Функциональное преобразование двух случайных процессов

Постановка задачи:

Заданы два случайных процесса X₁(t) и X₂(t) с известной совместной плотностью вероятности их значений в совпадающие моменты времени w(x₁, x_2­; t). С этими процессами связаны два других СП Y₁(t) и Y₂(t) известными функциональными зависимостями

.

Требуется определить w(у₁, у_2­; t) ­­– совместную плотность вероятности процессов Y₁(t) и Y₂(t) в совпадающие моменты времени.

Решение:

По аналогии с (5.1) можно написать следующее соотношение

,

где J – якобиан преобразования переменных x₁, x_2­ в у₁, у_2­

. (5.2)

5.2. Прохождение случайных процессов через линейные цепи

Общей процедуры определения закона распределения реакции линейного ФУ на произвольное случайное воздействие не существует. Однако, возможен корреляционный анализ, т. е. расчет корреляционной функции реакции по заданной корреляционной функции воздействия, который удобно проводить спектральным методом по схеме, показанной на рис. 5.5.

Для вычисления энергетического спектраG_Y(f) реакции линейного ФУ с передаточной функцией H(jω) воспользуемся его определением (4.1)

.

Функцию корреляции B_Y() определим преобразованием Фурье энергетического спектра G_Y(f)

.

Вернемся к определению закона распределения реакции линейного ФУ в отдельных частных случаях:

1. Линейное преобразование нормального СП порождает также нормальный процесс. Измениться могут только параметры его распределения.

2. Сумма нормальных СП (реакция сумматора) есть также нормальный процесс.

3. При прохождении СП с произвольным распределением через узкополосный фильтр (т.е. при ширине полосы пропускания фильтра F существенно меньшей ширины энергетического спектра воздействия f_X) наблюдается явление нормализации распределения реакции Y(t). Оно заключается в том, что закон распределения реакции приближается к нормальному. Степень этого приближения тем больше, чем сильнее неравенство F << f_X (рис. 5.6).

Объяснить это можно следующим образом. В результате прохождения СП через узкополосный фильтр происходит существенное уменьшение ширины его энергетического спектра (с f_X до F) и, соответственно, увеличение времени корреляции (c _X до _Y). В результате между некоррелированными отсчетами реакции фильтра Y(k_Y) располагается примерно f_X /F некоррелированных отсчетов воздействия X(l_X),, каждый из которых дает вклад в формирование единственного отсчета реакции с весом, определяемым видом импульсной характеристики фильтра.

Таким образом, в некоррелированных сечениях Y(k_Y) происходит суммирование большого числа также некоррелированных случайных величин X(l_X) с ограниченными математическими ожиданиями и дисперсиями, что в соответствии с центральной предельной теоремой (А.М. Ляпунова) обеспечивает приближение распределения их суммы к нормальному с увеличением числа слагаемых.

5.3. Узкополосные случайные процессы

СП X(t) с относительно узким энергетическим спектром (f_X << f_c) как и узкополосные детерминированные сигналы удобно представлять в квазигармонической форме (см. раздел 2.5)

,

где огибающая A(t), фаза (t) и начальная фаза (t) являются случайными процессами, а ω_с – частота, выбираемая произвольно (обычно как средняя частота его спектра).

Для определения огибающей A(t) и фазы (t) целесообразно воспользоваться аналитическим СП

.

Тогда

, (5.3)

, (5.4)

, (5.5)

. (5.6)

Основные моментные функции аналитического СП :

1. Математическое ожидание

.

2. Дисперсия

.

3. Функция корреляции

,

при этом

,

.

Аналитический СП называют стационарным, если

,

,

откуда .

Рассмотрим типичную в технике связи задачу прохождения нормального СП через полосовой фильтр (ПФ), амплитудный (АД) и фазовый (ФД) детекторы (рис. 5.7). Сигнал на выходе ПФ становится узкополосным , а это означает, что его огибающаяA(t) и начальная фаза (t) будут медленно меняющимися функциями времени по сравнению с , где– средняя частота полосы пропускания ПФ. По определению, сигнал на выходе АД будет пропорционален огибающей входного сигналаA(t), а на выходе ФД – его начальной фазе (t). Таким образом, для решения этой задачи достаточно вычислить распределение огибающей A(t) и фазы (t) (распределение начальной фазы отличается от распределения(t) только математическим ожиданием ).

X(t) = A(t)cos( t) K_АДА( t)

ПФ АД

K_ФД( t)

ФД

Рис. 5.7. Прохождение СП через полосовой фильтр и детекторы.