Операции наращения и дисконтирования под простые проценты

При расчете суммы простого процента в процессе наращения стоимости (компаундинга) используется формула:

I = РV * n * r,

(3)

где I – сумма процента за обусловленный период времени в целом;

РV – первоначальная сумма (стоимость) денежных средств;

n – количество интервалов, по которым осуществляется расчет процентных платежей, в общем обусловленном периоде времени;

r – используемая процентная ставка, выраженная десятичной дробью.

Будущая стоимость денежных средств (FV) с учетом начисленной суммы процента определяется по формуле:

FV = РV + I = РV * (1 + n * r).

(4)

Сумма (1 + n * r) называется множителем (или коэффициентом) наращения суммы простых процентов. Его значение всегда должно быть больше 1.

Пример. Определить сумму простого процента и будущую стоимость денежных средств через 3 года, если первоначальный взнос составляет 400 рублей, проценты начисляются ежегодно по ставке 10% (простой процент).

Сумма процента составит: 400 * 3 * 0,1 = 120 р.

Накопленная сумма составит: 400*(1+0,1*3) = 520 р.

При расчете суммы простого процента в процессе дисконтирования стоимости (то есть суммы дисконта) используется формула:

D = FV – FV * (1 / (1 + n * r)) ,

(5)

где D – рассчитанная по простым процентам сумма дисконта за обусловленный период времени в целом;

FV – будущая стоимость денежных средств;

n – количество интервалов, по которым осуществляется расчет процентных платежей, в общем обусловленном периоде времени;

r - используемая дисконтная ставка, выраженная десятичной дробью.

Настоящая стоимость денежных средств (PV) с учетом рассчитанной суммы дисконта определяется по формуле

PV = FV – D = FV * (1 / (1 + n * r)) ,

(6)

Множитель (1 / (1 + n * r)) называется дисконтным множителем (коэффициентом) суммы простых процентов, значение которого всегда должно быть меньше 1.

Пример. Определить сумму дисконта за год и настоящую стоимость денежных средств при следующих условиях: конечная сумма вклада – 1000 р., дисконтная ставка – 5 % в квартал.

Сумма дисконта составит: 1000 – 1000 * (1 / (1 + 4 * 0,05)) = 167 р.

Настоящая стоимость денежных средств, необходимая для получения через год 1000 р., должна составлять: 1000 – 167 = 833 р. или 1000 * (1 / (1 + 4 * 0,05)) = 833 р.

Операции наращения и дисконтирования под сложные проценты

При расчете будущей стоимости денежных средств в процессе их наращения по сложным процентам используется формула:

FV = PV * (1+r)n ,

(7)

где FV - величина накопления, будущая стоимость денежных средств при их наращении по сложным процентам;

PV - первоначальная стоимость денежных средств;

r - процентная ставка;

n - число периодов начисления процентов.

FM1 (r,n) = (1+r)ⁿ - мультиплицирующий множитель (коэффициент наращения).

Сумма процента I определяется по формуле:

I = FV – PV .

(8)

Пример. Какая сумма будет накоплена вкладчиком через 3 года, если первоначальный взнос составляет 400 р., проценты начисляются ежегодно по ставке 10%? Какова сумма процента?

FV = 400 * (1+0,1)³ = 532,4 p.

I = 532,4 – 400 = 132,4 р.

Процесс накопления в динамике:

1-й год: 400*110% = 440 р.

2-й год: 440*110% = 484 р.

3-й год: 484*110% = 532,4 р.

Таким образом, сложный процент предполагает начисление процентов не только на сумму первоначального взноса, но и на сумму процентов, накопленных к концу каждого периода. Это возможно только в случае реинвестирования суммы начисленных процентов, то есть присоединение их к инвестированному капиталу.

Периодичность накопления процентов оказывает влияние на величину накопления.

Пример. Вклад в сумме 1000 р. хранится 2 года в банке, начисляющем 24% годовых; в зависимости от способа начисления процентов накопленная сумма составит:

ежегодное начисление процента 1000*(1+0,24)²=1537,6 р.

полугодовое начисление процента 1000*(1+0,12)⁴=1573,5 р.

ежеквартальное начисление процента 1000*(1+0,06)⁸=1593,8 р.

ежемесячное начисление процента 1000*(1+0,02)²⁴=1608,1 р.

Следовательно, чем чаще начисляются проценты, тем больше накопленная сумма.

Для определения периода, необходимого для удвоения первоначального вклада, используется «правило 72-х». Оно дает наиболее точные результаты, если процентная ставка находится в интервале 3-18%.

Удвоение первоначального вклада произойдет через число периодов, равное частному от деления 72 на процентную ставку соответствующего периода.

Например, если годовая ставка 24% и начисление процентов осуществляется ежегодно, удвоение произойдет через 3 года (72/24 = 3 года).

Эффективная процентная ставка – доход кредитора за счет капитализации процентов, выплачиваемых в течение периода, для которого объявлена процентная ставка.

Если номинальная процентная ставка за год равна г_н (в долях), а выплата процентов по условию займа происходит m раз в год, то при каждой выплате уплачивается процент по ставке г_н/m. В этом случае эффективная процентная ставка за год (r_эф) равняется (в долях):

rэф = (1 + гн /m)m – 1 .

(9)

Если выплата процента происходит чаще, чем раз в год, то эффективная процентная ставка больше номинальной и их различие тем больше, чем выше процентная ставка и чем чаще происходит выплата процентов.

Пример. Банк начисляет сложные проценты по номинальной ставке 12% годовых. Найдите эффективную ставку процента при ежемесячной капитализации.

r_эф = (1+0,12/12)¹² –1 = 0,127 или 12,7% годовых

Функция дисконтирования дает возможность определить настоящую стоимость денежных средств (текущую стоимость, приведенную стоимость), если известны их величина в будущем за период накопления и дисконтная ставка. При расчете настоящей стоимости денежных средств в процессе дисконтирования используется формула:

PV = FV * (1 / (1+r)n) .

(10)

FM2 (r,n) = 1 / (1+r)ⁿ - дисконтирующий множитель (его значения табулированы, как и у мультиплицирующего множителя FM1(r, n)).

Сумма дисконта (D) определяется по формуле:

D = FV – PV .

(11)

Пример. Какую сумму необходимо поместить на депозит под 10% годовых, чтобы через 5 лет накопить 1500 р.? Какова сумма дисконта?

PV = 1500 * (1 / (1+0,1)⁵) = 931,4 p.

D = 1500 – 931,4 = 568,6 р.