4.3. Спектральный анализ случайных процессов

Спектральный анализ детерминированных сигналов x(t) предпо-лагает использование прямого преобразования Фурье

.

Распространение этого подхода на случайные процессы наталкивается на ряд серьезных проблем:

1. существует только для функцийx(t), удовлетворяющих условию абсолютной интегрируемости

или хотя бы интегрируемости в квадрате

,

т.е. для сигналов с ограниченной энергией. Однако реализации стационарных случайных процессов с вероятностью 1 имеют бесконечную энергию, так как по определению существуют на бесконечной оси времени и, следовательно, этим требованиям не отвечают. Эту трудность можно обойти, если рассматривать отношение спектральной функции к длительности сигналаТ. Тогда достаточным будет требование ограниченной мощности сигнала x(t)

.

2. Спектральная функция характеризует отдельные реализацииx(t) случайного процесса X(t), а не сам процесс целиком. Попытка перейти, как обычно, к усреднению по ансамблю оказывается несостоятельной. Действительно, если определить математическое ожидание случайной спектральной функции

,

где - амплитудный, а- фазовый спектры случайного процессаX(t), то для независимых ипри равномерном распределениив интервалеполучим нулевой результат усреднения для ненулевых процессов.

Выход из этой ситуации состоит в отбрасывании фазового и усреднении только амплитудного спектра или.

Для реализаций случайных процессов X(t) с ограниченной энергией Е_х (нестационарных) по теореме Парсеваля имеем

,

где - спектральная плотность энергии реализацииx(t).

Усредняя по ансамблю реализаций, получим – спектральную плотность энергии случайного процессаX(t) с размерностью

, что соответствует размерности , если иметь в виду действиеX(t) на сопротивлении 1 Ом.

Для стационарных случайных процессов на интервале Т рассмотрим функцию , имеющую размерность. Переходя к пределу при, получимспектральную плотность мощности

, (4.1)

называемую также энергетическим спектром процесса X(t).

Энергетический спектр стационарного случайного процесса и его корреляционная функция связаны между собой интегральными преобразованиями Фурье, что было строго доказано А.Я. Хинчиным и Н. Винером (теорема Винера-Хинчина)

, (4.2)

. (4.3)

Рассмотрим нестрогое доказательство этой теоремы с прозрачным смыслом. Исходя из вышеприведенного определения энергетического спектра, имеем

(после замены переменных )

(после замены усреднения по ансамблю усреднением по времени)

,

что и требовалось доказать.

Свойства энергетических спектров случайных процессов

1. , что непосредственно следует из его определения (4.1). Из этого факта и соотношения (4.3) вытекает важное следствие для корреляционной функции– она являетсяположительно определенной, т.е. имеет неотрицательное преобразование Фурье.

2. – четная функция.

.

На этом свойстве основано понятие одностороннего энергетического спектра, существующего только в области положительных частот

.

3.

4.

5. Нормированный энергетический спектр

,

.