решение
или
.
(6.6)
Критерий (6.6) называют критерием максимального правдоподобия. Он совпадает с критерием Котельникова при равных вероятностях передаваемых сообщений.