2.24. Сложение скоростей

Р

Рис. 2.45

ассматривается сложное движение точки на плоскости (рис. 2.45).

Поскольку абсолютное движение представляет собой сумму относительного и переносного движений, то справедлива следующая теорема: при сложном движении абсолютная скорость V точки равна геометрической сумме относительной V_r и переносной V_e скоростей:

V = V_r + V_e.

Построенная на рис. 2.45 фигура называется параллелограммом скоростей. Модуль абсолютной скорости находится по формуле

2.25. Сложение ускорений (теорема Кориолиса)

Теорема. При сложном движении точки её абсолютное ускорение равно геометрической сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений:

a = a_r + a_e + a_c ,

где a_r – относительное ускорение; a_e – переносное ускорение; a_c – ускорение Кориолиса.

Доказательство теоремы Кориолиса достаточно сложно и здесь не приводится.

Кориолисовым ускорением называется составляющая абсолютного ускорения точки в сложном движении, равная удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного вращения на относительную скорость точки:

a_c = 2(xV_r),

где – вектор угловой скорости переносного вращения.

Согласно правилу векторного произведения a_{c ┴} ,a_{c ┴} V_r.

Кориолисово ускорение характеризует:

1. изменение модуля и направления переносной скорости точки вследствие её относительного движения;

2. изменение направления относительной скорости точки вследствие вращательного переносного движения.

Например, если человек идет равномерно вдоль радиуса равномерно вращающейся платформы, то относительной скоростью является скорость его движения вдоль радиуса, а переносной – скорость той точки платформы, где он находится в данный момент времени (рис. 2.46).

Пусть в момент времени t человек занимает на платформе положение, показанное на рис. 2.46,а, а в момент времени t + ∆t положение, показанное на рис. 2.46,б.

Так как относительное движение равномерное и прямолинейное, то относительное ускорение человека a_r = 0. Однако за время ∆t относительная скорость изменяется по направлению, вследствие вращения подвижной системы отсчёта, закрепленной на платформе.

З

Рис. 2.46

а время ∆t происходит изменение модуля переносной скорости от V_e = II·r до V_e = II·R вследствие относительного перемещения человека. Указанные изменения относительной V_r и переносной V_e скоростей и вызывают появление кориолисова ускорения.

Модуль кориолисова ускорения определится как модуль векторного произведения:

a_c = 2·ω_e·V_r·sin(,V_r),

где ω_e = II – модуль вектора угловой скорости переносного вращения.

Кориолисово ускорение равно нулю в трёх случаях:

1. если ω_e = 0, т. е. в случае поступательного переносного движения или в момент обращения в нуль угловой скорости непоступательного переносного движения;

2. если V_r = 0, т. е. в случае относительного покоя точки или в момент равенства нулю модуля относительной скорости движущейся точки;

3. если sin(,V_r) = 0, т. е. в случае, когда вектор относительной скорости V_r и вектор переносной угловой скорости параллельны (V_r || ).

Направление кориолисова ускорения определяется по правилу векторного произведения. a_{c ┴} V_r, a_{c ┴} и направлено в сторону, откуда поворот векторак векторуV_r для совмещения их направлений виден происходящим против хода часовой стрелки. Поворот осуществляется на угол меньше 180^о.

П

Рис. 2.47

ример. Пусть векторы иV_r лежат в горизонтальной плоскости и направлены так же, как и единичные векторы i, j правой системы отсчёта (рис. 2.47).

По правилу векторного произведения вектор a_c ускорения Кориолиса направлен по отношению к векторам иV_r так же, как и единичный вектор k по отношению к векторам i и j.

Для определения направления кориолисова ускорения используется правило Жуковского: для определения направления ускорения Кориолиса необходимо относительную скорость V_r точки спроецировать на плоскость, перпендикулярную оси переносного вращения, и повернуть эту проекцию в той же плоскости на угол 90^о в сторону переносного вращения.

Д

Рис. 2.48

ля иллюстрацииправила Жуковского рассмотрим движение точки по образующей конуса с относительной скоростью V_r под углом α от его вершины к основанию (рис. 2.48).

Модуль кориолисова ускорения равен

a_c = 2·ω_e·V_r·sin(180^о – α),

где ω_e – модуль вектора угловой скорости переносного вращения.

На рис. 2.48 – проекция относительной скоростиV_r на плоскость (плоскость на рисунке заштрихована), перпендикулярную оси переносного вращения. Направление ускорения Кориолиса a_c совпадает с направлением единичного вектора i₁ неподвижной системы отсчёта O₁X₁Y₁Z₁.

Для закрепления теоретического материала необходимо выполнить курсовое задание К 4.